第5节　离散型随机变量的均值与方差.pptx

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1、第五节离散型随机变量的均值与方差第五节离散型随机变量的均值与方差第十二章第十二章内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破课标解读衍生考点核心素养1.理解离散型随机变量分布列的数字特征(均值、方差).2.了解超几何分布的均值,并能解决简单的实际问题.3.掌握二项分布的数字特征,并能解决简单的实际问题.1.离散型随机变量的均值与方差2.二项分布的均值与方差3.均值与方差在决策中的应用1.直观想象2.数据分析3.数学运算4.数学建模强强基础基础 增增分策略分策略1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(X=ai)=pi,i=1,2,r.(1)均

2、值:称EX=为随机变量X的均值或数学期望.反映了离散型随机变量取值的平均水平a1p1+a2p2+aipi+arpr 微点拨1.均值(数学期望)是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.2.EX是一个实数,由X的分布列唯一确定,即X作为随机变量是可变的,可取不同值,而EX是不变的,它描述X取值的平均状态.3.随机变量的方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度,DX越大,表明平均偏离程度越大,X的取值越分散.反之,DX越小,X的取值越集中在EX附近.4.方差也是一个常数,它不具有随机性,方差的值一定是非负数.2.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=;(2)D(aX+b)=.3.二项

3、分布的均值与方差若XB(n,p),则EX=,DX=.4.超几何分布的均值若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则EX=.微点拨已知随机变量的分布列求它的均值、方差,可直接按定义(公式)求解.若所给随机变量服从超几何分布或二项分布等,则直接利用它们的均值、方差公式更简便.aEX+b a2DX np np(1-p)常用结论1.若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=(EX1)(EX2).2.均值与方差的关系:DX=E(X2)-(EX)2.3.Ek=k,Dk=0,其中k为常数.4.E(X1+X2)=EX1+EX2.增素增素能能 精精准突破准突破考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一离散型随

4、机离散型随机变量的均量的均值与方差与方差典例突破例1.(2021广东珠海二模)现有甲、乙两个项目,对甲、乙两个项目分别投资20万元,甲项目一年后利润是1万元、2万元、4万元的概率分别是 ;乙项目的利润随乙项目的价格变化而变化,乙项目在一年内,价格最多可进行两次调整,每次调整的概率为p(0pEY2时,求p的取值范围.解:(1)Y1的分布列如下.Y2的分布列如下.Y2321P(1-p)22p(1-p)p2考点一考点一考点二考点二考点三考点三反思感悟1.求随机变量的期望和方差的基本方法:(1)已知随机变量的分布列,直接利用期望和方差公式直接求解;(2)已知随机变量X的期望、方差,求aX+b(a,bR

5、)的期望与方差,利用期望和方差的性质(E(aX+b)=aEX+b,D(aX+b)=a2DX)进行计算;(3)若能分析出所给的随机变量服从常用的分布(如:超几何分布、二项分布等),可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.2.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤:(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值;(2)求X取每个值的概率;(3)写出X的分布列;(4)由均值的定义求EX;(5)由方差的定义求DX.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练1某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组13,14),第二组14,15),第五组17,

6、18,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,估计这50名学生百米测试成绩的中位数和平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表,结果精确到0.1).(2)若从第一、五组中随机取出3名学生成绩,设取自第一组的人数为,求的分布列、数学期望及方差.解:(1)由频率分布直方图知,百米测试成绩的平均值为(2)第一组人数为0.06150=3,第五组人数为0.08150=4,故第一组和第五组总共取7名学生成绩.的可能取值为0,1,2,3.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点二考点二二二项分布的均分布的均值与方差与方差典例突破例2.(2021湖北5月联考)现代战争中,经常使

7、用战斗机携带空对空导弹攻击对方战机,在实际演习中空对空导弹的命中率约为20%,由于飞行员的综合素质和经验的不同,不同的飞行员使用空对空导弹命中对方战机的概率也不尽相同.在一次演习中,红方的甲、乙两名优秀飞行员发射一枚空对空导弹命中蓝方战机的概率分别为 ,两名飞行员各携带4枚空对空导弹.(1)甲飞行员单独攻击蓝方一架战机,连续不断地发射导弹攻击,一旦命中或导弹用完即停止攻击,各次攻击相互独立,求甲飞行员能够命中蓝方战机的概率.考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)蓝方机群共有8架战机,若甲、乙共同攻击(战机均在攻击范围之内,每枚导弹只攻击其中一架战机,甲、乙不同时攻击同一架战机).若一轮攻击

8、中,每人只有两次进攻机会,记一轮攻击中,击中蓝方战机数为X,求X的分布列;若实施两轮攻击(用完携带的导弹),记命中蓝方战机数为Y,求Y的数学期望EY.解:设甲、乙两名飞行员发射的第i枚导弹命中对方战机分别为事件Ai,Bi,考点一考点一考点二考点二考点三考点三反思感悟1.求二项分布的均值与方差的一般思路:首先分析X是否服从二项分布,如果XB(n,p),那么用公式EX=np,DX=np(1-p)求解.2.有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用E(a+b)=aE+b以及E=np求出E(a+b),同样还可求出D(a+b).考点一考点一考点二考点二

9、考点三考点三对点训练2某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况,对其每天的用水量做了记录,得到了大量该企业的日用水量的统计数据,从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本,得到如图所示的茎叶图(单位:吨).若用水量不低于95吨,则称这一天的用水量超标.(1)从这12天的数据中随机抽取3个,求至多有1天的用水量超标的概率;(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率,估计该企业未来3天中用水量超标的天数,记随机变量X为未来这3天中用水量超标的天数,求X的分布列、数学期望和方差.考点一考点一考点二考点二考点三考点三解:(1)记“从这12天的数据中随机抽取3个,至多有1天的用水量超标”为

10、事件A,考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率,考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点三考点三均均值与方差在决策中的与方差在决策中的应用用典例突破例3.(2021新高考,18)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,

11、能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三因为EXEY,所以小明应选择先回答B类问题.考点一考点一考点二考点二考点三考点三反思感悟利用均值、方差进行决策的方法均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分晓,由此可对实际问题作出决策判断;若两个随机变量均值相同,则可通过分析两个随机变量的方差来确定其离散程度或者稳定程度,方差或标

12、准差越小,则偏离均值的平均程度越小,进而进行决策.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练3(2021江苏南通模拟)有750粒试验种子需要播种,现有两种方案:方案一,将750粒种子分种在250个坑内,每坑3粒;方案二,将750粒种子分种在375个坑内,每坑2粒.已知每粒种子发芽的概率均为0.6,并且,若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种(每个坑至多补种一次,且补种的种子数同第一次一样多).假定每个坑第一次播种需要2元,补种(按相应方案补种相应粒数)1个坑需1元,每个成活的坑可收获125粒试验种子,每粒试验种子收益1元.(1)用X元表示

13、播种费用,分别求出两种方案的数学期望.(2)如果在某块试验田对该种子进行试验,你认为应该选择哪种方案?考点一考点一考点二考点二考点三考点三用X1元表示一个坑的播种费用,则X1的可能取值是2,3,所以P(X1=2)=P2,P(X1=3)=P1,所以X1的分布列为考点一考点一考点二考点二考点三考点三用X2元表示一个坑的播种费用,则X2的可能取值为2,3,所以P(X2=2)=P4,P(X2=3)=P3,所以X2的分布列为考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)设收益为Y元,方案一:用Y1元表示一个坑的收益,则Y1的可能取值为0,125,Y1的分布列为考点一考点一考点二考点二考点三考点三方案二:用Y2元表示一个坑的收益,则Y2的可能取值为0,125,Y2的分别列为因为方案二所需的播种费用比方案一只多了294元,但是收益比方案一多14 553元,故应该选择方案二.