专升本《高等数学（一）》复习资料.pdf

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1、20212021年年1010月份成人高考入学考试月份成人高考入学考试高等数学（一）复习资料高等数学（一）复习资料 主编：张老师一、极限1.利用极限的四则运算法则求极限考点1：极限的四则运算法则极限的四则运算法则nxxnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxfxfcxfcBAxgxfxgxfxgABxgxfxgxfBAxgxfxgxfBxgAxf)(lim)(lim)(lim.)(.lim)(lim)(lim)()(lim0)(lim.3)(lim)(lim)().(lim.2)(lim)(lim)()(lim.1,)(lim,)(lim000000000000000

2、0，当则如果一、极限为无穷大量，则为无穷小量，且反之，如果为无穷小量为无穷大量，则果在同一变化过程中，如两者关系：记作无穷大量为过程中，增大），则称在该变化变得充分大（即无限得的绝对值可以）时，函数（或如果当自变量无穷大量概念来表示无穷小量，字母在微积分中，常用希腊）（或穷小，记作）为无穷小量，简称无（则称在该变化过程中，）的极限值为零，（）时，函数（或如果当自变量无穷小量概念：)(10)()()(1)()(lim.)()(2.0flim0)(flimff. 10000 xfxfxfxfxfxfxfxfxxxxxxxxxxxxxxx考点2：无穷小量和无穷大量定义及关系无穷小量和无穷大量定义及关

3、系一、极限.,lim4.1lim3.0lim2.0lim10lim0lim.2.2.1.1.低阶的无穷小量是比则称）如果（等价于等价无穷小量，记作是与，则称）如果（同阶的无穷小量是与，则称）如果（高阶的无穷小量是比，则称）如果（，即量，是同一过程中的无穷小和设无穷小量的比较的积仍为无穷小量）无穷小量与有界之量（、差、积仍为无穷小量）有限个无穷小量的和（无穷小量的性质CC考点3：无穷小量性质及比较无穷小量性质及比较一、极限考点4：等价无穷小等价无穷小）为实常数，（），（，）（时，当常用等价无穷小：。叫做等价无穷小代替法方法可穷小量之比的极限，此用这个方法来求两个无以后我们可以比的极限来代替它们等

4、价的无穷小量之以用与穷小量之比的极限，可这个定理说明，两个无则，且无穷小量，都是同一变化过程中的、如果0 x1-x1x21cosx-1tanx1-earctanxarcsinxx1lnsinxx0 x.limlim1.2x212122112121一、极限考点5：两个重要极限两个重要极限e1limen11lime11lim1sinlim10nn0 xxxxxxxxx）（）（）（特殊极限二：特殊极限一：二、连续考点1：函数在某一点的连续函数在某一点的连续.ylimlimxy3.ylimxy2.y0-lim0y0y1000000000000000 x000-00处连续）在点（），则称函数（）（）（）

5、，即（于函数值）的左右极限存在且等（时，函数如果当的某个邻域内有定义，）在点（：设函数定义处连续）在点（），则称函数（）（即）（处的函数值于）的极限值存在，且等（时，函数如果当的某个邻域内有定义，）在点（：设函数定义处连续）在点（则称函数）（）（，即近于也趋时，相应的函数改变量）趋近于（初值为自变量如果有的某个邻域内有定义，）在点（：设函数定义xxfxfxfxfxfxfxxxfxxfxfxfxfxxfxxxfxxfxfxxfxxxxfxxxxxx二、连续考点2：函数间断点函数间断点）（）（）存在，但（）有定义，且（处）虽然点（）的极限不存在。（处，）在点（）没有定义。（处，）在点（）的一个间断

6、点：（是，则点处有下列三种情况之一在点）（义可知，如果函数由函数在某点连续的定一个间断点）的（为处不连续，则称点）在点（定义：如果函数0 xx000000000limlim321.xfxfxfxfxxfxxfxxfxxxfxfxxxfxx三、导数（一）导数定义hhlimlimlim.dd.limylim.y.0000000000000000000000000）（）（）（）（）（）（）（）（）（即）（或，记作处的导数）在点（数存在，则此极限值为函）（）（如果极限）（）（）相应地有改变量（函数仍在该领域内）（处的改变量为在点若自变量的某一邻域内有定义，）在点（设函数，xfxfxfxxxfxfxfx

7、xfxxfxfxfxyyxxfyxxfxxfxxfxxfxfyxxxxxxxfyhxxxxxxxxx三、导数（二）基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxxxxxxxxxx22a1aacsccot(sectan.8sincoscossin.7ee.6lnaaa.51ln.41a,0alna1log.3a.20c.1）（）（）（）（）（）（）且（）（）（）（三、导数（二）基本初等函数的导数公式2211arctan10.1111arcsin. 9xxxxx）（）（）（三、导数（三）导数的四则运算公式）（）（为常数）（）（）（）（0vvv . u-v .uvu. 4ccucu. 3v . uv .u

8、v . u. 2vuvu. 12三、导数（四）复合函数求导）分别求导相乘（）找出复合框架，（解题思路：）（）（）（处可导，且有在点）（处也可导，则复合函数）在对应点（处可导，函数）在点（如果函数2)(),(),()(),(1u.yyuuuxfvvfuufyxfuufyxufxfuyydxdududdxdxxfyfyxxxux三、导数（五）参数方程表示的函数求导法则ttxytvtudxdt.dtdydtdxdtdydxdy.txyttvytux）（）（后再进行求导要先消去参数所确定的导数时，不需参数方程的函数，在计算此类由为确定了为参数）（）（）（一般的，如果参数方程三、导数（六）隐函数的求导，

9、再求解）时，先两边同时取对数特殊情况：对数求导法合函数求导法即可。视为中间变量，利用复求导，而把的两端同时对），（可直接在方程做法：对于隐函数的求导通常，如这种称之为隐函数，来确定），（个方程之间的函数关系是由一与）（）（，如函数。）来表示的，称之为显（）（两种：解析法表示函数通常有(yx0yx0ee-xy01-yx20yxyx .2x1xlneysinwxyxf.y1yx32xFF一、求导方法（七）对数函数求导法)()(.)(ln).(.1)2()(ln.ln1)()(xuxuvxxuxvyyxxuvxyxuyxv求导得到两边同时对）两边同时取对数得（步骤为：通常解决函数类型为：此称为对数求

10、导法或复合求导法求导，因然后利用隐函数求导法边同时取对数后化简质可以将原来的函数两利用对数函数的运算性三、导数（八）高阶求导）（或）（）（，）（或），（，二阶导数记为）的一阶导数（称为函数）（）的二阶导数，相应地（）的导数为（那么就称的可导函数，）仍是（）的导数（如果函数dxdydxddxydxfxfyydxfddxydxfxfxfxfxfxxfxf22 2222 y.yyy四、微分（一）微分公式和微分法则)0()(;)()()()(),(sin)(cos)8(cos)(sin)7.(1)(ln)6()1,0(ln1log)5.()()4()1,0(ln)()3()(d2.c0c)d1(21v

11、vudvvduvududvvduuvddvduvudccducudxvvxuuxdxxdxdxxddxxxdaadxaxxddxeedaaadxaaddxaxxaxxxxaa为常数）；可微分，则设微分运算公式函数的和、差、积、商且且）（为常数）（）（微分公式：五、导数应用（一）洛必达求导”来求解”或“为“也可以变形；其它类型未定式：极限的一种有效方法。洛必达法则是求未定型”或“简记为“为未定型极限，并分别大，则称都趋于零或都趋于无穷与时，函数或如果当00-. 0.00)()()()()(lim)(xFxfxFxfxaxxax五、导数应用（二）曲线的切线方程与法线方程)()(1)()(1)()(

12、-)()()()(0000000000000 xxxfxfyxfxxxfxfyxfxMxfxMxfxxfy，法线方程为法线的斜率为的切线方程为：，曲线上点的切线斜率，所以，过，表示过曲线上点意义，知处可导，由导数的几何在点若函数五、导数应用（三）函数单调性判断.)(0)()(),()(, 0)(),(. 2),()(, 0)(),(. 1.),()(的单调性不影响在个别点处注：内是递减的。在区间则函数内如果在区间内是递增的；在区间则函数内如果在区间内可导在区间设函数xfxfxfbaxfxfbabaxfxfbabaxf五、导数的应用（四）函数的极值定。极值第一充分条件来判是否为极值点，而改用，此

13、方法不能判定）若（为极小值点；为极小值，）若（为极大值点；为极大值，）若（，则处存在二阶导数，且在设函数极值的第二充分条件不是极值点。两侧的符号相同，那么在）如果（为极小值为极小值点，时则称，时，）若（为极大值为极大值点，时则称，时，）若（的某领域内可导在设极值的第一充分条件00 000 000 0000000000000)(3)(0)(2)(0)(10)()(2.)(3)(0)(0)(2)(0)(0)(1.)(1.xxfxxfxfxxfxfxfxxfyxxxfxfxxfxxxfxxxfxxfxxxfxxxxf五、导数的应用（四）函数的极值极值点必为驻点。由此可知，可导函数的的驻点，的点为函数

14、，称满足处取得极值，则必有可导，且在点在设函数极值存在的必要条件：)(0)(0)()(0000 xfxfxfxxxf五、导数的应用（五）曲线的凹凸性及拐点为曲线的拐点。与凸弧之间的分界点称在连续的曲线上的凹弧曲线的拐点：上的图形是凸的在则则）内，）若在（上的图形是凹的在则则）内，）若在（那么数，）内具有一阶和二阶导上连续，在（在设函数曲线凹凸性的判别法：,)(, 0)(,2,)(, 0)(,1,)( baxffxfbabaxffxfbababaxfy五、导数的应用（六）曲线的水平渐近线与铅直渐近线.)(ax)(lim)(lim)(lim.)(y)(lim)(lim)(lim-的铅直渐近线是曲线

15、称直线，则或或若的水平渐近线是曲线称直线，则或或若定义：xfyxfxfxfxfyAAxfAxfAxfaxaxaxxxx六、不定积分（一）原函数.dx)()(.dx)()()(为任意常数，其中）（的一个原函数，则有）为（如果记为上的不定积分在的原函数的全体，称为区间上CCxFxfxfxFxfIxfxf六、不定积分（二）不定积分.dx)()(.dx)()()(为任意常数，其中）（的一个原函数，则有）为（如果记为上的不定积分在的原函数的全体，称为区间上CCxFxfxfxFxfIxfxf六、不定积分（三）不定积分的性质dxxgdxxfdxxgxfkdxxfkdxxkfCxFdxxFCxFxdFdxxf

16、dxxfdxdxx)()()()(4()()(3)()(,)()(2)()(,ff1）（为常数）（）（）（）（）（六、不定积分（四）基本积分公式CxxdxCxxdxCedxeaaCaadxaCxdxxaCadxxxxxsincos)6(cossin)5()4() 1, 0(ln)3(ln1)2() 1(x11x11aa）（六、不定积分（四）基本积分公式CxdxxCxdxxarcsin118arctan11722）（）（六、不定积分 （五）求不定积分的两种常用方法：vduuvudvxvuCxvFdxxvxvfxvxvfxvFxvFf的可微函数，则有都是、设二、分部积分法的原函数，即有：是则，且有

17、原函数设分法）一、换元积分法（凑微)()()()()()(),(u)u()u(七、定积分.,)()(.,)()(称为积分上限称为积分下限，称为积分区间，称为积分变量，称为被积表达式，称为被积函数，其中上可积在区间称babaxdxxfxfbaxfdxxfba （一）定积分的定义七、定积分0)()(-)()(2.)()(,)(1dxxfdxxfdxxfdxxfdttfdxxfbaxfaaabbabababa特别地有定积分的符号，即积分上下限，必须改变限制，但若颠倒中，上下限的大小没有）定积分（符号无关，即应有有关，而与积分变量的及积分区间被积函数只与是一个确定的常数，它）定积分若存在，它只（注意：

18、 （二）定积分的注意点七、定积分 （三）定积分的性质bababacabcbababababadxxgdxxfxgxfbadxxfdxxfdxxfbccacbadxxgdxxfdxxgxfdxxfkdxxkfk)()(),()(,. 4)()()(,. 3.)()()()(. 2)()(. 1则有上，总有如果在区间，则有与小区间分成两个被点积分区间定积分的可加性：如果的代数和的情况可以推广到有限个函数即有数和等于它们的定积分的代两函数代数和的定积分为常数，则有外，即若常数可以提到积分号之七、定积分（四）牛顿莱布尼茨公式)()()()(,)()(aFbFabxFdxxfbaxfxFba任意一个原函

19、数则有上在区间是连续函数如果bababadxxfSSaABbxfdxxfSSaABbxbabxaxxfydxxfxf)(-. 20)()2()()(,),()(0)(1即如图的面积时，曲边梯形当，即的面积曲边梯形轴所围成的和直线表示由连续曲线时，定积分）当（ （五）定积分的几何意义 （五）定积分的几何意义求平面图形面积七、定积分dxxfxfSbxaxxfyxfySxfyxfydyyySSdcdycyyxyxdyySSydcdycyyxdxxfxfSSbabxaxxfyxfydxxfSSxbabxaxxfybadcdcbaba)()(,)()(:)()()5()()(:)(,),(),()4()

20、(:)(,),(3)()(:)(,)()()2()(:)(,),(112212112211221，则的最大值，记为及交点中记为的最小值，得出交点中只需求解方程组：先求两条曲线的交点，的面积所围成的封闭平面图形，由的面积所围成的封闭平面图形由形的面积轴所围成的封闭平面图及）由（的面积所围成的封闭平面图形，由形的面积轴所围成的封闭平面图及）由（ （五）定积分的几何意义求旋转体体积七、定积分dyyVVOyOydcdycyyxdyyVVOydcdxcyxdxxfVVOxOxbabxaxxfydxxfVVOxbxaxfydcyydcyybaxxbaxx)(:)(,)()4()(:)()(3)(:)(,)

21、()2()(:),(12222轴旋转所得旋转体体积绕轴所围成的图形及，曲边梯形轴旋转所得旋转体体积绕，）曲线段（轴旋转所得旋转体体积绕轴所围成的图形及，曲边梯形轴旋转所得旋转体体积绕）曲线段（ （五）定积分的几何意义求旋转体体积七、定积分dyyyVVOydcdycyyxyxdxxfxfVVOxbabxaxxfyxfydcyybaxx)()(:)(,)()()6()()(:)(,)()()5(212221212221轴旋转所得旋转体体积绕所围成的图形，由轴旋转所得旋转体体积绕所围成的封闭图形，由八、多元函数.),(),(,统称多元函数二元及二元以上的函数数，记作类似的可以定义三元函的函数，记作为

22、则称对应，有唯一确定的数值与之依照某一规律），变量（上的每一点果对于平面上的一个区域，如为定义：设zyxfuyxfzyxzfzyxPDxOyD （一）多元函数定义带入即可。，函数中将偏导）处的偏导数，只需在在点（如果要求求导数就行了看成是常数，而对元函数中的的偏导数时，只要将二对同理，求求导数就行了看成是常数，而对元函数中的的偏导数时，只要将二对方法，当求的的偏导数，并不需要新和对求二元函数偏导数的求法：0000,),(.),(.),(),(yyxxyxyxfyxyyxfxyxyxfyxyxfz八、多元函数 （二）偏导数.),(),()(),()(),()(),()(22 22 2 2 22的

23、二阶混合偏导数为，称yxfzxyzyxzyxfzyzyzyyxfzxyzyzxyxfzyxzxzyyxfzxzxzxyyyyyxyxxyxyxxxx八、多元函数 （三）二阶偏导数.),),(0-3.),),(0-2.00),),(0-1),(,),(,),(0),(, 0),(),),(00200200200 00 00 000000处极值不能确定在点（时，函数）（处无极值在点（时，函数）（时有极小值时时有极大值，当极值，且当处取得在点（时，函数）当则（又设续偏导数，且连续，有一阶和二阶连的某邻域内在点（解题思路：设函数yxyxfACByxyxfACBAAyxyxfACBCyxfByxfAyx

24、fyxfyxfyxyxfzyyxyxxyx八、多元函数 （四）二元函数极值dzzfdyyfdxxfduzyxfuyfxfyfxfyxyxfzyxfzxxfydyyfdxxfdz可微，则类似地，若三元函数存在且连续。，是存在。可微的充分条件，导数处可微的必要条件是偏，在点，函数系是：可微与偏导数存在的关，二元函数。处可导与可微是等价的在点一元函数全微分),()()()()(八、多元函数 （五）全微分Cdxexqeyxqyxpdxdydxxpdxxp)()()()()(21解的解法，可用公式法求）一阶线性微分方程（）可分离变量的解法（九、常微分方程 （一）一阶微分方程为非齐次方程的通解则为非齐次方

25、程的特解解，为对应的齐次方程的通若，一对共轭复根，两个相等的实根，两个不等的实根的根特征方程的通解形式yyCyCyyCyCyxCxCeyirrqpexCCyrrqpeCeCyrrqprrqprrqypyyxxrxrxr22112211212122121221212212 )sincos(, 04)3()(, 04)2(, 04) 1 (,00121九、常微分方程 （二）二阶线性微分方程 。不存在，则称级数发散反之，若极限记为，收敛收敛于级数称为级数的和，或者说极限值收敛则称级数有极限，即如果数列（二）收敛与发散为级数的一般项。为首项，而称为无穷级数，简称级数称表达式（一）定义：设有数列nnnn

26、nnnnnnnnnnnnSSuSuSuSSSuuuuuunulim.,lim.,.),2 , 1(1111121九、无穷级数收敛收敛，此时收敛为条件发散，但级数若级数称为绝对收敛一定收敛，此时收敛，则级数若级数收敛（四）绝对收敛与条件收敛。级数发散，断，如级数，级数的收敛性不能判若级数一定发散，则级数若，由此可知：收敛，则若级数条件（三）收敛级数的必要111111211111100lim0limnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnuuuuunnuuuuu九、无穷级数比较方便级数的收敛性，用这种方法判别正项常有因子如果时不定时发散时收敛，则如果为正项级数判别法）比值判别法（达朗贝尔必发散

27、。发散时，）若（必收敛。收敛时，）若（则（皆为正项级数，且与若比较判别法（五）判定方法nuuuuuunnuunnnnnnnnnnnnnnnnnnnn111lim. 2v2v1).,.2 , 1v0v. 111111111九、无穷级数0, 001,lim1100，收敛半径则，设）对于不缺项的幂级数（收敛半径的求法幂级数Raaxaxannnnnnnnn九、无穷级数 （六）收敛半径，收敛半径，级数收敛，可知则当考察，令如对于缺项的幂级数收敛半径的求法幂级数00011limlim,.)2(222)1(211)1(2112020Rxxxaxauuxauxauxaxannnnnnnnnnnnnnnnnnnn九、无穷级数 （六）收敛半径十、向量代数与空间解析几何 （一）空间直线方程。为所给直线的方向向量常数称式方程）（又称点向式方程，对称为直线的标准式方程的直线方程）且平行于向量（过点直线的标准方程：pnmspzznyymxxpnmszyxM,0000000 （二）曲面方程087)0(02615143121222222222222222222222222202020zyxyxzppyxbyaxbyaxRyxczbyaxRzzyyxx）圆锥面：（）旋转抛物面：（）抛物柱面：（）双曲柱面：（）椭圆柱面：（）圆柱面：（）椭球面：（）（）（）球面：（十、向量代数与空间解析几何THANKS感谢聆听!