2024高考数学一轮复习小练22利用导数证明不等式.docx

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1、2024高考数学一轮复习小练(22)1(2022吉林省高三开学考试)已知函数f(x)ln xx1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)证明：当a1时，ax23xln x0.答案(1)单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，)(2)见解析解析(1)由题意，函数f(x)ln xx1的定义域为(0，)，且f(x)1，当x1时，f(x)0；当0x0.所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减即f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，)(2)证明：由(1)得f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以f(x)f(1)0，即ln xx1，所以ln x(x

2、1)，因为a1，所以ax2x2则ax23xln xx23x(x1)(x0)，即ax23xln x(x1)20(x0)，即ax23xln x0.2(2022河南驻马店市模拟)已知函数f(x)4x2(8a)xaln x.(1)求f(x)的单调区间；(2)当a2时，证明：f(x)4x22ex6x4.答案(1)见解析(2)见解析解析(1)由题意知f(x)的定义域为(0，)由已知得f(x).当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，无单调递减区间当a0时，令f(x)0，得x；令f(x)0，得0x0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)证明：原不等式等价于(x)exln x20，则

3、(x)ex，易知(x)在(0，)上单调递增，且20，所以(x)在上存在唯一零点x0，此时(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，要证(x)0即要证(x0)0，由ex00，得ex0，x0，代入(x0)ex0ln x02，得(x0)x02，因为(x0)x02220，所以(x)0，即f(x)4x22ex6x4.3(2022河南开封市高三模拟)已知函数f(x)ln x(aR)的图象在点处的切线斜率为e，其中e为自然对数的底数(1)求实数a的值，并求f(x)的单调区间；(2)证明：xf(x).答案(1)a，函数的单调递减区间为，函数的单调递增区间为(2)见解析思路(1)先对函数求导，然后

4、结合导数的几何意义可求a，结合导数与单调性的关系即可求得单调区间；(2)要证明原不等式成立，可转化为证明求解相应函数的值域，进行合理的变形后构造函数，结合导数可证解析(1)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)，由题意可得，feae2e，故a，f(x).当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)证明：设h(x)xf(x)xln x，则h(x)ln x1(x0)当x时，h(x)0，函数h(x)单调递增，故h(x)minh.设t(x)，则t(x)，当x(0，1)时，t(x)0，函数t(x)单调递增，当x(1，)时，t(x)0时，恒有h(x)t(

5、x)，即xf(x).4(2020课标全国)设函数f(x)x3bxc，曲线yf(x)在点处的切线与y轴垂直(1)求b；(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.答案(1)(2)略解析(1)f(x)3x2b.依题意得f0，即b0.故b.(2)证明：由(1)知f(x)x3xc，f(x)3x2.令f(x)0，解得x或x.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下：xf(x)00f(x)cc因为f(1)fc，所以当c时，f(x)只有小于1的零点由题设可知c.当c时，f(x)只有两个零点和1.当c时，f(x)只有两个零点1和.当c时，f(x)有三个零点x1，x

6、2，x3，且x1，x2，x3.综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.5(2022浙江温州模拟)已知函数f(x)ln x.(1)若a1，证明：当0x0；当x1时，f(x)0.(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：0，f(x)，f(x)0在定义域上恒成立，所以f(x)在(0，)上单调递减，当0xf(1)0；当x1时，f(x)0)，若f(x)存在两个极值点，则解得0a1.由韦达定理可知，x1x2，x1x2(*)a，要证原命题即证x2，即证ln ，由(*)知，2，即证ln 1，即证ln t1时，g(t)0，g(t)在(1，)上单调递减，g(t)g(1)0.原命题得证