第1节　随机事件的概率.pptx

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1、第一节随机事件的概率第一节随机事件的概率第十二章第十二章内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破课标解读衍生考点核心素养1.结合具体实例,理解事件的相关概念.2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.3.通过实例理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.4.结合实例,会用频率估计概率.1.随机事件的关系2.随机事件的频率与概率3.互斥事件、对立事件的概率1.数据分析2.逻辑推理3.数学运算强强基础基础 增增分策略分策略1.事件的分类 确定事件必然事件在条件S下,一定会发生的事件,叫作相对于条件S的必然事件不可能事件在条件S下

2、,一定不会发生的事件,叫作相对于条件S的不可能事件随机事件在条件S下的事件,叫作相对于条件S的随机事件可能发生也可能不发生2.频率与概率(1)频率的概念:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频数.(2)随机事件概率的定义:在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时,这个常数叫作随机事件A的概率,记作P(A),有0P(A)1.(3)概率与频率的关系:对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试

3、验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率来估计概率P(A).微点拨频率是随机的,试验次数不同,得到的频率可能不同;概率是频率的稳定值,反映了随机事件发生的可能性的大小.3.事件的关系与运算(1)互斥事件:在一个随机试验中,把一次试验下发生的两个事件A与B称作互斥事件.(2)和事件:给定事件A,B,我们规定A+B为一个事件,事件A+B发生是指事件A和事件B .(3)和事件的概率:在一个随机试验中,如果随机事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A+B)=;如果随机事件A1,A2,An中任意两个是互斥事件,那么有P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An).不能同时至少有一个发生P

4、(A)+P(B)不会有一个发生1-P(A)微点拨1.对立事件一定是互斥事件,而互斥事件未必是对立事件.2.从集合的角度理解互斥事件和对立事件:(1)几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.4.概率的几个基本性质性质1:对任意的事件A,都有0P(A)1.性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P()=1,P()=0.性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(AB)=P(A)+P(B).性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)

5、.性质5:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).常用结论概率加法公式的推广(1)当一个事件包含多个结果时,要用到概率加法公式的推广,即P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An).注意(1)(2)中涉及的各事件要彼此互斥.增素增素能能 精精准突破准突破考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一随机事件的关系随机事件的关系典例突破例1.(1)(2021吉林三模)口袋中装有3个红球和4个黑球,每个球编有不同的号码,现从中取出3个球,则互斥而不对立的事件是()A.至少有1个红球与至少有1个黑球B.至少有1个红球与都是黑球C.至少有1个红球与

6、至多有1个黑球D.恰有1个红球与恰有2个红球考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是()A.AB与C是互斥事件,也是对立事件B.BC与D是互斥事件,也是对立事件C.AC与BD是互斥事件,但不是对立事件D.A与BCD是互斥事件,也是对立事件考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)D(2)D解析:(1)对于A,至少有1个红球与至少有1个黑球不是互斥事件,故A错;对于B,至少有1个红球与都是黑球不能同时发生,为互斥事件,且其中必有一个发生,为对立事件,故B错误;对于C,不是互斥事

7、件,例如,取出2个红球和1个黑球,故C错误;对于D,恰有1个红球与恰有2个红球不能同时发生,为互斥事件,但不是对立事件,故D正确.故选D.(2)由于A,B,C,D彼此互斥,且ABCD是一个必然事件,故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示,由图可知,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.故选D.考点一考点一考点二考点二考点三考点三反思感悟判断互斥、对立事件的两种方法 定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件集合法

8、由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥;事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练1(1)把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学,每人一本,则事件A表示“甲分得语文书”,事件B表示“乙分得数学书”,事件C表示“丙分得英语书”,则下列说法正确的是()A.A与B是不可能事件B.A+B+C是必然事件C.A与B不是互斥事件D.B与C既是互斥事件也是对立事件考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次

9、,设事件A表示“向上的一面出现奇数点”,事件B表示“向上的一面出现的点数不超过3”,事件C表示“向上的一面出现的点数不小于4”,则()A.A与B是互斥而不对立事件B.A与B是对立事件C.B与C是互斥而不对立事件D.B与C是对立事件考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)C(2)D解析:(1)“A,B,C”都是随机事件,可能发生,也可能不发生,故A项错误;B选项显然错误;“A,B”可能同时发生,故“A”与“B”不互斥,故C项正确;“B”与“C”既不互斥,也不对立,故D项错误.故选C.(2)因为AB=出现点数1或3,事件A,B不互斥更不对立;BC=,BC=(为必然事件),故事件B,C是对立

10、事件.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点二考点二随机事件的随机事件的频率与概率率与概率典例突破例2.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数 012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数012345频数605030302010考点一考点一考点二考点二考点三考点三(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的1

11、60%”.求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.考点一考点一考点二考点二考点三考点三解:(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.1925a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a(元).保费 0.85a a1.25a1.5a1.75a2a频率 0.30 0.25 0.150.150.100.

12、05考点一考点一考点二考点二考点三考点三反思感悟1.概率与频率的关系频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.随机事件概率的求法(1)可用频率来估计概率.(2)利用随机事件A包含的基本事件数除以基本事件总数.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练2(2020全国,文17)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂

13、可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:甲分厂产品等级的频数分布表 乙分厂产品等级的频数分布表等级 ABCD频数 40202020等级ABCD频数28173421考点一考点一考点二考点二考点三考点三(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?解:(1)由试加工产品等级的频数分布表知,考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)由数据知甲

14、分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润6525-5-75频数40202020由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润70300-70频数28173421因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点三考点三互斥事件、互斥事件、对立事件的概率立事件的概率(多考向探究多考向探究)考向考向1.互斥事件的概率互斥事件的概率典例突破例3.某保险公司利用简单随机抽样的方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下.赔付金额/元01 0002 0003 0004 00

15、0车辆数/辆500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.考点一考点一考点二考点二考点三考点三解:(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”,B表示事件“赔付金额为4000元”,由于投保金额为2800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)设C表示事件“在已投保车辆中,新司机获赔4000

16、元”.由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.11000=100(辆),而赔付金额为4000元的车辆中,车主为新司机的有0.2120=24(辆),所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为=0.24.由频率估计概率,得P(C)=0.24.考点一考点一考点二考点二考点三考点三反思感悟求互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)间接法(正难则反)考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练3经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下.排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少

17、?考点一考点一考点二考点二考点三考点三解:记“0人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F两两互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=ABC,所以P(G)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法1)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=DEF,所以P(H)=P(DEF)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法2)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立

18、事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向考向2.对立事件的概率立事件的概率典例突破例4.某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率).考点一考点一考点二考点二考点三考

19、点三解:(1)由已知,得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值为考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”,考点一考点一考点二考点二考点三考点三反思感悟在求某事件的概率时,对“至少”“至多”“不超过”型题目,用间接法显得较简便.即先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(),即运用逆向思维.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练4某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=ABC.因为A,B,C两两互斥,(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,