备战2023年高考数学二轮专题复习专题练　第26练　直线与圆锥曲线的位置关系.docx

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1、第26练直线与圆锥曲线的位置关系1(2022全国乙卷)设F为抛物线C：y24x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|BF|，则|AB|等于()A2 B2 C3 D3答案B解析方法一由题意可知F(1,0)，抛物线的准线方程为x1.设A，则由抛物线的定义可知|AF|1.因为|BF|312，所以由|AF|BF|，可得12，解得y02，所以A(1,2)或A(1，2)不妨取A(1,2)，则|AB|2.方法二由题意可知F(1,0)，故|BF|2，所以|AF|2.因为抛物线的通径长为2p4，所以AF的长为通径长的一半，所以AFx轴，所以|AB|2.2(2020全国)设F1，F2是双曲线C：x21的两

2、个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|2，则PF1F2的面积为()A. B3 C. D2答案B解析方法一由题意知a1，b，c2，F1(2,0)，F2(2,0)，如图，因为|OF1|OF2|OP|2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1PF2，则|PF1|2|PF2|2(2c)216.由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a2，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4，所以|PF1|PF2|6，所以PF1F2的面积为|PF1|PF2|3.方法二由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|24.设点P的坐标为(x0，y0)，则解得|y0|.所以PF1F2的面

3、积为|F1F2|y0|43.方法三由二级结论焦点PF1F2的面积S3.3(2014全国)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.答案D解析由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y，即4x4y30.方法一联立抛物线方程化简得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.方法二联立抛物线方程得x2x0，故xAxB.根据抛物线的定义有|AB|xAxBp12，同时原点到直线AB的距离为h，因此SOAB|AB|h.4(2013全国)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的

4、直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由得，.x1x22，y1y22，kAB，又kAB，a22b2，c2a2b2b29，bc3，a3，E的方程为1.5(多选)(2022新高考全国)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x22py(p0)上，过点B(0，1)的直线交C于P，Q两点，则()AC的准线为y1B直线AB与C相切C|OP|OQ|OA|2D|BP|BQ|BA|2答案BCD解析如图，因为抛物线C过点A(1,1)，所以12p，解得p，所以C：x2y的准线为y，所以A错误；因为x2y，

5、所以y2x，所以y|x12，所以C在点A处的切线方程为y12(x1)，即y2x1，又点B(0，1)在直线y2x1上，所以直线AB与C相切，所以B正确；设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为ykx1，由得x2kx10，所以x1x2k，x1x21，且k240，得k2或k2|OA|2，所以C正确；|BP|BQ|k215|BA|2，所以D正确6(2015全国)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)当APF周长最小时，该三角形的面积为_答案12解析设左焦点为F1，|PF|PF1|2a2，|PF|2|PF1|，APF的周长为|AF|AP|PF|AF|AP|2|P

6、F1|，APF周长最小即为|AP|PF1|最小，当A，P，F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为1，与x21联立，解得P点坐标为(2，2)，此时7(2019全国)已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.解设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得F，故|AF|BF|x1x2，由题设可得x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，令0，得t1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率；(2)若tanPAQ2，求PAQ的面积解(

7、1)将点A的坐标代入双曲线方程得1，化简得a44a240，得a22，故双曲线C的方程为y21.由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxm，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立直线l与双曲线C的方程，消y整理得(2k21)x24kmx2m220，故x1x2，x1x2.kAPkAQ0，化简得2kx1x2(m12k)(x1x2)4(m1)0，故(m12k)4(m1)0，整理得(k1)(m2k1)0，又直线l不过点A，即m2k10，故k1.(2)不妨设直线PA的倾斜角为，由题意知PAQ2，所以tanPAQtan 22，解得tan 或tan (舍去)由得x1，所以|AP|x12|，同理得x2

8、，所以|AQ|x22|.因为tanPAQ2，所以sinPAQ，故SPAQ|AP|AQ|sinPAQ.9(2022赤峰模拟)若椭圆1的弦被点(2,1)平分，则这条弦所在的直线方程是()Ax2y0 B3xy70Cx2y40 D9x8y260答案D解析设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)则1，1，两式作差可得，所以kAB.即弦所在直线的斜率为，直线方程为y1(x2)，整理得9x8y260.10抛物线y24x的焦点弦被焦点分为长是m和n的两部分，则m与n的关系是()Amnmn Bmn4Cmn4 D无法确定答案A解析抛物线的焦点F(1,0)，准线x1，设焦点弦所在直线方程为yk(x1)

9、，把它代入y24x得k2x22(k22)xk20，设焦点弦与抛物线交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，由抛物线定义得|AF|x11，|BF|x21，mn(x11)(x21)(x1x2)2，mn(x11)(x21)x1x2(x1x2)1(x1x2)2，mnmn.11(多选)(2022茂名模拟)已知抛物线C：x24y的焦点为F，准线为l，P是抛物线C上第一象限的点，|PF|5，直线PF与抛物线C的另一个交点为Q，则下列选项正确的是()A点P的坐标为(4,4)B|QF|CSOPQD过点M(x0，1)作抛物线C的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，则直线AB的方程为x0x2y

10、20答案ABD解析对于A，因为|PF|5，所以由抛物线的定义得yP15，即yP4，所以x4yP16，且点P在第一象限，所以坐标为(4,4)，则A正确；对于B，lPF的直线方程为yx1，由yx1与x24y联立得，Q，由两点间的距离公式得|QF|，则B正确；对于C，SOPQ|OF|xPxQ|15，则C错误；对于D，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x24y得，y，则y，MA的切线方程为yy1(xx1)，即yy1x，由x4y1得，yxy1，把点M(x0，1)代入yxy1得，x0x12y120，同理x0x22y220，即A(x1，y1)，B(x2，y2)两点满足方程x0x2y20，所以AB的方程

11、为x0x2y20，则D正确12(2022玉林模拟)抛物线y22px(p0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，则|AF|BF|的最小值是()A2 B. C4 D2答案C解析由题意知p2，1，12，得|AF|BF|4.13(2022杭州模拟)已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H的右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点若|AB|5，则|CD|_.答案3解析设双曲线方程为1(a0，b0)，则其渐近线方程为yx，因为双曲线H的两条渐近线互相垂直，所以ab，所以渐近线方程为yx，所以双曲线方程为1(a0)，则右焦点F(a，0)，所以直线方程为y

12、3(xa)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y3(xa)代入1(a0)化简得，8x218ax19a20，所以x1x2，x1x2，所以|AB|5，解得a24，即a2，所以直线方程为y3(x2)，由得由得所以|CD|3.14(2022贵港模拟)已知斜率为k(k0)的直线过抛物线C：y24x的焦点F且与抛物线C相交于A，B两点，过A，B分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，B1，若A1BB1与ABA1的面积之比为2，则k的值为_答案2解析由抛物线C：y24x得F(1,0)，直线AB的方程为yk(x1)，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得k2x2(2k24)xk20，(2k24

13、)24k416(k21)0，由根与系数的关系可得x1x21，x1x2，由已知和抛物线定义知2，所以|BF|2|AF|，故由焦半径公式得x212(x11)，即x22x11，故解得(负值舍去)所以k的值为2.15(2022无锡模拟)如图，A1，A2是双曲线1的左、右顶点，B1，B2是该双曲线上关于x轴对称的两点，直线A1B1与A2B2的交点为E. (1)求点E的轨迹的方程；(2)设点Q(1，1)，过点Q的两条直线分别与轨迹交于点A，C和点B，D.若ABCD，求直线AB的斜率解(1)由题意知，A1(3,0)，A2(3,0)设B1(x0，y0)，B2(x0，y0)(x03)，则1，则直线A1B1的方程

14、为y(x3)，直线A2B2的方程为y(x3)，两式相乘得y2(x29)，即y2(x29)，所以点E的轨迹的方程为1(x3，x0)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)设，则即代入椭圆方程，得1，即1，即2(1)21，同理可得2(1)21，由，得，所以3(y1y2)x1x2，所以直线AB的斜率k.16(2022玉林模拟)设椭圆E：1(ab0)过M，N两点，O为坐标原点(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，请说明理由解(1)将M，N的

15、坐标代入椭圆E的方程得解得所以椭圆E的方程为y21.(2)假设满足题意的圆存在，其方程为x2y2R2，其中0R1，设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，将其代入椭圆E的方程并整理得(4k21)x28kmx4m240，由根与系数的关系得x1x2，x1x2，因为，所以x1x2y1y20，将代入并整理得(1k2)x1x2km(x1x2)m20，联立得m2(1k2)，因为直线AB和圆相切，因此R，由得R，所以存在圆x2y2满足题意当直线AB的斜率不存在时，易得xx，由椭圆方程得yy，显然，综上所述，存在圆x2y2

16、满足题意当直线AB的斜率存在时，由得|AB|，由16k28，得1，即0)的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)|AB|x1x2p(为直线l的倾斜角)(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切(3).练后反馈题目2371012正误错题整理：1T2补偿(2022亳州模拟)已知双曲线1(a0，b0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若ABF的面积为2a2，则双曲线的离心率为()A. B. C2 D.答案B解析如图所示，设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F(c，0

17、)，所以SAFF2a2，且FAF，根据双曲线焦点三角形面积公式得2a2b2，结合c2a2b2，得2a2c2a2c23a2e23e.2T3补偿(2022新乡模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的准线x1与x轴交于点A，F为C的焦点，B是C上第一象限内的点，则取得最大值时，ABF的面积为()A2 B3 C4 D6答案A解析由题意可知，1，所以p2，则y24x，A(1,0)，F(1,0)过点B作准线x1的垂线，垂足为D，如图，由抛物线的定义可知，要使取得最大值，则sinBAD取得最小值，需直线AB与C相切由题意知，直线AB的斜率一定存在，故设直线AB的方程为yk(x1)，由消去y可得，k2x2(2

18、k24)xk20，所以(2k24)24k40，解得k1，因为B是C上第一象限内的点，所以k1，此时k2x2(2k24)xk20为x22x10，则x1，故B(1,2)，故SABF|AF|yB|222.3T4补偿(多选)(2022梅州模拟)设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF1F1F2，|PF1|，|PF2|，过点M(2,1)的直线l交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，则下列结论正确的有()A椭圆的方程为1B椭圆的焦距为C椭圆上存在2个点Q，使得0D直线l的方程为8x9y250答案AD解析因为PF1F1F2，|PF1|，|PF2|，所以c，a(|PF1|PF2

19、|)3，则b2，所以椭圆的方程为1，椭圆的焦距为2，故A正确，B错误；由0知F1QF290，所以点Q在以F1F2为直径的圆上，因为cb，所以圆与椭圆有4个交点，故C错误；因为过点M(2,1)的直线交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，所以点M(2,1)为弦AB的中点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减得，则kAB，所以直线l的方程为y1(x2)，即8x9y250，故D正确4T9补偿(2022运城模拟)椭圆1(ab0)的离心率为，直线x2yb0与椭圆交于P，Q两点，且PQ的中点为E，O为原点，则直线OE的斜率是_答案解析因为椭圆1(ab0)的离心率为，所以e，所以，设P(x1，

20、y1)，Q(x2，y2)，所以kPQ，E，因为P，Q在椭圆上，所以两式作差得0，即，即，即kPQkOE，所以kOE.5T16补偿(2022重庆模拟)设椭圆1(ab0)的离心率e，焦距为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆右焦点F的动直线l交椭圆于A，B两点，P为直线x3上的一点，是否存在直线l与点P，使得ABP恰好为等边三角形，若存在，求出ABP的面积；若不存在，请说明理由解(1)依题意得，c2，又a2b2c2，a26，b22，椭圆的标准方程为1.(2)当直线l的斜率不存在时，等边ABP不存在，故直线l的斜率存在设直线l：yk(x2)，联立椭圆方程整理得(3k21)x212k2x12k260，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|x1x2|(k21)记线段AB的中点为M(x0，y0)，则x0，y0，又xP3，kMP，|MP|x0xP|，要满足题目要求，则需要|MP|AB|，即(k21)，k1，经检验k1均符合题意|AB|，SABP.