【高中数学】双曲线及其标准方程第1课时课件 2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptx

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1、 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质，本节我的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质，本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题.第一课时第一课时 (双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程)一、探究新知一、探究新知 平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1、F F2 2的距离的和等于常数的距离的和等于常数(大于大于|F|F1 1F F2 2|)|)的的点的轨迹是点的轨迹是 .一个自然的问题是一个自然的问题是:平面内与两个

2、定点的距离的差等于常数的平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么点的轨迹是什么?下面我们先用信息技术探究一下下面我们先用信息技术探究一下.椭圆椭圆 如下图，在直线如下图，在直线l上取两个定点上取两个定点A A、B,PB,P是直线是直线l上的动点，在上的动点，在平面内，取定点平面内，取定点F F1 1、F F2 2，以点，以点F F1 1为圆心、线段为圆心、线段PAPA为半径作圆，再以为半径作圆，再以F F2 2为圆心、线段为圆心、线段PBPB为半径作圆为半径作圆.当点当点P P在线段在线段ABAB上运动时，如果上运动时，如果|F|F1 1F F2 2|AB|AB，两圆不相交，不，两圆

3、不相交，不存在交点轨迹存在交点轨迹;如果如果|F|F1 1F F2 2|AB|AB|AB|的条件下，的条件下，这时动点这时动点M M满足什么几何条件满足什么几何条件?两圆的交点两圆的交点M M的轨迹是什么形状的轨迹是什么形状?一、探究新知一、探究新知 当点当点M M靠近定点靠近定点F F1 1时，时，|MF|MF2 2|-|MF|-|MF1 1|=|AB|;|=|AB|;当点当点M M靠近定点靠近定点F F2 2时，时，|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=|AB|.|=|AB|.总之，点总之，点M M与两个定点与两个定点F F1 1、F F2 2距离的差的绝对距离的差的绝对值值|A

4、B|AB|是一个常数是一个常数(|AB|F(|AB|F1 1F F2 2|).|).这时，这时，点点M M的轨迹是不同于椭圆的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支的曲线，它分左右两支.二、双曲线的概念二、双曲线的概念 平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1、F F2 2的距离的差的绝对值等于非零常数的距离的差的绝对值等于非零常数(小于小于|F|F1 1F F2 2|)|)的点的轨迹的点的轨迹叫做叫做双曲线双曲线.这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的两焦点间的距离叫做椭圆的焦距焦距，焦距的一半称为，焦距的一半称为半焦距半焦距.M MF F1 1F F2

5、 2|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a|=2a(02a02a2a|F|F1 1F F2 2|:表示双曲线的一支表示双曲线的一支两条射线两条射线不表示任何轨迹不表示任何轨迹线段线段F F1 1F F2 2的垂直平分线的垂直平分线F F1 1F F2 2F F1 1F F2 2二、双曲线的概念二、双曲线的概念 如果定义中去掉如果定义中去掉“绝对值绝对值”三个字会有什么影响？三个字会有什么影响？如果把定义中的如果把定义中的“差的绝对值差的绝对值”和和“常数常数”变为下列情况，变为下列情况，轨迹是什么？轨迹是什么？三、双曲线的标准方程三、双曲线的标准方程 类比求椭圆标准方程的过程，我

6、们如何建立适当的坐标系，类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程得出双曲线的方程?设点设点：设：设M(xM(x，y)y)是双曲线上任意一是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为点，双曲线的焦距为2c(c0)2c(c0)，那么，焦，那么，焦点点F F1 1、F F2 2的坐标分别是的坐标分别是(-c c，0),(c0),(c，0)0).M MF F1 1F F2 2Oy yx x 观察画出的双曲线，发现它也具有对称观察画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线性，而且直线F F1 1F F2 2是它的一条对称轴是它的一条对称轴.建系建系：取经过两焦点：取经过两焦点F F1

7、1和和F F2 2的直线的直线为为x x轴，线段轴，线段F F1 1F F2 2的垂直平分线为的垂直平分线为y y轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系建立如图所示的平面直角坐标系Oxy.xy.列式列式：设：设|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a(a=2a(a为大于为大于0 0的常数的常数)，则则 如何化简如何化简?a a4 4-2a-2a2 2cx+ccx+c2 2x x2 2=a=a2 2x x2 2-2a-2a2 2cx+acx+a2 2c c2 2+a+a2 2y y2 2(c(c2 2-a-a2 2)x)x2 2-a-a2 2y y2 2=a=a2 2(c(c2 2-a

8、-a2 2)由双曲线的定义可知，由双曲线的定义可知，2 2c c22a a00，即即c c a a00，所以，所以c c2 2-a a2 20.0.你能在你能在y y轴上找一轴上找一点点B B，使得，使得|OB|=bB|=b吗吗?M MF F1 1F F2 2Oy yx x三、双曲线的标准方程三、双曲线的标准方程 这个方程表示焦点在这个方程表示焦点在x x轴上，两个焦点轴上，两个焦点是是F F1 1(-c,0)(-c,0)、F F2 2(c,0)(c,0)的双曲线，的双曲线，c c2 2=a=a2 2+b+b2 2.双曲线的标准方程双曲线的标准方程：类比焦点在类比焦点在y y轴上的椭圆标准方程

9、，轴上的椭圆标准方程，焦点在焦点在y y轴上的双曲线的标准方程是什么轴上的双曲线的标准方程是什么?三、双曲线的标准方程三、双曲线的标准方程M MF F1 1F F2 2Oy yx xOF F2 2F F1 1y yx xM M 这个方程表示焦点在这个方程表示焦点在y y轴上，两个焦点是轴上，两个焦点是F F1 1(0,-c)(0,-c)、F F2 2(0,c)(0,c)的的双曲线，这里双曲线，这里c c2 2=a=a2 2+b+b2 2.三、双曲线的标准方程三、双曲线的标准方程 双曲线的标准方程的特点双曲线的标准方程的特点：(1)(1)双曲线标准方程的形式：双曲线标准方程的形式：左边是两个分式

10、的平方差左边是两个分式的平方差，右边是右边是1 1.(2)(2)双曲线的标准方程中三个参数双曲线的标准方程中三个参数a a、b b、c c满足满足c c2 2=a=a2 2+b+b2 2.(3)(3)由双曲线的标准方程可以求出三个参数由双曲线的标准方程可以求出三个参数a a、b b、c c的值的值.(4)(4)双曲线标准方程中双曲线标准方程中,x x2 2与与y y2 2系数哪个为正焦点就在那一个轴上系数哪个为正焦点就在那一个轴上.M MF F1 1F F2 2Oy yx xOF F2 2F F1 1y yx xM M四、典型例题四、典型例题例例1 1 已知方程已知方程 表示双曲线，求表示双曲

11、线，求k k的取值范围的取值范围.此方程可以表示椭圆此方程可以表示椭圆吗？可以表示圆吗？吗？可以表示圆吗？四、典型例题四、典型例题例例2 2 已知双曲线的两个焦点分别为已知双曲线的两个焦点分别为F F1 1(-5(-5,0)0)、F F2 2(5,0)(5,0)，双曲线上，双曲线上 一点一点P P与与F F1 1、F F2 2的距离差的绝对值等于的距离差的绝对值等于6,6,求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程.例例3 3 求适合下列条件的双曲线的标准方程：求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a=4 (1)a=4，c=5c=5，焦点在，焦点在x x轴上轴上.(2)b=5 (2)b=5，c=7

12、.c=7.(3)(3)一个焦点坐标是一个焦点坐标是(0,-6)(0,-6)，经过点，经过点A(-5A(-5，6).6).四、典型例题四、典型例题 对于第对于第(3)(3)小题，你小题，你还能用其他方法求它的标还能用其他方法求它的标准方程吗准方程吗?试比较不同方试比较不同方法的特点法的特点.四、典型例题四、典型例题方法归纳方法归纳(1)(1)求双曲线标准方程的步骤求双曲线标准方程的步骤：定位定位:确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下,确定确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式.定量定量:确定确定a a2 2

13、、b b2 2的值，常由条件列方程组求解的值，常由条件列方程组求解.(2)(2)双曲线标准方程的两种求法双曲线标准方程的两种求法：定义法定义法:根据双曲线的定义得到相应的根据双曲线的定义得到相应的a a、b b、c,c,再写出双曲再写出双曲线的标准方程线的标准方程.待定系数法待定系数法:先设出双曲线的标准方程，然后根据条件求出先设出双曲线的标准方程，然后根据条件求出待定的系数待定的系数,代人方程即可代人方程即可.若焦点位置不确定若焦点位置不确定,可按焦点在可按焦点在x x轴和轴和y y轴上两种情况讨论求解轴上两种情况讨论求解.五、课堂小结五、课堂小结椭椭 圆圆双双 曲曲 线线定义定义图形图形方

14、程方程焦点焦点a a、b b、c c的关系的关系位置位置(c,0)(c,0)(c,0)(c,0)a0a0，b0b0，c c2 2=a=a2 2+b+b2 2ab0ab0，a a2 2=b=b2 2+c+c2 2(0,c)(0,c)(0,c)(0,c)x xF F2 2F F1 1O Oy yy yF F2 2F F1 1O Ox xO OF F2 2F F1 1y yx xF F2 2F F1 1O Oy yx x焦点跟着正的住焦点跟着正的住焦点随着大的跑焦点随着大的跑六、巩固提升六、巩固提升课堂练习课堂练习:第第121121页练习第页练习第1 1、3 3题题课堂作业课堂作业:第第127127页页习题习题3.23.2第第1 1、2 2、7 7题题