2024版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第2节导数的应用第2课时导数与函数的极值最值.docx

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1、第2课时导数与函数的极值、最值一、教材概念结论性质重现1函数的极值与导数条件设函数f(x)在x0处可导，且f(x0)0在点xx0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0在点xx0附近的左侧f(x)0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值_极值点x0为极大值点x0为极小值点1对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充分条件2函数的极大值不一定大于极小值，函数的极小值也不一定小于极大值2函数的最值与导数(1)一般地，如果在闭区间a，b上函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的

2、最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值函数的极值是“局部”概念，函数的最值是“整体”概念，闭区间上函数的最值一定是极值或区间端点对应的函数值二、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误，对的画“”，错的画“”(1)函数的极大值不一定比极小值大()(2)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件()(3)函数的极大值一定是函数的最大值()(4)开区间上的单调连续函数无最值()2函数yxex的最小值是()A1BeC1eD不存在C解析：因为yxex，所以yexxex(1x)ex.当x1时，y0；当x1时，y0

3、，所以当x1时，函数取得最小值，且ymin1e.3函数y2x1x2的极大值是_3解析：函数y2x1x2的定义域为(，0)(0，)y22x3，令y0，得x1.当x0；当1x0时，y0时，y0，所以当x1时，y取极大值3.4若x1是函数f(x)x3ax的一个极值点，则实数a_3解析：f(x)3x2ax2，因为x1是f(x)的一个极值点，所以f(1)3a0，得a3.经检验，符合题意5若函数f(x)13x34xm在0，3上的最大值为4，则m_4解析：f(x)x24，x0，3，当x0，2)时，f(x)0，所以f(x)在0，2)上单调递减，在(2，3上单调递增又f(0)m，f(3)3m.所以在0，3上，f

4、xmaxf(0)4，所以m4.考点1利用导数求函数的极值综合性考向1根据函数的图象判断函数的极值(1)若函数f(x)，g(x)的导函数的图象分别如图(1)、图(2)所示，则f(x)与g(x)极值点的个数分别为()A4，1B2，2C4，2D2，1A解析：对于可导函数，函数的极值点满足两个条件：一个是该点的导数为0，另一个是该点左右两侧的导数值异号由图象可知f(x)的导函数有4个零点，且4个零点的左右两侧的导数值异号，故f(x)有4个极值点；由图象可知g(x)的导函数有两个零点，但只有一个零点的左右两侧的导数值异号，故g(x)有1个极值点(2)(2022西安模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数

5、为f(x)且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论一定成立的是() A函数f(x)的极大值是 f(2)，极小值是f(1)B函数f(x)的极大值是 f(2)，极小值是 f(1)C函数f(x)的极大值是 f(2)，极小值是 f(2)D函数f(x)的极大值是f(2)，极小值是 f(2)D解析：由函数的图象可知，f(2)0，f(2)0，并且当x2时，f(x)0，当2x1时，f(x)0，故函数f(x)有极大值f(2)又当1x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0，故函数f(x)有极小值f(2)由图象判断函数yf(x)的极值的两个关注点(1)由导函数yf(x)的图象与x轴的交点，可得函数yf(x

6、)的可能极值点(2)由导函数yf(x)的图象可以看出yf(x)的值的正负，进而可得函数yf(x)的单调性考向2已知函数解析式求极值(1)若函数f(x)x2ex的极大值点与极大值分别为a，b，则()AababBaabbCbabaDabbaC解析：f(x)2xexx2exe2x2xx2ex，易得，当x(0，2)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，当x(，0)，(2，)时，f(x)0，函数f(x)单调递减，故函数的极大值点a2，所以bf(2)4e2，ab8e2，所以aabb.(2)已知函数f(x)lnxxx，则()Af(x)的单调递减区间为(0，1)Bf(x)的极小值点为1Cf(x)的极大值为1D

7、f(x)的最小值为1C解析：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1lnxx211lnxx2x2，令(x)1ln xx2，则(x)1x2x0，所以(x)1ln xx2在(0，)上单调递减因为(1)0，所以当0x1时，(x)0；当x1时，(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，)，故f(x)的极大值点为1，f(x)极大值f(1)1.求函数f(x)极值的一般解题步骤(1)确定函数的定义域(2)求导数f(x)(3)解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根(4)列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号(5)求出极值考向3已知函数的极值求参数(1)设函数f(

8、x)exx+a，若f(x)的极小值为e，则a()A12B12C32D2B解析：函数f(x)exx+a的定义域为x|xaf(x)exx+aexx+a2exx+a1x+a2，令f(x)0，得x1a，所以当x1a且xa时，f(x)0；当x1a时，f(x)0，所以f(x)在x1a处取得极小值，所以f(1a)e1-aee12，所以1a12，解得a12.(2)(2021全国乙卷)设a0，若xa为函数f(x)a(xa)2(xb)的极大值点，则()AabCaba2D解析：若ab，则f(x)a(xa)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab.依题意，xa为函数f(x)a(xa)2(xb)的极大值点，当ab时，

9、f(x)0，画出f(x)的图象如图所示：由图可知ba，aa2.当a0时，由xb时，f(x)0，画出f(x)的图象如图所示：由图可知ba，a0，故aba2.综上所述，aba2成立根据函数极值情况求参数的2个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：求解后验证根的合理性1若函数f(x)(x2a)ex的一个极值点为x1，则f(x)的极大值为()A3B1 C6e3D2eC解析： 因为f(x)(x2a)ex，所以f(x)(x22xa)ex.因为x1是f(x)的一个极值点，所以f(1)(a3)e0，解得a3.当a3时，f(x)(x23)ex，f(x)(x2

10、2x3)ex.令f(x)0，解得x1或x3；令f(x)0，解得3x1，故f(x)在(，3)上单调递增，在(3，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，故f(x)的极大值是f(3)6e3.2已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则()Aa4，b11Ba3，b3或a4，b11Ca1，b5D以上都不正确A解析：函数的导数为f(x)3x22axb.因为函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，所以f(1)10且f(1)0.即32ab=0， 1ab+a2=10，解得a=3，b=3或a=4，b=11.当a3，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，此时函数单调递增，函数没有极值，

11、所以不满足条件经检验，当a4，b11时，满足条件考点2利用导数求函数的最值综合性(1)函数f(x)x ln xx在12，2上的最小值为()A1+ln22B1C0D2ln 22B解析：f(x)x ln xx，x12，2，f(x)ln x，令f(x)0，解得x1，令f(x)0，解得x1，故f(x)在12，1上单调递减，在(1，2上单调递增，故fxminf(1)1.(2)(2021新高考全国卷)函数f(x)2x12ln x的最小值为_1解析：由题设知f(x)|2x1|2ln x的定义域为(0，)，所以当0x12时，f(x)12x2ln x，此时f(x)单调递减；当121时，f(x)2x12ln x，

12、f(x)22x0，此时f(x)单调递增又f(x)在各分段的界点处连续，综上，当01时，f(x)单调递增，所以f(x)f(1)1.本例(1)若把函数改为：f(x)x ln x，求函数f(x)在12，2上的最大值解：f(x)x ln x的定义域为(0，)，f(x)ln x1.令f(x)0，得x1e，所以f(x)在1e，+上单调递增，所以f(x)在12，2上单调递增，所以f(x)maxf(2)2ln 2.求最值的3种情况(1)若函数f(x)在区间a，b上单调递增或单调递减，f(a)与f(b)中有一个为最大值，另一个为最小值(2)若函数f(x)在闭区间a，b内有极值，要先求出a，b上的极值，与f(a)

13、，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点1(2022全国甲卷) 当x1时，函数f(x)a ln xbx取得最大值2，则f(2)()A1B12C12D1B解析：因为函数f(x)定义域为(0，)，所以依题可知，f(1)2，f(1)0，而f(x)axbx2，所以b2，ab0，即a2，b2，所以f(x)2x+2x2，因此函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，x1时取最大值，满足题意，即有f(2)11212.故选B.2已知函数f(x)32xx2+a.(1)若a0，求yf(x)在(1

14、，f(1)处的切线方程；(2)若函数f(x)在x1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值解：(1)当a0时，f(x)32xx2，则f(x)2x3x3，所以f(1)1，f(1)4，因此，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y14(x1)，即4xy50.(2)因为f(x)32xx2+a，则f(x)2x2+a2x32xx2+a22x23xax2+a2.由题意可得f(1)24aa+120，解得a4，经检验，符合题意故f(x)32xx2+4，f(x)2x+1x4x2+42.列表如下：x(，1)1(1，4)4(4，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数

15、f(x)的单调递增区间为(，1)，(4，)，单调递减区间为(1，4)当x0；当x32时，f(x)0，得x33或x33，令f(x)0得33x0，f3312390，f(2)50，即函数f(x)在33，+上无零点，综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；令h(x)x3x，该函数的定义域为R，h(x)(x)3(x)x3xh(x)，则h(x)是奇函数，(0，0)是h(x)的对称中心，将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，所以点(0，1)是曲线yf(x)的对称中心，故C正确；令f(x)3x212，可得x1，又f(1)f(1)1，当切点为(1，1)时，切线方程为y2x1，当切点为(1，1)

16、时，切线方程为y2x3，故D错误故选AC.(2)已知函数f(x)ax2+bx+cex(a0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.求f(x)的单调区间；若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值解：f(x)2ax+bexax2+bx+cexex2ax2+2abx+bcex.令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点，且f(x)与g(x)符号相同又因为a0，所以当3x0，即f(x)0；当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全函数

17、在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值，不能想当然地认为极值点就是最值点含参数时，要讨论参数的大小1已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1，1，则f(m)f(n)的最小值是()A13B15C10D15A解析：对函数f(x)求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，所以a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x.易知f(x)在1，0)上单调递减，在0，1上单调递增，所以当m1，1时，f(m)minf(0)4.又因为f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，所以当n1，1时，f(n)min

18、f(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.2已知函数f(x)ax2b ln x在x1处有极值12.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)在12，2上的最大值与最小值解：(1)由题可知，f(x)ax2b ln x，f(x)的定义域为(0，)，所以f(x)2axbx(x0)由于f(x)在x1处有极值12，则f1=a+ln1=12，f1=2a+b=0，即a=12， 2a+b=0，解得a12，b1.(2)由(1)可知f(x)12x2ln x，其定义域是(0，)，f(x)x1xx+1x1x.令f(x)0，而x0，解得x1.由f(x)0，得0x0，得x1，则在区间12，2上，x，f(x)，f(x)的

19、变化情况表如下：x1212，11(1，2)2f(x)0f(x)18ln 2单调递减12单调递增2ln 2可得f(x)minf(1)12，f1218ln 2，f(2)2ln 2.由于f(2)f122ln 218+ln20，则f(2)f12，所以f(x)maxf(2)2ln 2.所以函数f(x)在区间12，2上的最大值为2ln 2，最小值为12.课时质量评价(十七)A组全考点巩固练1(2023辽宁月考)函数f(x)的定义域为R，它的导函数yf(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是()A函数f(x)在(1，2)上为减函数B函数f(x)在(3，5)上为增函数C函数f(x)在(1，3)上有极大值D

20、x3是函数f(x)在区间1，5上的极小值点C解析：由yf(x)的部分图象可知，当1x2时，f(x)0，则f(x)单调递增；当2x4时，f(x)0，则f(x)单调递减；当4x5时，f(x)0，则f(x)单调递增又f(2)f(4)0，所以当x2时，f(x)取得极大值；当x4时，f(x)取得极小值故选C.2函数f(x)的导函数为 f(x)x(x2)，则函数f(x)有()A最小值f(0)B最小值f(2)C极大值f(0)D极大值f(2)C解析：令f(x)x(x2)0，解得2x0，即函数的单调递增区间为(2，0)；令f(x)x(x2)0，解得x2或x0；令f(x)x(x2)0，解得x0或x2，即函数的单调

21、递减区间为(，2)，(0，)，所以函数的极大值为f(0)3(2022宿州期中)已知函数f(x)e2-xx，x1，3，则下列说法正确的是()A函数f(x)的最小值为31eB函数f(x)的最大值为31eC函数f(x)的最小值为e1D函数f(x)的最大值为e1D解析：f(x)e2-xx，f(x)e2-x1，令f(x)0，解得x2，令f(x)0，解得x2，故f(x)在1，2)上单调递减，在(2，3上单调递增，故f(x)的最小值是f(2)3，f(1)e1，f(3)31e.因为31e(e1)21ee212e0，当x(，2)时，f(x)0，故函数f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，在(，2

22、)上单调递增，所以f(x)在定义域D上，先减后增，有极小值f(2)，无极大值10函数f(x)ln x12x2ax(x0)在区间12，3上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是()A52，3B52，103C52，103D2，103B解析：f(x)1xxa，依题意，yf(x)在区间12，3上有且仅有一个变号零点，令f(x)0，则ax1x，令g(x)x1x，x(0，)由双勾函数的性质可知，函数g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以g(x)ming(1)2.又g12g(2)52，g(3)103.结合g(x)x1x在(0，)上的图象可得，52a103.11(多选题)(2022新高考

23、卷) 已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R，记g(x)f(x)，若f322x，g(2x)均为偶函数，则()Af(0)0Bg120Cf(1)f(4)Dg(1)g(2)BC解析：因为f322x，g(2x)均为偶函数，所以f322xf32+2x，即f32xf32+x，g(2x)g(2x)，所以f(3x)f(x)，g(4x)g(x)，则f(1)f(4)，故C正确；函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x32，x2对称，又g(x)f(x)，且函数f(x)可导，所以g320，g(3x)g(x)，所以g(4x)g(x)g(3x)，所以g(x2)g(x1)g(x)，所以g12g320，g(1)g

24、(1)g(2)，故B正确，D错误；若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误故选BC.12写出一个定义在R上且使得命题“若f(1)0，则1为函数f(x)的极值点”为假命题的函数f(x)_(x1)3(不唯一)解析：函数f(x)(x1)3，则f(x)3(x1)2，故 f(1)0.又f(x)3(x1)20在R上恒成立，故f(x)在R上为增函数，所以x1不是f(x)(x1)3的极值点13对于函数f(x)ln xmx2nx1，有下列4个论断：甲：函数f(x)有两个减区间；乙：函数f(x)的图象过点(1，1)；丙：函数f(x)在x1处取极

25、大值；丁：函数f(x)单调若其中有且只有两个论断正确，则m的取值为_2解析：函数f(x)的定义域是(0，)，由题意得：f(x)1x2mxn2mx2+nx+1x，令g(x)2mx2nx1，显然g(x)过定点(0，1)m0时的图象可能是：或m0时的图象可能是：或当x0时，函数f(x)最多有1个减区间，故甲错误；假设乙正确，则f(1)mn11，即mn2，此时f(x)2x1mx1x，若丙正确，则解得m1，故n3，而此时f(x)在x1处取极小值，即与丙、丁矛盾；若丁正确，则m2，n4，可满足题意综上，乙、丁正确，且m2.14(2022中卫三模)已知函数f(x)exx22k ln xkx，若x2是函数f(

26、x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围是_，e24解析：因为函数f(x)的定义域是(0，)，所以f(x)exx2x3+2kxkexkx2x2x3.因为x2是函数f(x)的唯一一个极值点，所以x2是导函数f(x)0的唯一根，所以exkx20在(0，)上无变号零点，即kexx2在x0上无变号零点令g(x)exx2，因为g(x)exx2x3，所以g(x)在(0，2)上单调递减，在x2 上单调递增，所以g(x)的最小值为g(2)e24，所以必须ke24.15(2023济宁模拟)已知函数f(x)12x2(m1)xln x(mR)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，且

27、x1x2，当m73时，求f(x1)f(x2)的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)x1x(m1)x2m+1x+1x，令g(x)x2(m1)x1(该函数与f(x)同号)，当m10，即m1时，f(x)0在(0，)上恒成立，故此时f(x)是增函数；当m+10， m+1240，即m1时，g(x)0有两个正根，x1m+1m2+2m32，x2m+1+m2+2m32，显然x1x2，此时f(x)的单调递增区间为(0，x1)，(x2，)，单调递减区间为(x1，x2)；同理当1m1时，f(x)0在(0，)上恒成立，故此时f(x)是增函数综上可知：当m1时，f(x)在(0，)上是增函数；当m1时，

28、g(x)0的两根为x1m+1m2+2m32，x2m+1+m2+2m32，此时f(x)的单调递增区间为(0，x1)，(x2，)，单调递减区间为(x1，x2)(2)由(1)知，f(x)x1x(m1)x2m+1x+1x，再令g(x)x2(m1)x1，当m1，f(x)的两个极值点为g(x)0的两个互异的正实根x1，x2，且x1x2m1，x1x21，则x11x1m12，103，即2x11x1103，显然x11，由x11x1103整理得3x1210x130，解得13x13，且x11，因为0x1x2，x1x21，所以13x11，而f(x1)f(x2)12x12x22(m1)(x2x1)ln x1ln x2，将x1x2m1代入上式整理得f(x1)f(x2)12x12x22ln x1ln x2，再将x21x1代入上式得：f(x1)f(x2)12x12+12x122ln x1，13x11，令h(x)12x212x22ln x，13x1，h(x)x1x3+2x0在x13，1上恒成立，故h(x)在13，1上单调递减，h(x)maxh134092ln 3，h(x)minh(1)0，且h(x)0，即f(x1)f(x2)的取值范围为0，4092ln3.