备战2024年高考数学一轮复习人教a必修第二册第六章平面向量、复数第4节余弦定理和正弦定理课时作业.docx

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1、第4节余弦定理和正弦定理 选题明细表知识点、方法题号利用正弦、余弦定理解三角形1,2,4,9,10,11判断三角形的形状5,6与面积有关的解三角形问题3,7,8,12综合13,14,151.已知在ABC中,A=6,B=4,a=1,则b等于(D)A.2 B.1 C.3 D.2解析:由正弦定理asinA=bsinBb=asinBsinA=2.2.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=7,a=1,B=23,则c等于(B)A.5 B.2 C.3 D.3解析:由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得7=1+c2+c,解得c=2或-3(舍去).3.ABC的内角A,B,C的对边分别

2、为a,b,c.若ABC的面积为a2+b2-c24,则C等于(C)A.2 B.3 C.4 D.6解析:根据题意及三角形的面积公式知12absin C=a2+b2-c24,所以sin C=a2+b2-c22ab=cos C,所以在ABC中,C=4.4.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin 2A=asin B,且c=2b,则ab等于(D)A.2B.3C.2 D.3解析:由正弦定理及bsin 2A=asin B,得2sin Bsin Acos A=sin Asin B,又sin A0,sin B0,则cos A=12.又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos

3、 A=b2+4b2-4b212=3b2,得ab=3.5.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cbcos A,则ABC为(A)A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形解析:由cbcos A,得sinCsinB0,所以sin Csin Bcos A,即sin(A+B)sin Bcos A,所以sin Acos B0,所以cos B2,则sin Acos BC.若a=8,c=10,B=60,则符合条件的ABC有两个D.若sin2A+sin2B2,则2A2-B0,所以sin Acos B,故B正确;对于C,由余弦定理可得b=82+102-281012=84,只有一解,

4、故C错误;对于D,若sin2A+sin2Bsin2C,则根据正弦定理得a2+b2c2,cos C=a2+b2-c22ab0),则CD=2k.根据题意作出大致图形,如图.在ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB=22+k2-22k(-12)=k2+2k+4.在ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC=22+(2k)2-222k12=4k2-4k+4,则AC2AB2=4k2-4k+4k2+2k+4=4(k2+2k+4)-12k-12k2+2k+4=4-12(k+1)k2+2k+4=4-12(k+1)(k+1)2+3=4-12k+1+3k+1

5、,因为k+1+3k+123(当且仅当k+1=3k+1,即k=3-1时,等号成立),所以AC2AB24-1223=4-23=(3-1)2,所以当ACAB取得最小值3-1时,BD=k=3-1.答案:3-110.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-3bc=a2,bc=3a2,则角C的大小是(A)A.6或23 B.3C.23 D.6解析:由b2+c2-3bc=a2,得b2+c2-a2=3bc,则cos A=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32,因为0A,所以A=6,由bc=3a2及正弦定理,得sin Bsin C=3sin2A=314=34,即4sin(C+A)sin

6、 C=4sin(C+6)sin C=3,整理得3cos 2C=sin 2C,则tan 2C=3,又02C53,即2C=3或43,即C=6或23.11.(多选题)在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,C为钝角,且c-b=2bcos A,则下列结论正确的是(ABD)A.a2=b(b+c) B.A=2BC.0cos A12 D.0sin B90,所以0A60,0B30,因此12cos A1,0sin B0,所以acsin B23,所以SABC=12acsin B3,当且仅当a=c时,等号成立,所以ABC的面积的最大值为 3.答案:313.在(a-c)(sin A+sin C)=b(sin

7、 A-sin B);2ccos C=acos B+bcos A;ABC的面积为12c(asin A+bsin B-csin C)这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 .(1)求C;(2)若D为AB的中点,且c=2,CD=3,求a,b的值.解:(1)选择.根据正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b),整理得a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,所以cos C=a2+b2-c22ab=12.因为C(0,),所以C=3.选择.根据正弦定理有sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C,所以s

8、in(A+B)=2sin Ccos C,即sin C=2sin Ccos C.因为C(0,),所以sin C0,从而有cos C=12,故C=3.选择.因为12casin B=12c(asin A+bsin B-csin C),所以asin B=asin A+bsin B-csin C,即ab=a2+b2-c2,由余弦定理,得cos C=a2+b2-c22ab=ab2ab=12.又因为C(0,),所以C=3.(2)在ACD中,由余弦定理得,AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC,即b2=1+3-23cosADC.在BCD中,由余弦定理得,BC2=BD2+CD2-2BDCDcosBDC,

9、即a2=1+3-23cosBDC.因为ADC+BDC=,所以cosADC=-cosBDC,所以a2+b2=8.由C=3及c=2,得a2+b2-4=ab,所以ab=4,从而a2+b2-2ab=0,所以a=b=2.14.(2022新高考卷)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=32,sin B=13.(1)求ABC的面积;(2)若sin Asin C=23,求b.解:(1)由S1-S2+S3=32,得34(a2-b2+c2)=32,即a2-b2+c2=2,又a2-b2+c2=2accos B,所以ac

10、cos B=1.由sin B=13,得cos B=223或cos B=-223(舍去),所以ac=322=324,则ABC的面积S=12acsin B=1232413=28.(2)由sin Asin C=23,ac=324及正弦定理知b2sin2B=acsinAsinC=32423=94,即b2=9419=14,得b=12.15.(2022新高考卷)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.(1)若C=23,求B;(2)求a2+b2c2的最小值.解:(1)因为cosA1+sinA=sin2B1+cos2B,所以cosA1+sinA=2s

11、inBcosB1+2cos2B-1,所以cosA1+sinA=sinBcosB,所以cos Acos B=sin B+sin Asin B,所以cos(A+B)=sin B,所以sin B=-cos C=-cos23=12,因为B(0,3),所以B=6.(2)由(1)得cos(A+B)=sin B,所以sin2-(A+B)=sin B,且0A+B2,所以0B2,02-(A+B)2,所以2-(A+B)=B,解得A=2-2B,由正弦定理得a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=sin2A+sin2B1-cos2C=sin2(2-2B)+sin2B1-sin2B=cos22B+sin2Bcos2B=(2cos2B-1)2+1-cos2Bcos2B=4cos4B-5cos2B+2cos2B=4cos2B+2cos2B-524cos2B2cos2B-5=42-5,当且仅当cos2B=22时,取等号,所以a2+b2c2的最小值为42-5.