2024年新高中考试数学解答题模拟训练——三角函数与解三角形（答案版）.docx

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1、【基础训练】专题01 三角函数与解三角形1在中，角的对边分别为，满足，且(1)求的大小；(2)若，求的面积【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由正弦定理和，求得，即可求得的大小；（2）由（1）求得，根据正弦定理得到，结合三角形的面积公式，化简得到，即可求解.【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，可得，又因为，所以，且，所以，因为，所以.（2）解：因为，在中，可得，即，又因为，可得，联立方程组，解得，由正弦定理，可得，所以.2在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足.(1)求A；(2)若，AD是的中线，求AD的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理和二倍角的正弦公

2、式即可求解.（2）由可得，根据以及余弦定理即可求出.【详解】（1），所以，由正弦定理得：，得，即，.（2）,得，由余弦定理得：，所以，即AD的长为.3已知函数在区间单调，其中为正整数，且(1)求图像的一条对称轴；(2)若，求【答案】(1)(2)【分析】（1）由函数在区间上的单调性确定最小正周期的范围，再由函数值相等即可确定对称轴；（2）根据对称轴及函数值确定的表达式，再结合最小正周期确定的可能取值，即可得解.【详解】（1）因为函数在区间单调，所以函数的最小正周期，又因为，所以直线即为图象的一条对称轴；（2）由（1）知，故，由，得或3由为的一条对称轴，所以因为，所以或，若，则，即，不存在整数，使

3、得或3；若，则，即，不存在整数，使得或3当时，此时，由，得4记的内角的对边分别为，已知(1)求；(2)设的中点为，若，且，求的的面积【答案】(1)(2)【分析】(1)由可得，由正弦定理及辅助公式得,即可求得答案；(2) 在中，由余弦定理得，；在中，由余弦定理得，从而得，再由，可得，由三角形面积公式求解即可.【详解】（1）解：由已知得，由正弦定理可得，因为，所以,代入上式，整理得，又因为，所以，即,又因为，所以，所以，解得；（2）在中，由余弦定理得，而，所以，在中，由余弦定理得，由两式消去a，得，所以，又，解得，所以的面积5已知函数(1)求函数的最小正周期及对称轴方程；(2)将函数的图象向左平移

4、个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在0，2上的单调递减区间.【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为，(2)【分析】（1）利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得，再根据周期的公式与余弦函数的对称轴公式求解即可；（2）根据三角函数图形变换的性质可得，再根据余弦函数的单调区间求解即可.【详解】（1），所以函数的最小正周期为，令，得函数的对称轴方程为，（2）将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为，所以，令，所以.又，所以在上的单调递减区间为.6已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求证：.(2)求的取值范围.【答案】(1)

5、证明见解析(2)【分析】(1)结合正弦定理及正弦和角公式得，结合角度范围即可证明；(2)结合正弦定理及三角恒等变换，结合B角范围即可求解.【详解】（1）在中，由及正弦定理得：又，即，.，（2）得：得，由题意，及正弦定理得：，即故的取值范围为方法二：由正弦定理得：，由（1）得：，故由（1）得：得，即，故的取值范围为7在锐角中，角的对边分别为，已知（1）若，求；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得，进而得解；（2）根据正弦定理边角互化可得，结合锐角三角形的范围可得解.【详解】（1）由，得，得，得，在，由余弦定理，得，即，解得或.当时， 即为钝角（舍）

6、，故符合.（2）由（1）得，所以，为锐角三角形，故的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是熟练应用正余弦定理进行边角互化，正确分析锐角三角形中角的范围是解题的关键.8的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，.（1）求A；（2）若，且边上的高为，求的面积.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得；（2）由余弦定理用表示，然后把三角形的面积用两种方法表示求得，从而可计算出面积【详解】（1）由得，由余弦定理得，所以，由正弦定理得，是三角形内角，所以，又A为锐角，所以（2）由（1），所以，即，【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余

7、弦定理、三角形面积公式利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解这是一种解题技巧9在中，角的对边分别为，已知，且.(1)求的外接圆半径；(2)求内切圆半径的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求；（2）由正弦定理求的范围，再用求得后即可求的取值范围.【详解】（1）由正弦定理，可得再由余弦定理，又，所以.因为，所以.（2）由（1）可知：，则.则.在中，由正弦定理，所以，则，又，所以，所以，所以.10如图，已知在中，M为BC上一点，且(1)若，求的值；(2)若AM为的平分线，且，求的面积【答案】(

8、1)(2)【分析】（1）由求得，由可得，结合得，利用正弦定理即可求得答案；（2）由余弦定理求得，根据角平分线性质定理可求得，再求得，由三角形面积公式可得答案.【详解】（1）因为，,所以，因为，所以由正弦定理知，即，因为，所以，在中，（2）由题意知，设，由余弦定理得，解得或因为，所以，因为AM为的平分线，所以（h为底边BC的高）所以，故，而由（1）知，所以11在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为在方向上的投影向量，且满足.(1)求的值；(2)若，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】利用正弦定理，边化角，结合同角三角函数的平方式，建立方程，可得答案.【详解】（1）由为在方向上的

9、投影向量，则，即，根据正弦定理，在锐角中，则，即，由，则，整理可得，解得.（2）由，根据正弦定理，可得，在中，则，由（1）可知，则，由，则，解得，根据正弦定理，可得，则，故的周长.12已知向量，设函数.（1）求函数的最大值;（2）在锐角中，三个角，所对的边分别为，若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得，进而可得的最大值；（2）由锐角，推出，再结合（B），求得，由正弦定理知，再利用余弦定理求出，最后由三角形面积公式得解【详解】（1）因为，所以函数当时，（2）为锐角三角形，. 又 即13已知，(1)求的值；(2)若，求的值【答案】

10、(1)(2)【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得的值；（2）利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得结果.【详解】（1）解：因为，又，所以，所以.（2）解：因为，又因为，所以，由（1）知，所以因为，则，所以14记的内角、的对边分别为、.已知.(1)证明：；(2)若，求的面积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用三角恒等变换结合正弦定理化简可证得结论成立；（2）利用平面向量数量积的定义可得出，结合余弦定理以及可求得、的值，由此可求得的面积.【详解】（1）因为，则，即，由正弦定理可得，因

11、此，.（2）因为，由正弦定理可得，由平面向量数量积的定义可得，所以，可得，即，所以，则，所以，则为锐角，且，因此，.15在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，S为ABC的面积，且(1)求A的大小；(2)若、，D为直线BC上一点，且，求ABD的周长【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用三角形面积公式及向量数量积的定义可得，进而即得；（2）利用余弦定理可得，再利用正弦定理结合条件即得.【详解】（1），又，即又，；（2）在中，由余弦定理得：，又、，又，在中，由正弦定理得，又，B为锐角，在中，的周长为16在中，D为中点， .(1)若，求的长；(2)若 ，求的长.【答案】(1)2(2)【分

12、析】（1）在中，由余弦定理求得，即可得，在中利用余弦定理即可求得答案；（2）设，由正弦定理求得，结合，以及，可推出，再由，推出，联立解方程可得答案.【详解】（1）在中，则 ，在中，所以.（2）设，在和中，由正弦定理得，又，得，在中，由，有，所以，整理得：，又由，整理得：， 联立得，即.，解得或，又，故，所以.17的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为.(1)证明：；(2)若，求.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据三角形面积公式及三角形内角性质可得，再由正弦定理的边角关系即可证结论.（2）由（1）及题设可得，进而求得，应用余弦定理及正弦定理边角关系求，即可求，注意

13、根据B的范围判断符号，最后利用及和角余弦公式求值即可.【详解】（1）由题设，又，所以，由正弦定理可得，所以，又，所以，即.（2）由（1）及题设，且，所以，则，故，又，可得，若，则，而，故不合题设；所以，所以.18如图，在ABC中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P(1)求的正弦值；(2)求的余弦值【答案】(1)(2)【分析】（1）解法1、由余弦定理求得，得到，分别在和，求得和，结合和互补，求得，再在中，求得，即可求解；解法2、由题意，求得，根据，结合的面积为面积的，列出方程，即可求解；（2）解法1、由余弦定理求得，得到，在中，由余弦定理求得，即可求解；又由，所以解法2、由，求得

14、，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）解：解法1、由余弦定理得，即，所以，所以，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，与互补，则，解得，在中，由余弦定理，得，因为，所以解法2、由题意可得，由AM为边BC上的中线，则，两边同时平方得，故，因为M为BC边中点，则的面积为面积的，所以，即，化简得，（2）解：方法1、在中，由余弦定理，得，所以，由AM，BN分别为边BC，AC上的中线可知P为重心，可得，在中，由余弦定理，得，又由，所以解法2：因为BN为边AC上的中线，所以，即所以19在中，角的对边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角

15、恒等变换和正弦定理的得到，进而由余弦定理得到，求出；（2）由三角函数和差公式求出，由求出取值范围.【详解】（1）因为，所以，整理得，由正弦定理得，由余弦定理得，因为，所以.（2）在中，因为，所以，所以，所以，所以，所以的取值范围为.20在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)证明：；(2)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析.(2).【分析】（1）运用余弦定理得，再运用正弦定理边化角化简计算即可.（2）运用三角形内角范围求得角C的范围，进而求得范围，运用边化角将问题转化为求关于的二次函数在区间上的值域.【详解】（1），由余弦定理得：，即：，由正弦定理得：，整理得：，即：，又，即：

16、.（2），又，由正弦定理得：，又，令，则，对称轴为，在上单调递增，当时，；当时，即：的范围为.21在中，的对边分别为.(1)若，求的值；(2)若的平分线交于点，求长度的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得出，再由余弦定理求得结果；（2）设，把表示成两个三角形的面积和，表示出，再求其取值范围；【详解】（1）已知，由正弦定理可得， 即，.（2）由（1）知，由，则.设，.22记的内角、的对边分别为、，已知.(1)求；(2)若点在边上，且，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理化简可得出，可求出的值，再结合角的取值范围可求得角的值；（2）求出、的值，设，则，分别在和中，利

17、用正弦定理结合等式的性质可得出、的等式，即可求得的值，即为所求.【详解】（1）解：因为，由余弦定理可得，化简可得，由余弦定理可得，因为，所以，.（2）解：因为，则为锐角，所以，因为，所以，所以，设，则，在和中，由正弦定理得，因为，上面两个等式相除可得，得，即，所以，.23在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求B；(2)如图，若D为外一点，且，求AC【答案】(1)(2)【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的余弦公式和正弦定理可得，进而得，从而得到；（2）连接BD，由已知得，可得，利用正弦定理可得，最后利用余弦定理求得【详解】（1）由，得，即，由正弦定理，得，整理，得，又，又，；（2）

18、连接BD，因为，所以，所以，所以又，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以在中，由余弦定理可得，所以24在中，角的对边分别为，已知，(1)求；(2)若为锐角三角形，求的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理角化边可得，结合余弦定理即得，即可求得答案；（2）利用余弦定理表示出，结合正弦定理边化角可得，利用三角恒等变换化简可得，结合为锐角三角形确定A的范围，结合正弦函数性质，即可求得答案.【详解】（1）由,根据正弦定理可得，所以，由余弦定理可得，（2）由余弦定理，得，即，由正弦定理，得，即，又，所以，由为锐角三角形，故，解得，所以，所以，所以，所以25在中，设角A，B，C所对的边分别

19、为a，b，c，且满足.(1)求证：；(2)求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知及余弦定理可推出,利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简可得，即可证明结论；（2）利用（1）的结论将边化角，结合三角恒等变换可得，由基本不等式可求得答案.【详解】（1）证明：在中，由已知及余弦定理，得，即,由正弦定理，得，又，故.，,，故.（2）由（1）得，由（1），得，当且仅当时等号成立，所以当时，的最小值为.26在中，角，的对边分别是，满足(1)求角；(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】(1)结合已知条件，利用余弦定理即可求解；(2)利用正弦定理得

20、到，然后利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由可得：，由余弦定理知，又因此.（2）在中，由，得，在中，由，可得，所以；在中，由，得，解得，所以，因为，所以，当且仅当时取等号，因此的最小值为.27在锐角中，内角，所对的边分别为，满足，且.(1)求证：；(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，结合整理可得角的关系；（2）由正弦定理得，又因为为锐角三角形且，结合三角函数值域可求得线段长度的取值范围.【详解】（1）由题意得，即.由正弦定理得，又由余弦定理得，所以，故，故，整理得，又为锐角三角形，则所以，因此.（2）在中

21、，由正弦定理得，所以. 所以，因为为锐角三角形，且，所以，解得.故，所以.因此线段长度的取值范围.28已知锐角中，角，所对的边分别为，且.(1)若角，求角；(2)若，求的最大值【答案】(1)(2)最大值为【分析】（1）运用两角和差的正余弦公式进行化简即可；（2）根据（1）中结论运用正弦定理得到，然后把表示为的函数，再利用降次公式化简，结合内角取值范围及求解.【详解】（1）由题意知.所以，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，由角，所以.（2）由（1）知，所以，因为，所以，由正弦定理得：，所以，因为，所以，所以，因为为锐角三角形，且，则有，得，所以，由二次函数的性质可得，当时，取得最大值，所

22、以的最大值为.29在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.（1）求角A；（2）若，求ABC的面积.【答案】（1）A；（2）.【解析】（1）利用正弦定理完成边化角，再根据在三角形中有，完成化简并计算出的值；（2）利用的值以及余弦定理求解出的值，再由面积公式即可求解出ABC的面积.【详解】（1）在三角形ABC中，由正弦定理得：，化为： ，三角形中，解得，A.（2）由余弦定理得，化为，所以三角形ABC的面积S4【点睛】本题考查正余弦定理和三角形面积公式的综合运用，涉及三角函数恒等变换，属基础题.熟练掌握利用正弦定理边化角，并结合三角函数两角和差公式化简，注意余弦定理与三角形面积公式的

23、综合运用.30已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，(1)求角C；(2)若点D在AB边上，且满足，当的面积最大时，求CD的长【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式可得，即可求出角C；（2）由余弦定理结合均值不等式可得，可求出当的面积最大值时，再由余弦定理即可求出CD的长.【详解】（1）依题意，由正弦定理可得，所以，则，因为，化简得，（2）由余弦定理得，当且仅当时，等号成立此时若的面积取到最大，则，为等边三角形，由余弦定理得，31的内角的对边分别为，已知，(1)求；(2)设为边上一点，且，求的面积【答案】(1)(2)【分析】（1）先由求得，再由余弦定理求得即可

24、；（2）先由余弦定理求得，再求出，最后由面积公式求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以在中，由余弦定理得，即，解得（舍去），（2）因为，由余弦定理得，又，即是直角三角形，所以，则，又，则，所以的面积为32已知分别为三角形三个内角的对边，且有.(1)求角A；(2)若为边上一点，且，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）运用正弦定理边化角、和角公式及辅助角公式求解即可.（2）解法一：运用正弦定理求解即可；解法二：运用向量线性表示证得即可.【详解】（1）由，有，.即，所以，因为,所以，即:，又因为，故.（2）解法一：设，则，在中，由正弦定理知，即，化简得，则，即.解法二：如图所示，取中点，延长与的

25、延长线交于点，连接，由有，由，设，则，即，故，所以，即为中点.又为中点，所以，又，所以为正三角形，又平分，所以，所以.33已知分别为三个内角的对边，且.(1)证明:；(2)若，求AM的长度.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先利用三角形的内角和定理结合两角和差的正弦公式化简，再利用正弦定理和余弦定理化角为边，整理即可得证；（2）在中，由（1）结合余弦定理求出，再在中，利用余弦定理即可得解.【详解】（1）由，得，则，由正弦定理和余弦定理得，化简得；（2）在中，又因为，所以，所以，所以，由，得，在中，所以.34在中，已知角，的对边分别为，且(1)求角的大小(2)若为锐角三角形，且，求的面

26、积【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求出角，（2）利用余弦定理结合已知条件求出，然后利用面积公式可求出三角形的面积.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得因为，所以所以，所以，因为，所以或（2）因为三角形为锐角三角形，所以，由余弦定理得，因为，所以，所以，所以三角形的面积为35如图，在中，角的对边分别为.已知.(1)求角；(2)若为线段延长线上一点，且，求.【答案】(1)(2)【分析】(1)运用正弦定理以及诱导公式求解；(2)根据条件运用正弦定理求解.【详解】（1）由条件及正弦定理可得：，即故，则有，又，故有，或（舍去），

27、或（舍去），则，又，所以；（2）设，在和中，由正弦定理可得于是，又，则，；综上，.36锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(1)求角C的值；(2)若，D为AB的中点，求中线CD的范围【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化简可得出，结合角为锐角可求得结果；（2）由余弦定理可得出，利用平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算可得出，利用正弦定理结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围，可得出的取值范围，即可得解【详解】（1）由，（2），由余弦定理有：，所以，由正弦定理，因为为锐角三角形，所以且，则，,则，37已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)在中

28、，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，然后利用整体代入法求得的单调递减区间.（2）利用余弦定理求得，结合三角函数值域的求法求得的取值范围.【详解】（1）令，则所以，单调减区间是.（2）由得：，即，由于，所以.在中，于是，则，所以.38在中，内角的对边分别为，已知.(1)求内角；(2)点是边上的中点，已知，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，根据辅助角公式即可求得内角；（2）根据向量加法的平行四边形法则可得，再利用数量积公式和基本不等式即可求得面积的最大值.【详解】（1）

29、在中，因为，由正弦定理得，因为，所以，于是有，所以，即，因为，所以，所以，即.（2）因为点是边上的中点，所以，对上式两边平分得：，因为，所以，即，而，有，所以，当且仅当时，等号成立.因此.即面积的最大值为.39在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求角B的大小；(2)若，且AC边上的高为，求的周长【答案】(1)(2)15【分析】（1）利用三角形内角和及诱导公式得到，再利用余弦的倍角公式得到，解得，从而得到；（2）由比例引入常数，利用三角形面积相等得到，从而利用余弦定理得到关于的方程，解之即可得到，由此得解.【详解】（1）因为，所以由得，所以，解得或，因为，所以，则，故，则，故（2

30、）因为，令，则，由三角形面积公式可得，则，故，由余弦定理可得，则，解得，从而，故的周长为40在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，且(1)求角B的大小；(2)若，求ABC的面积S【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角(的正弦)，进而利用同角三角函数的关系得到，再根据，结合两角和的正切公式得到关于的方程，求得的值，同时注意根据已知条件判定角为锐角，得到角的值；（2）利用同角三角函数的关系，求得三个内角的正弦值，进而利用正弦定理求得三角形另外两边的长，利用三角形面积公式计算即得S【详解】（1），,，即,又,解得或，又，角为钝角，角为锐角，；（2）由（1）知，及已知条件,，又，.学科网（北京）股份有限公司