黑龙江省大庆市实验中学实验三部2024届高三上学期阶段考试（二）数学试题含答案.pdf

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1、第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司大庆实验中学实验三部大庆实验中学实验三部 2021 级高三阶段考试（二）级高三阶段考试（二）数学试题数学试题第第 I 卷（选择题，共卷（选择题，共 60 分）分）一单项选择题：本大题共一单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1.已知集合Z33,1AxxBx yx，则AB（）A.1,0,1,2B.1,3C.0,1,2D.1,2.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为1,2，则下列结论正确的是（）A.i2iz B.

2、复数z的共轭复数是12iC.2z的实部为 5D.5z 3.已知抛物线22(0)ypx p的准线过双曲线2218xy的一个焦点，则p（）A.2B.4C.6D.84.设m n是两条不同的直线，是三个不同的平面.下列命题中正确的命题是（）A.若,mn，则mnB.若,，则C.若m,，则mD 若m,n n，则m5.数列 na的通项公式为2nankn，则“3k ”是“na为递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件6.若costan3sin，则sin 22（）A.23B.13C.89D.797.设0.24a，0.32b，ln1.32c，则（）A cbaB.bc

3、211.过双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为P，且该直线与y轴的交点为Q，若FPOQ（O为坐标原点），该双曲线的离心率的可能取值是（）A.2B.95C.3D.212.如图，已知正方体1111ABCDABC D的棱长为2,P为底面正方形ABCD内（含边界）的一动点，则下列结论正确的是（）.的第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司A.存在点P，使得1C P 平面11BCDB.三棱锥111BAD P的体积为定值C.当点P在棱CD上时，1PAPB的最小值为2 22D.若点P到直线1BB与到直线AD的距离相等，CD的中点为E，则点P到直线AE的最短距离是3

4、510第第 II 卷（非选择题，共卷（非选择题，共 90 分）分）三填空题：本题共三填空题：本题共 4 小题，每空小题，每空 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置分，把答案填在答题卡的相应位置13.直线l与直线230 xy垂直，且被圆22(2)(3)6xy截得的弦长为 2，则直线l的一个方程为_（写出一个方程即可）14.如图，在正三棱柱111ABCABC-中，1,AAAB M N分别是1BB和11BC的中点，则直线AM与CN所成的角余弦值为_.15.已知数列 na满足：3121231nnaaaaannn，设数列12nna的前n项和为nT，若对于任意的*Nn，不等式2nT恒成立

5、，则实数的取值范围为_.16.设函数 ee(0)xxf xaxaxaa，若不等式 0f x 有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是_.四解答题：本大题共四解答题：本大题共 6 小题，其中小题，其中 17 题满分题满分 10 分，其余各题满分分，其余各题满分 12 分，共分，共 70 分，把答案填在答题卡的相应位置分，把答案填在答题卡的相应位置.第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司17.已知函数 sinf xAx（其中0,0,2A）的部分图像如图所示，将函数 f x的图象向右平移4个单位长度，得到函数 g x的图象.（1）求 f x与 g x的解析式；（2）令 F xf xg x，

6、求函数 F x的单调递增区间.18.如图所示，在三棱锥SABC中，ABC为等腰直角三角形，点 S 在以AB为直径的半圆上，2CACBSC （1）证明：平面SAB 平面ABC；（2）若3sin3SAB，求直线SA与平面SBC所成角的正弦值19.在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，且sincos,332cBCb.（1）求B；（2）求ABC的AC边中线BD的最大值.20.已知nS为数列 na的前n项和，23a 且21nnSn aNn（1）求数列 na的通项公式；（2）若11 sinsin22nnnnnbSS，数列 nb的前n项和为nT，求50T21.在平面直角坐标系xOy中，抛物线

7、E：220ypx p的焦点为 F，E 的准线交x轴于点 K，过 K 的直线 l 与拋物线 E 相切于点 A，且交y轴正半轴于点 P.已知AKF的面积为 2.（1）求抛物线 E 的方程；第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司（2）过点 P 的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 y 轴的直线与线段 OA 交于点 T，点 H 满足MTTH.证明：直线HN过定点.22.已知函数()lnxf xxxaea，其中aR.（1）若 f x是定义域内单调递减函数，求 a 的取值范围；（2）当1a 时，求证：对任意(0,)x，恒有 cos1f xx成立.的第 1 页/共 23 页学科网（北京

8、）股份有限公司大庆实验中学实验三部大庆实验中学实验三部 2021 级高三阶段考试（二）级高三阶段考试（二）数学试题数学试题第第 I 卷（选择题，共卷（选择题，共 60 分）分）一单项选择题：本大题共一单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1.已知集合Z33,1AxxBx yx，则AB（）A.1,0,1,2B.1,3C.0,1,2D.1,【答案】A【解析】【分析】利用整数集的定义与具体函数定义域的求法化简集合,A B，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因

9、为Z332,1,0,1,2Axx，11Bx yxx x，所以AB 1,0,1,2.故选：A.2.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为1,2，则下列结论正确的是（）A.i2iz B.复数z的共轭复数是12iC.2z的实部为 5D.5z【答案】B【解析】【分析】由复平面内对应的点，得复数z，通过复数的乘法，复数模的计算，共轭复数和复数实部的定义，验证各选项的结论.【详解】复数z在复平面内对应的点的坐标为1,2，则12zi，i12ii2iz ，A 选项错误；12iz ，B 选项正确；2212i14i434iz ，2z的实部为-3，C 选项错误；22125z，D 选项错误.第 2 页/共 23 页学科

10、网（北京）股份有限公司故选：B3.已知抛物线22(0)ypx p的准线过双曲线2218xy的一个焦点，则p（）A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】【分析】求出双曲线的焦点坐标，然后利用抛物线的定义，求解 p 即可【详解】双曲线2218xy的焦点坐标3,0，抛物线22(0)ypx p的准线过双曲线2218xy的一个焦点，所以32p=，可得6p=故选：C4.设m n是两条不同的直线，是三个不同的平面.下列命题中正确的命题是（）A.若,mn，则mnB.若,，则C.若m,，则mD.若m,n n，则m【答案】A【解析】【分析】分析每个选项中的直线与平面的位置关系，判断正误.【详解】对于 A 项，若

11、/，m，n，则/m n，A 项正确；对于 B 项，若，可能和相交，B 项错误；对于 C 项，若/m，/，直线m可能在平面内，C 项错误；对于 D 项，若/m n，/n，直线m可能在平面内，D 项错误.故选：A.5.数列 na的通项公式为2nankn，则“3k ”是“na为递增数列”的（）第 3 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件【答案】D【解析】【分析】na为递增数列，则10nnaa对于任意*Nn恒成立，由不等式求k的取值范围即可.【详解】数列 na的通项公式为2nankn，na为递增数列，则22111210nna

12、ank nnknnk 对于任意*Nn恒成立，即21 kn对于任意*Nn恒成立，故max213kn ，则“3k ”是“na为递增数列”的充要条件.故选：D6.若costan3sin，则sin 22（）A.23B.13C.89D.79【答案】D【解析】【分析】切化弦，结合22sincos1得出1sin3，然后根据诱导公式及二倍角公式求解.【详解】因为costan3sin，所以sincoscos3sin，即223sinsincos，所以223sinsincos1，即1sin3，所以27sin 2cos21 2sin29，故选：D7.设0.24a，0.32b，ln1.32c，则（）A.cbaB.bc2

13、【答案】ABD【解析】【分析】由定义作出函数 F x的图像，结合图像验证选项中的结论.【详解】在同一直角坐标系下作出函数 1f xx和 2g xx的图像，由函数 F x定义，得 F x的图像如图所示，结合图像可知，当0,1x时，21xx，2F xx，A 选项正确；函数 F x的最小值为-1，B 选项正确；函数 F x在2,0上单调递增，C 选项错误；若关于x的方程 F xm恰有两个不相等的实数根，则10m 或m2，D 选项正确.的第 7 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司故选：ABD11.过双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为P，且该直线与y轴的交点为

14、Q，若FPOQ（O为坐标原点），该双曲线的离心率的可能取值是（）A.2B.95C.3D.2【答案】ABC【解析】【分析】由题意画出图形，首先得出渐近线方程，由点到直线的距离公式表示出FP，再进一步表示出过由焦点且与渐近线垂直的直线，令0 x 可得OQ，结合离心率公式化为齐次不等式求解即可.【详解】由题意不妨设渐近线OP的方程为byxa，点,0F c，其中222,0abc c，所以过点,0F c且和渐近线OP垂直的方程为ayxcb，令0 x，得QacOQyb，由点到直线的距离公式可知21bcaFPbba，由题意acFPbOQb，即222bcaac，而1cea，所以210ee ，解得512e，第

15、8 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司对比各个选项可知该双曲线的离心率的可能取值是 2，95，3.故选：ABC.12.如图，已知正方体1111ABCDABC D的棱长为2,P为底面正方形ABCD内（含边界）的一动点，则下列结论正确的是（）A.存在点P，使得1C P 平面11BCDB.三棱锥111BAD P的体积为定值C.当点P在棱CD上时，1PAPB最小值为2 22D.若点P到直线1BB与到直线AD的距离相等，CD的中点为E，则点P到直线AE的最短距离是3 510【答案】ABD【解析】【分析】对于 A 选项，当点 P 与 A 重合时，利用线面垂直的判定定理即可判断；对于 B 选项，由

16、P 到上底面的距离是定值即可判断；对于 C 选项，将平面ABCD沿CD旋转至平面11ABCD共面，即可得到1PAPB的最小值，从而得以判断；对于 D 选项，先得到点 P 的轨迹方程，将问题转化为抛物线上的点到直线的最小距离，从而得解.【详解】对于 A 选项，如图，连接1AC，11AC，因为在正方体1111ABCDABC D中，1AA 平面1111DCBA，11B D 平面1111DCBA，的第 9 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司所以111B DAA，因为1111DCBA为正方形，所以1111B DAC，又因为1111ACAAA，1AA，11AC 平面11AAC，所以11B D 平面

17、11AAC，因为1AC 平面11AAC，所以1AC 11B D，同理可得1AC 1BC，因为1111B DBCB，11B D，1BC 平面11B DC，所以1C A 平面11B DC，所以当点 P 与 A 重合时，1C P 平面11B DC，故 A 正确；对于 B 选项，三棱锥111BAD P的体积就是三棱锥111PB AD的体积，而 P 到上底面的距离是定值，所以三棱锥111BAD P的体积是定值，故 B 正确；对于 C 选项，当点 P 在棱CD上时，把平面ABCD沿CD旋转，使得旋转面与平面11ABCD共面，连接1A B，如图，此时1PAPB取得最小值1A B，在11Rt AB A中，11

18、2AB，12 22A A，则214(22 2)2 22A B，故 C 错误；对于 D，由点 P 到直线1BB与到直线AD的距离相等，可知 P 在以AD为准线，B 为焦点的抛物线上，建立如图所示的平面直角坐标系，则10B,，P 的轨迹是抛物线，其方程为24(01)yxx，因为 CD 的中点为 E，1,0A、0,2E，第 10 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司所以 AE方程:22yx，与 AE 平行的抛物线的切线方程设为2yxb，联立224yxbyx，可得224(44)0 xbxb，则由22(44)160bb，解得12b，可得切线方程为122yx，则点 P 到直线 AE 的最短距离为12

19、3 52105，故 D 正确；故选：ABD.【点睛】本题 D 选项的结论的解决关键是利用抛物线的定义，建立平面直角坐标系，得到点 P 的轨迹方程，从而将问题转化为抛物线上的点到直线 AE 的距离的最值，从而得解.第第 II 卷（非选择题，共卷（非选择题，共 90 分）分）三填空题：本题共三填空题：本题共 4 小题，每空小题，每空 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置分，把答案填在答题卡的相应位置13.直线l与直线230 xy垂直，且被圆22(2)(3)6xy截得的弦长为 2，则直线l的一个方程为_（写出一个方程即可）【答案】220 xy（或2120 xy）【解析】【分析】根据

20、直线垂直的斜率关系得l的斜率，设出直线方程，然后根据弦长公式和点到直线的距离公式可得.【详解】因为直线l与直线230 xy垂直，所以，直线l斜率为2，设直线l的方程为2yxb，即20 xyb，圆22(2)(3)6xy的圆心为2,3，半径为6.圆心到直线l的距离4374 15bbd，则有227615b，解得2b 或12b，故直线l的方程为220 xy或2120 xy.故答案为：220 xy（或2120 xy）的的第 11 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司14.如图，在正三棱柱111ABCABC-中，1,AAAB M N分别是1BB和11BC的中点，则直线AM与CN所成的角余弦值为_.【

21、答案】35【解析】【分析】分别取1,AA BC中点,P Q，易证得四边形1APB M和1B NCQ均为平行四边形，根据平行关系可知所求角为1PBQ或其补角，利用余弦定理可求得结果【详解】分别取1,AA BC中点,P Q，连接11,B P BQ AQ PQ，因为三棱柱111ABCABC-为正三棱柱，所以ABC为等边三角形，设12AAAB，,1111/,1,/,1B MAP B MAPB NCQ B NCQ，所以四边形1APB M和1B NCQ均为平行四边形，111/,/,B PAM CNBQPBQ（或其补角）即为直线AM与CN所成角；2222213,2AQPQAPAQ又2211215B PBQ，

22、222111115543cos252 55B PBQPQPBQB PBQ,所以直线AM与CN所成的角余弦值为35,故答案为：35.,第 12 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司15.已知数列 na满足：3121231nnaaaaannn，设数列12nna的前n项和为nT，若对于任意的*Nn，不等式2nT恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】13,22【解析】【分析】已知条件求出nan，裂项相消求出nT，由不等式2nT恒成立，列不等式求实数的取值范围.【详解】数列 na满足：3121231nnaaaaannn，1n 时11a，2n 时，3131221111231231nnnaaaaaaa

23、aannnnn，得1nan，即nan，1n 时也满足nan，则有nan.111 112222nnan nnn，111111111111123243546112nTnnnn111113312212224nn，不等式2nT恒成立，即234，解得12 或32.第 13 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司即实数的取值范围为13,22.故答案为：13,2216.设函数 ee(0)xxf xaxaxaa，若不等式 0f x 有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是_.【答案】221e,2e 1 2e1【解析】【分析】根据题意，把不等式转化为11exxxa，令 1exxh xx，求得 e2exxxh

24、 x，令 e2xxx，得到 e10 xx，结合 00,10，得到存在唯一的00,1x 使得00 x，得出函数 h x的单调性，结合 0,1,1,2hhhh的值和题设条件，得出21112ee2a，即可求解.【详解】由函数 ee(0)xxf xaxaxaa，若不等式 0f x，即ee0 xxaxaxa，因为0a，可化为11exxxa，令 1exxh xx，可得 e2exxxh x，令 e2xxx，可得 e10 xx，所以 x在 R 上单调递增，又由 00,10，所以存在唯一的00,1x 使得00 x，当0 xx时，0 x，可得 0h x，所以 h x单调递减，当0 xx时，0 x，可得 0h x，

25、所以 h x单调递增，且00,1x，又因为 2101,11,12e 1,22ehhhh，所以当原不等式有且仅有三个整数解时，有21112ee2a，解得221e2e 12e1a，即实数的取值范围是221e,2e 1 2e1.故答案为：221e,2e 1 2e1.第 14 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少

26、碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别四解答题：本大题共四解答题：本大题共 6 小题，其中小题，其中 17 题满分题满分 10 分，其余各题满分分，其余各题满分 12 分，共分，共 70 分，把答案填在答题卡的相应位置分，把答案填在答题卡的相应位置.17.已知函数 sinf xAx（其中0,0,2A）的部分图像如图所示，将函数 f x的图象向右平移4个单位长度，得到函数 g x的图象.（1）求 f x与 g x的解析式；（2）令 F xf xg x，求函数 F x的单调递增区间.【答案】（

27、1）2sin 23f xx；2sin 26g xx （2）75,2424kkkZ【解析】【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期T和A 的值，可求出，再将点7,212代入函数解析式，结合2可求得3，写出 f x；再由 f x的图象向右平移4个单位长度，得到函数 g x的图象；（2）用辅助角公式和诱导公式得出 2 2sin 212F xx，再利用正弦函数的递增区间得出 x 的取值范围.【小问 1 详解】第 15 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司由图像可知7,241234TTA，所以222T，又图像过点7,212，所以7522sin 22,123kk Z，因为2，所以3，所以 2sin

28、 23f xx，将函数 f x的图象向右平移4个单位长度，得到函数 g x的图象，所以 2sin 22sin 2436g xxx【小问 2 详解】因为 F xf xg x，所以 2sin 22sin 22sin 22cos 22 2sin 22 2sin 236333412F xxxxxxx所以2 22,2122kxkkZ，解得75,2424kxkkZ，单调递增区间为75,2424kkkZ18.如图所示，在三棱锥SABC中，ABC为等腰直角三角形，点 S 在以AB为直径的半圆上，2CACBSC （1）证明：平面SAB 平面ABC；第 16 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司（2）若3s

29、in3SAB，求直线SA与平面SBC所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）155【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，CO 平面SAB，根据平面与平面垂直的判定可证结论；（2）建立空间直角坐标系，求出法向量，利用线面角的公式求解.【小问 1 详解】设AB的中点为 O，连接CO，SO因为ABC为等腰直角三角形，且2CACB，所以2AB，1CO，且COAB因为 S 在以AB为直径的圆上，所以112SOAB故2222SOCOSC，故COSO又因为ABSOO，直线,AB SO 平面SAB，所以CO 平面SAB，因为CO 平面ABC，所以平面SAB 平面ABC 【小问 2 详解】以 O 为坐标原

30、点，OC，OB所在直线分别为 x，y 轴，过点 O 且垂直于平面ABC的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则0,1,0A，1,0,0C，0,1,0B第 17 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司由3sin3SAB得6cos3SAB，所以2 2sinsin22sincos3SOBSABSABSAB，从而得1cos3SOB，所以1 2 20,33S所以42 20,33SA，22 20,33SB，1,1,0BC ，设平面SBC的法向量为,nx y zr，则00BC nSB n，022 2033xyyz，不妨取2y，则2,2,1n 因为2 215cos,52 653SA nS

31、A nSA n，故直线SA与平面SBC所成角的正弦值为15519.在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，且sincos,332cBCb.（1）求B；（2）求ABC的AC边中线BD的最大值.【答案】（1）3B （2）3 32【解析】【分析】（1）直接由二倍角公式，正弦定理边化角即可得解.（2）首先利用向量模的公式，再结合余弦定理以及基本不等式即可得解，注意取得条件是否满足.【小问 1 详解】由题意sin02B，结合已知有2sinsin2 sincossin23223BcBBcCB，所以2sin23Bccb，而3b，第 18 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司所以1sin22

32、B，而0,22B，所以26B，解得3B.【小问 2 详解】由题意12BDBABC ，所以22222111122222BDBABCBABCBABA BCBCcaca ，而由余弦定理有2222292cos3bacacacac，所以1922BDac，由基本不等式可得2292acacacacac，当且仅当3ac时，等号成立，即max9ac，所以maxmax13 39222BDac，即ABC的AC边中线BD的最大值为3 32.20.已知nS为数列 na的前n项和，23a 且21nnSn aNn（1）求数列 na的通项公式；（2）若11 sinsin22nnnnnbSS，数列 nb的前n项和为nT，求50

33、T【答案】（1）21nanNn （2）104【解析】【分析】（1）利用na与nS的关系可得11211nnnnanaa，再利用等差数列的定义及条件即第 19 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司求；（2）由题可得221sin1sin22nnnbnn，再分组求和即得.【小问 1 详解】当1n 时，1121Sa，又11aS，所以11a；当2n 时，11211nnSna，所以1211nnnanana，即1121nnnana，所以111nnnana，所以11112nnnnnananana，化简，得11211nnnnanaa，即当2n 时，112nnnaaa，所以 na为等差数列，又11a，23a，

34、所以公差2d，所以21nanNn【小问 2 详解】由（1）知 na为以1为首项，2为公差的等差数列，所以21122nn nSnn，所以221sin1sin22nnnbnn，所以22222222222222501335577991111134951T 2222222222222213355779911111349512 42 82 122 162 202 962 100 2 428 1221620296 100 88 12104 21.在平面直角坐标系xOy中，抛物线 E：220ypx p的焦点为 F，E 的准线交x轴于点 K，过 K 的直线 l 与拋物线 E 相切于点 A，且交y轴正半轴于点

35、P.已知AKF的面积为 2.（1）求抛物线 E 的方程；（2）过点 P 的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 y 轴的直线与线段 OA 交于点 T，点 H 满足MTTH.证明：直线HN过定点.第 20 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）24yx （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意假设得直线 l：2pxmy，联立抛物线方程求得，,2pAp，再利用三角形面积即可求得2p，由此得解；（2）根据题意设得MN：1ykx，联立抛物线方程求得12124yyy yk，再依次求得 T，H 的坐标，从而求得直线HN的方程，化简可得HN为121214yyxyxx，由此得

36、证.【小问 1 详解】由题可知，,02pF，准线2px ，,02pK，因为直线 l 的斜率存在且不为 0，所以设 l：2pxmy，联立222ypxpxmy，消去 x，得2220ypmyp，因为 l 与 E 相切，所以22410pm，所以1m 或1m ，因为交 y 轴正半轴于点 P，所以1m,因此2220ypyp，解得yp，所以,2pAp，故AFKF，所以2122AKFSp，所以2p（负值舍去），所以抛物线 E 的方程为24yx.【小问 2 详解】由（1）知1,2A，又 l：1yx，所以0,1P，如图所示：第 21 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司因为过点 P 的直线交 E 于 M，N

37、 两点，所以MN斜率存在且不为零，所以设MN：10ykxk，11,M x y，22,N xy，联立241yxykx，消去 x，得24400kyyk，则16 10k，所以1k 且0k，12124yyy yk.又直线OA：2yx，令1xx，得12yx，所以11,2T xx，因为MTTH，所以111,4H xxy，所以121214NHyyxKxx，所以直线NH的方程为12122214yyxyyxxxx，所以21211211211212212212121214444xyyxyyxyyxx xx yx yyxyxxxxxxxxx，因为222212121212122121121244044444yyyyy

38、 yx xx yx yyyy yyy，所以直线NH为121214yyxyxxx，所以NH恒过定点0,0.【点睛】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为11,xy，22,xy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx、12x x（或12yy、12y y）的形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知函数()lnxf xxxaea，其中aR.第 22 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司（1）若 f x是定义域内的单调递减函数，求 a 的取值范围；（

39、2）当1a 时，求证：对任意(0,)x，恒有 cos1f xx成立.【答案】（1）1ae；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，根据题中条件，得到ln1xxae在(0,)上恒成立，令ln1()(0)xxG xxe，对其求导，利用导数的方法判定其单调性，求出最大值，即可得出结果；（2）当1a 时，ln1xf xxxe，将问题转化为证明1lncos1xxxex，分别讨论01x，1x两种情况，利用导数的方法证明都成立，即可得出结论成立.【详解】（1）因为 lnxf xxxaea，所以 ln1xfxxae，因为 f x在定义域内是单调递减函数，则 0fx在(0,)上恒成立.即ln1xx

40、ae在(0,)上恒成立，令ln1()(0)xxG xxe，得1ln1()xxxG xe，易知 10G，且函数1ln1yxx在0,上单调递减，当0 x 时，e1x，所以在区间0,1上，0Gx；在1,上，0Gx，所以 ln1xxG xe在0,1上单调递增，在1,上单调递减，此时 G x的最大值为 11Ge；所以当1ae时，f x在定义域上单调递减；（2）当1a 时，lnln(1)ln1xxxf xxxaeaxxa exxe，要证 cos1f xx，即可证1lncos1xxxex，当01x时，欲证明1lncos1xxxex，即证明lncos2xxxex，令()cos2xg xex，01x，则()si

41、n0 xg xex在0,1上恒成立，第 23 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司所以()g x在(0,1)上单调递增，则()(0)0g xg，即cos20 xex；又因为01x，ln0 xx，所以lncos2xxxex在(0,1)上成立；当1x时，欲证明1lncos1xxxex，即证明lncos20 xxxex，令 lncos21xh xxxexx，则 ln1sinxh xxex，1cosxhxexx，当1x时，1cos2xxex，所以1cos0 xxex，即 0h x在1,)上成立，所以 h x在1,)上单调递减，又因为 11sin10he ，所以 0h x在1,)上成立，所以 h x在1,)上单调递减，(1)cos120h xhe ，即1x时，lncos20 xxxex成立.综合可得，对任意0,x，恒有 cos1f xx成立.【点睛】方法点睛：利用导数的方法证明不等式恒成立的常用方法：一般需要构造函数（作差构造函数，或作商构造函数，或构造两不同函数），对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性及最值，即可求解.