备战2023年高考数学二轮专题复习专题一　函数与导数第3讲　不等式.docx

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1、第3讲不等式1.不等式性质的应用 (多选题)(2020新高考卷,T11)已知a0,b0,且a+b=1,则(ABD)A.a2+b212B.2a-b12C.log2a+log2b-2D.a+b2解析:对于选项A,因为a2+b22ab,所以2(a2+b2)a2+b2+2ab=(a+b)2=1,所以a2+b212,正确;对于选项B,易知0a1,0b1,所以-1a-b2-1=12,正确;对于选项C,令a=14,b=34,则log214+log234=-2+log2344,所以选项B不符合题意;选项C,因为y=2x+22-x22x22-x=4,当且仅当2x=22-x,即x=2-x,即x=1时,不等式取等号

2、,所以ymin=4,所以选项C符合题意;选项D,当0x1时,ln x0,y=ln x+4lnx0,所以选项D不符合题意.故选C.3.基本不等式的应用 (2021新高考卷,T5)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|MF2|的最大值为(C)A.13B.12C.9D.6解析:由椭圆C:x29+y24=1,得|MF1|+|MF2|=23=6,则|MF1|MF2|(|MF1|+|MF2|2)2=32=9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.故选C.4.不等式的解法 (2019天津卷,T10)设xR,使不等式3x2+x-20成立的x的取值范围为.解析:

3、3x2+x-20变形为(x+1)(3x-2)0,解得-1x0,b0,则1a+ab2+b的最小值为.解析:因为a1+a2+annna1a2an,所以1a+ab2+b=1a+ab2+b2+b2441aab2b2b2=22,当且仅当1a=ab2=b2=b2时,等号成立,即a=b=2时,1a+ab2+b取得最小值22.答案:22高考对不等式的性质及不等式的解法的考查一般不单独命题,常和集合、函数图象与性质相结合,也常渗透在三角函数、数列、解析几何、导数等题目中.基本不等式主要渗透在其他知识中求最值.题型多以选择题、填空题的形式呈现,中等难度.热点一不等式的性质及应用不等式的倒数性质(1)ab,ab01

4、a1b.(2)a0b1ab0,0cbd.典例1(1)(多选题)(2022河北张家口一模)若ab,则下列不等式正确的有()A.a-b0B.2a2bC.acbcD.a2b2(2)(2022安徽淮南模拟)设12ampB.mpnC.pnmD.npm解析:(1)对于A,因为ab,所以a-b0,故A正确;对于B,因为函数f(x)=2x在R上单调递增,所以2a2b,故B正确;对于C,当c0时,acbc不成立,故C不正确;对于D,当a=1,b=-2时,a2=1b2=4,故D不正确.故选AB.(2)因为12a0,12a-(1-a)=1-2a+2a22a=2(a-12) 2+122a0,又y=logax为减函数,

5、所以mp,ppm.故选D.判断关于不等式命题真假的常用方法(1)作差法、作商法.(2)利用不等式的性质推理判断.(3)利用函数的单调性.(4)特殊值验证法,特殊值法只能排除错误的命题,不能判断正确的命题.热点训练1 (1)(多选题)(2022广东惠州一模)对于实数a,b,c,下列结论正确的是()A.若ab,则acbc2,则abC.若ab|b|D.若cab0,则1c-a1c-b(2)(2022福建模拟预测)若a0,b0,则“a+b2”的一个必要不充分条件是()A.1a+1b1B.ab1C.a2+b22D.abc2,则ab,故B正确;对于C,若ab|b|,故C正确;对于D,若cab0,则0c-a1

6、c-b,故D正确.故选BCD.(2)因为a0,b0,对于A,当a+b2时,取a=b=12,明显可见,1a+1b1不成立,故必要性不成立,A错误;对于B,当a+b2时,0b2-a,得aba(2-a)=-(a-1)2+11,必要性成立;当ab2,则a+b2不成立,充分性不成立,B正确;对于C,当a+b2,则a2+b22不成立,故必要性不成立,C错误;对于D,当a+b2成立时,0a2-b,明显可见,a2-b成立,当a2-b,两边平方,同样有a+ba对一切xI恒成立f(x)mina,xI;f(x)a对一切xI恒成立f(x)maxg(x)对一切xI恒成立当xI时,f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方.

7、(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法.典例2(1)(2022河北模拟预测)已知集合A=x|x2-2x+30,B=xZ|x-3x+20,则AB等于()A.x|-20,所以xR,解不等式x-3x+20得-2x3,B=-1,0,1,2,3,所以AB=-1,0,1,2,3.故选B.(2)当a2-4=0时,解得a=2或a=-2,当a=2时,不等式可化为4x-10,解集不是空集,不符合题意;当a=-2时,不等式可化为-10,此式不成立,解集为空集.当a2-40时,要使不等式的解集为空集,则有a2-40,=(a+2)2+4(a2-4)0,解得-2a65.综上,实数a的取值范围是-2,65).故选B.求解

8、含参不等式ax2+bx+c0恒成立问题的易错点(1)对参数进行讨论时分类不完整,易忽略a=0时的情况.(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解.(3)不考虑a的符号.热点训练2 (1)已知关于x的不等式ax-b0的解集是2,+),则关于x的不等式ax2+(3a-b)x-3b0的解集是()A.(-,-3)(2,+)B.(-3,2)C.(-,-2)(3,+)D.(-2,3)(2)已知函数f(x)=3,x12,1x,x12,则不等式x2f(x)+x-20的解集是.解析:(1)由关于x的不等式ax-b0的解集是2,+),得b=2a且a0,则关于x的不等式ax2+(3a-b)x-3b0,即(x+3)(x

9、-2)0,解得x2,所以不等式的解集为(-,-3)(2,+).故选A.(2)由x2f(x)+x-20,当x12时,不等式等价于3x2+x-20,解得-1x23,当x12时,不等式等价于x+x-20,解得x1,所以-1x0),g(x)恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式来求最值.典例3(1)(2022江苏南京模拟预测)已知关于x的不等式x2-4ax+3a20(a0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+ax1x2的最大值是()A.63B.-233C.433D.-433(2)(2022山东潍坊二模)已知正实数a,b满足a2+2ab+4b2=6,则a+2b的最大值为()A.25B.22C.5D.2解

10、析:(1)x2-4ax+3a20(a0)的解集为(x1,x2),则x1,x2是方程x2-4ax+3a2=0的两个根,故x1+x2=4a,x1x2=3a2,故x1+x2+ax1x2=4a+13a.因为a0,因此0a+2b22,故a+2b的最大值为 22,此时a=2,b=22.故选B.利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的条件(1)一正二定三相等,三者缺一不可.(2)若连续两次使用基本不等式求最值,必须使两次等号成立的条件一致,否则最值取不到.热点训练3 (1)已知4x4+9x2y2+2y4=1,则5x2+3y2的最小值是()A.2B.127C.52D.3(2)(2022广东深圳二模)设0x1

11、,则1x+41-x的最小值为.解析:(1)由4x4+9x2y2+2y4=1,得(4x2+y2)(x2+2y2)=1(4x2+y2+x2+2y22)2=(5x2+3y22)2,即4(5x2+3y2)2,所以5x2+3y22,当且仅当4x2+y2=x2+2y2,即y2=3x2=37时,等号成立,所以5x2+3y2的最小值是2.故选A.(2)因为0x1,所以01-x1,则1x+41-x=(1x+41-x)(1-x)+x=1+4+1-xx+4x1-x5+21-xx4x1-x=9,当且仅当1-xx=4x1-x,即x=13时,等号成立,故1x+41-x的最小值为9.答案:(1)A(2)9专题强化训练(三)

12、一、单项选择题1.若a,b,c为实数,且ab0,则下列说法正确的是(D)A.ac2bc2B.1aab D.a2abb2解析:当c=0时,A错误;1a-1b=b-aab0,B错误;ba-ab=b2-a2ab=(b+a)(b-a)ab0,C错误;由ababb2,D正确.故选D.2.不等式4x-2x-2的解集是(B)A.(-,0(2,4B.0,2)4,+)C.2,4) D.(-,2)(4,+)解析:当x-20,即x2时,(x-2)24,即x-22,所以x4,当x-20,即x2时,(x-2)24,即-2x-20,所以0x2,综上,0x2或x4.故选B.3.(2022广东江门模拟预测)已知a,bR,则“

13、ab1”是“a2+b22”的(A)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当ab1时,由a2+b22ab2,故充分性成立,当a2+b22时,比如a=1,b=-2,满足a2+b22,但ab=-21,故必要性不成立.故选A.4.(2022湖南岳阳二模)已知关于x的不等式ax2+2bx+40的解集为(m,4m),其中m0,则b4a+4b的最小值为(C)A.-2B.1C.2D.8解析:ax2+2bx+4m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是(A)A.(-4,2)B.(-2,4)C.(-,-42,+)D.(-,-24,+)解析:设方程3x2-2x-ab=0的两个异号

14、的实根分别为x1,x2,则x1x2=-ab30.又2a+1b=1,所以a0,b0,则a+2b=(a+2b)(2a+1b)=4+ab+4ba4+2ab4ba=8(当且仅当a=4,b=2时取等号),由不等式a+2bm2+2m恒成立,得m2+2m8,解得-4m0,y0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是(B)A.3B.4C.92 D.112解析:由题意得x+2y=8-x2y8-(x+2y2)2,当且仅当x=2y时,等号成立,整理得(x+2y)2+4(x+2y)-320,即(x+2y-4)(x+2y+8)0,又x+2y0,所以x+2y4,所以x+2y的最小值为4.故选B.7.(2022山东模拟

15、预测)已知非零实数m,n满足emen,则下列关系式一定成立的是(D)A.1mln(n2+1)C.m+1mn+1nD.m|m|n|n|解析:因为emen,所以mn.取m=1,n=-2,得1m1n,故A不正确;取m=1,n=-2,得m2+1n2+1,所以ln(m2+1)ln(n2+1),故B不正确;取m=12,n=13,得m+1mn0时,则m2n2,所以m|m|-n|n|=m2-n20,所以m|m|n|n|,当0mn时,则m20,所以m|m|n|n|,当m0n时,m|m|0n|n|,所以m|m|n|n|,综上得D正确.故选D.8.若0xy0B.2y+2z4C.x+z22 D.x2+z2解析:因为0

16、xyz,且xyz=1,yz=1x,所以0x1.对于A,lg y+lg z=lg yz=lg 1x,因为0x1,lg 1xlg 1=0,故lg y+lg z0成立;对于B,2y+2z22y+z,其中y+z2yz=21x2,故2y+2z22y+z 222=4,故 2y+2z4成立;对于C,x+z22xz2=2zy,又0y1,所以2zy2,故x+z22成立;对于D,因为x2+z2x2z=2xy,而0xy,则0xy2不一定成立.故选D.二、多项选择题9.(2022福建三明模拟预测)设abc,且a+b+c=0,则(BC)A.abb2B.acbcC.1a1c D.c-ac-b1解析:因为abc,a+b+c

17、=0,所以a0c,b的符号不能确定.当b=0时,ab=b2,故A错误;因为a0,所以acbc,故B正确;因为a0c,所以1a1c,故C正确;因为a-b,所以c-ac-b0,所以c-ac-b1,故D错误.故选BC.10.(2022湖南常德一模)下列不等式一定成立的是(AD)A.log1.11.3log1.11.2B.0.71.30.71.2C.x+1x2D.1sin2x+1cos2x4解析:对于A,因为y=log1.1x在定义域上单调递增,所以log1.11.3log1.11.2,故A正确;对于B,因为y=0.7x在定义域上单调递减,所以0.71.30.71.2,故B错误;对于C,当x0时,x+

18、1x=-(-x+1-x)-2(-x)1-x=-2,当且仅当-x=1-x,即x=-1时取等号,故C错误;对于D,1sin2x+1cos2x=sin2x+cos2xsin2x+sin2x+cos2xcos2x=1+cos2xsin2x+sin2xcos2x+12+2cos2xsin2xsin2xcos2x=4,当且仅当cos2xsin2x=sin2xcos2x,即cos2x=sin2x时取等号,故D正确.故选AD.11.(2022河北石家庄二模)设正实数m,n满足 m+n=2,则下列说法正确的是(AB)A.1m+1n的最小值为2B.mn的最大值为1C.m+n的最大值为4D.m2+n2的最小值为54

19、解析:因为正实数m,n满足m+n=2,所以1m+1n=12(m+nm+m+nn)=12(2+nm+mn)2,当且仅当m=n=1时取等号,A正确;mn(m+n2)2=1,当且仅当m=n=1时取等号,B正确;(m+n)2=2+2mn4,当且仅当m=n=1时取等号,所以m+n2,C错误;m2+n2=(m+n)2-2mn=4-2mn2,当且仅当m=n=1时取等号,D错误.故选AB.12.(2022江苏南通模拟预测)若a=log23-1,2b=83,则下列结论正确的是(AC)A.a+b=2B.a-b2D.ab1解析:由题意可得a=log23-1=log232,b=log283.对于A,a+b=log23

20、2+log283=log2(3283)=log24=2,所以A正确;对于B,因为a-b=(log23-1)-(log28-log23)=2log23-4,所以a-b+1=2log23-3=log29-log223=log29-log280,所以a-b-1,所以B错误;对于C,因为a0,b0,a+b=2,所以1a+1b=12(1a+1b)(a+b)=12(2+ba+ab)12(2+2baab)=2,当且仅当a=b时取等号,而ab,所以取不到等号,所以1a+1b2,所以C正确;对于D,因为2322,所以log22log232log22,所以12log2321,即12a1,因为a+b=2,所以b=2

21、-a,所以ab=a(2-a)=-(a-1)2+1,因为12a1,所以34-(a-1)2+11,即34ab0恒成立,则实数m的取值范围是.解析:因为x(0,+),mx2-(m+1)x+m0恒成立,所以m(x2-x+1)x恒成立,又x2-x+1=(x-12)2+340,所以mxx2-x+1恒成立.当x(0,+)时,xx2-x+1=1x+1x-1121-1=1,当且仅当x=1x,即x=1时取等号.所以实数m的取值范围是(1,+).答案:(1,+)14.(2022湖北八市联考)某校生物兴趣小组为开展课题研究,分得一块面积为32 m2的矩形空地,并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区(如图所示).要求

22、试验区四周各空0.5 m,各试验区之间也空0.5 m.则每块试验区的面积的最大值为m2.解析:设矩形空地的长为x m,则宽为32x m,依题意可得,试验区的总面积为S=(x-0.54)(32x-0.52)=34-x-64x34-2x64x=18 m2,当且仅当x=64x即x=8时等号成立,所以每块试验区的面积的最大值为183=6 m2.答案:615.(2022湖南湘潭三模)已知正数a,b满足a+b=5,则2a+1+12b的最小值为.解析:因为a+b=5,所以2a+1+12b=16(a+1+b)(2a+1+12b)=16(2+a+12b+2ba+1+12)16(2+2a+12b2ba+1+12)=34,当且仅当a+1=2b,即a=3,b=2时,等号成立.答案:3416.(2022湖北七市联考)已知函数f(x)=x+1x(x0),若f(x)(f(x)2+a的最大值为25,则正实数a=.解析:令t=x+1x(x0),则t2,则f(x)(f(x)2+a=tt2+a=1t+at,令y=t+at(a0,t2),当0a4时,y=t+at在2,+)上单调递增,y=t+at2+12a,则04时,t+at2a(当且仅当t=a时,等号成立),则01t+ata2a,即f(x)(f(x)2+a的最大值为a2a,则a2a=25,解得a=2516(舍去).综上,所求正实数a=1.答案:1