2024版高考数学一轮复习第九章平面解析几何解答题专项五第2课时最值与范围问题.docx

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1、解答题专项五圆锥曲线中的综合问题第2课时最值与范围问题解答题专项练1.设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,点P(m,2)(m0)在抛物线C上,且满足|PF|=3.(1)求抛物线C的标准方程;(2)过点G(0,4)的直线l与抛物线C交于A,B两点,分别以A,B为切点的抛物线C的两条切线交于点Q,求三角形PQG周长的最小值.解:(1)由抛物线定义,得|PF|=2+p2=3,得p=2,抛物线C的标准方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=kx+4,联立y=kx+4,x2=4y,得x2-4kx-16=0,0,x1+x2=4k,x1x2=-16.设A,B处

2、的切线斜率分别为k1,k2,由y=x24,得y=x2,则k1=x12,k2=x22,切线AQ的方程为y-y1=x12(x-x1),即y=x1x2x124,同理,切线BQ的方程为y=x2x2x224.设Q(xQ,yQ),由得xQ=x1+x22=2k,代入中可得yQ=kx1-x124=y1-4-y1=-4,Q(2k,-4),即Q在定直线y=-4上.设点G关于直线y=-4的对称点为G,则G(0,-12).由(1)知P(22,2),|PQ|+|GQ|=|PQ|+|GQ|GP|=251,当P,Q,G三点共线时,等号成立.三角形PQG周长最小值为|GP|+|GP|=23+251.2.(2022广东茂名一模

3、)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F1(-1,0),且过点1,32.(1)求椭圆C的方程;(2)过F1且互相垂直的两条直线l1,l2分别交椭圆C于A,B两点和M,N两点,求|AB|+|MN|的取值范围.解:(1)由题意可得,c=1.又由a2=b2+1,1a2+94b2=1,得a=2,b=3,椭圆的方程为x24+y23=1.(2)当l1垂直于x轴时,|AB|=2b2a=3,|MN|=2a=4,|AB|+|MN|=7.同理,当l2垂直于x轴时,|AB|+|MN|=7.当l1,l2均不垂直于x轴时,设l1的方程为y=k(x+1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),由y

4、=k(x+1),x24+y23=1,得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0,=144(k2+1)0,x1+x2=-8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3,|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2121+k24k2+3=12(1+k2)4k2+3.l1与l2互相垂直,|MN|=12(1+1k2)4k2+3=12(k2+1)3k2+4.|AB|+|MN|=12(1+k2)4k2+3+12(k2+1)3k2+4=7(12k4+24k2+12)12k4+25k2+12=71-k212k4+25k2+12=71-112k2+12k2+25.因

5、为|AB|+|MN|=71-112k2+12k2+25487,当且仅当k=1时,等号成立,所以487|AB|+|MN|65,求点M的横坐标的取值范围.(1)证明:不妨设P(x0,y0)且x00,而在x0上,y=2x,则y=1x,所以切线l1的斜率为kl1=1x0,y0=2x0,则切线l1的方程为y-y0=1x0(x-x0),整理得l1:y0y=2(x0+x),令y=0得E(-x0,0).由题意F(1,0),则M(2+x0,0).所以kMPkl1=y0x0-(2+x0)2y0=-1,则直线l1直线MP,得证.(2)解:由(1)知MPF=FMP,|ME|=2|PF|,所以S1S2=12|ME|MQ

6、|sinEMQ12|PF|PN|sinFPN=|ME|MQ|PF|PN|=2|MQ|PN|65,则|MQ|PN|35.直线MP:y=-y02(x-x0-2),(*)将x=-2yy0+x0+2代入y2=4x,得y2+8y0y-4x0-8=0,设Q(xQ,yQ),y0yQ=-(4x0+8),即yQ=-4x0+8y0.设N(xN,yN),在(*)中取xN=-1,得yN=-y02(-1-x0)+y0=y02(1+x0)+y0.所以|MQ|PN|=|yQ|yN-y0|=|8x0+16|y02(1+x0)|=|2x0+4|x0(1+x0)|35.又x00,化简得3x02-7x0-200,解得-53x04,

7、0x0b0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆E的离心率为32,且通径长为1.(1)求椭圆E的方程;(2)直线l与椭圆E交于M,N两点(点M,点N在x轴的同侧),当F1MF2N时,求四边形F1F2NM面积的最大值.解:(1)由题可知ca=32,2b2a=1,a2=b2+c2,ab0,解得a=2,b=1,c=3,所以椭圆的方程为x24+y2=1.(2)由(1)可知F1(-3,0),F2(3,0).延长MF1交E于点M0(图略).设M(x1,y1),M0(x2,y2),直线MF1的方程为x=my-3.联立x=my-3,x24+y2=1得(m2+4)y2-23my-1=0.因为m2+40,=12m2+4(m2+4)0,所以y1+y2=23mm2+4,y1y2=-1m2+4.设F1M与F2N的距离为d,则四边形F1F2NM的面积S=12(|F1M|+|F2N|)d=12(|F1M|+|F1M0|)d=12|MM0|d=SMF2M0.又因为SMF2M0=12|F1F2|y1-y2|=1223|y1-y2|=3(y1+y2)2-4y1y2=43m2+1m2+4=43m2+1+3m2+14323=2,当且仅当m2+1=3m2+1,即m=2时,等号成立,所以四边形F1F2NM面积的最大值为2.