2024届新高考数学小题微点特训17 三角恒等变换含答案.pdf

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1、 三角恒等变换 考点对点练 保分必拿 考点一三角函数式的化简若 ,则化简 c o s()的结果是()A s i nB c o sC s i nD c o s c o sx()s i nx()()A B c o sxC c o sxD s i nx()已知,则(s i nc o s)s i nc o s()c o s()化简:c o sx c o sx t a nx()s i nx()考点二三角函数求值若c o s()c o s,则s i n()A BC 或D 或已知s i n,则c o s()()ABCD若,(),c o s s i n(),则s i n()()A B CD 或德国著名的天文学

2、家开普勒说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为 的等腰三角形(另一种是顶角为 的等腰三角形)例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金A B C中,B CA C根据这些信息,可得s i n ()A B C D 若c o s(),s i n(),(),则c o s()()A B C D 在平面直角坐标系中,已知一个角的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(,),则s i n 已知

3、,且s i n,则t a n();s i n s i nc o s c o s 考点三三角恒等变换的应用 函数f(x)s i nx s i nxc o sx在区间,上的最大值是()A B CD 函数y s i nxc o sx的最大值是()AB C D 已知函数f(x)s i n x c o s x(),x、x为函数f(x)的两个极值点,若|xx|的最小值为,则()Af(x)在 ,()上单调递减Bf(x)在 ,()上单调递增Cf(x)在,()上单调递减Df(x)在,()上单调递增微点特训数学(新)微 点 特 训 1 7 三 角 恒 等 变 换 设函数f(x)c o sx()s i n x(),

4、x(,),则下列判断正确的是()A函数的一条对称轴为xB函数在区间,内单调递增C x(,),使f(x)D aR,使得函数yf(xa)在其定义域内为偶函数 若函数f(x)s i nxc o sx s i nx,则函数f(x)的最小正周期为;函数f(x)在区间,上的最小值是 素养提升练 高分必抢一、单项选择题若已知c o s,其中,(),则s i n的值为()AB CD 已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(,),则c o s()c o ss i n()s i n的值是()A B C D 已知A B C中,s i nA,s i nB,s i nC成等比数列,则s i nB

5、s i nBc o sB的取值范围是()A,B,C(,D,古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割率,黄金分割率的值也可以用s i n 表示若实数n满足s i n n,则 s i n ns i n()ABCD已 知满 足c o s,则c o s()c o s()()A B C D 若s i nc o s,则s i nc o s()A B C D 若 c o s()c o s(),则c o ss i n的值是()A B CD已 知c o sx(),x,则s i nxs i nx t a nx的值为()A B C D 二、多项选择题函数ys i nxc o sx c

6、 o sx 的图象的一个对称中心为()A,B,C,D,()在A B C中,C ,t a nAt a nB,下列各式正确的是()AABCB t a n(AB)C t a nA t a nBD c o sB s i nA三、填空题 在锐角三角形A B C中,若t a nAt a nBt a nC,则s i nAs i nBs i nC的最大值是 已知当x时,函数f(x)s i nx c o sx取得最大值,则最大值为,s i n()真题体验练 实战抢分(全国乙卷,文科)函数f(x)s i nxc o sx的最小正周期和最大值分别是()A 和B 和C 和D 和(全国乙卷,文科)c o s c o s

7、 ()ABCD(全 国 甲 卷,)若,(),t a nc o s s i n,则t a n()A BCD 微点特训数学(新)yf(x)在 区间 a,a 上单 调递 减,则 a,a,所以a a aa,解得a,则a的最大值为 真题体验练 实战抢分 A 当xk,k(),kZ时,函数单调递增,即xk,k(),kZ,故答案选A Bys i nx()向左平移个单位ys i nx()横坐标变为原来的倍ys i nx()D 函数f(x)定义域为R,且f(x)f(x),偶函数;f(x)c o sx(c o sx)c o sxc o sx c o sx(),故最大值为,选D 由T ,得T,将,()代入y c o

8、s(x),得c o s(),所以f(x)c o s x()f(x)f()()f(x)f()()等价于(f(x)f(x),等价于f(x)或f(x),由f(x)得xk,k(),kZ,此时x的最小正整数为,由f(x)得x k,k(),kZ,此时x的最小正整数为,故答案为 微点特训 三角恒等变换考点对点练 保分必拿 D c o s()c o s|c o s|,c o s,c o s c o s Dc o sx()s i nx()c o sx()c o sx()(s i nxs i nx)s i nx()c o s()c o s x()原式 s i nc o s c o s()s i n c o s()

9、c o sc o ss i n c o s()c o s c o sc o sc o s因为,所以,所以c o s 所以原式 c o s()原式 s i nxc o sx s i nx()c o sx()c o sx()(s i nx)s i nx()c o sx()c o sxs i n x()c o s x C 由c o s()c o s得:c o s()c o ss i n即c o s()s i ns i n,解得:s i n或A 已 知s i n,则c o s()c o s()s i n A 由c o ss i n(),可得c o ss i n(c o s s i n),即(c o s

10、 s i n)c o s s i n 因为,(),所以c o ss i n,c o ss i ns i n(),即s i n(),于是 ,所以s i n()s i n C 因 为A B C是 顶 角 为 的 等 腰 三 角 形,所 以,A C B,则c o s c o sA C BB CA C,s i n s i n()c o s,而c o s c o s,所以,c o s c o s C()(),c o s()c o s()()c o s()c o s()s i n()s i n(),(),s i n(),c o s(),c o s()一个角的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经

11、过点P(,),由三角函数定义可得s i n ,c o s ,则由正弦二倍角公式可得s i n s i nc o s 微点特训数学(新)因为,且s i n,所以c o ss i n,所 以t a ns i nc o s,则t a n()t a n()t a n t a n s i ns i nc o sc o ss i n s i nc o s c o ss i nt a n t a n t a n C 由f(x)c o sxs i n xs i n x(),xx,f(x)m a x故选C D ys i nxc o sx s i nx(),选D B 函数的解析式f(x)s i n x(),由题意

12、可得:TT,即,则函数的解析式为:f(x)s i n x(),由k xk,即k xk (kZ),令k可得函数的一个单调递增区间为,(),kxk ,即k xk (kZ),不存在满足题意的单调减区间 D 函数f(x)c o s x()s i n x()c o sx,当x(,)时,当x时,x不能使函数取得最值,所以不是函数的对称轴,A错;当x,时,x,函 数 先 增 后 减,B不 正确;若f(x),那么c o sx 不成立,所以C错;当a时,f(xa)c o sx函数是偶函数,D正确 因 为f(x)s i nxc o sx s i nx(s i nxc o sx)s i nx(),所以函数f(x)的

13、最小正周期为;因为x,所以x,则当x,即x 时,函 数f(x)在 区间,上 取 最 小 值素养提升练 高分必抢 B 由c o ss i n,c o s,所以s i nc o s,(),s i n C 由题意知,c o s,c o s()c o ss i n()s i nc o s()c o s c o s B 由已知可知s i nBs i nAs i nC,即ba c,c o sBacba caca ca ca ca ca c,即B,s i nBc o sB s i nB()(,原式等于s i nBc o sBs i nBc o sB(s i nBc o sB)s i nBc o sB,设ts

14、 i nBc o sB,即原式等于tttt(t),函数是增函数,当t时,函数等于,当t 时,函数等于,所以原式的取值范围是,故选BA 根 据 题 中 的 条 件 可 得s i n ns i n s i n s i n(s i n)s i n s i n c o s s i n s i n s i n c o s s i n(c o s )A 根 据 两 角 和 差 的 余 弦 公 式 得 到c o s()c o s()(c o ss i n)(c o ss i n)(c o ss i n),因为c o s,得到s i n或代入得到结果为 As i nc o s,s i nc o s,即s i

15、nc o ss i n,s i nc o s(s i nc o s)s i nc o s,且,s i n,c o s,s i nc o s 变形得c o ss i nc o s ,s i nc o s C c o s()c o s(),由诱导公式可得s i nc o s,即t a n,c o ss i nc o ss i nc o ss i nc o s t a n t a n A 因 为 x,所以 x,因 为c o sx(),所以s i nx()c o sx()(),t a nx()s i nx()c o sx(),s i nxc o s x()c o s x()c o sx(),所 以s

16、i nx s i nx t a nxs i nx(c o sxs i nx)s i nxc o sxs i nxc o sx(c o sxs i nx)c o sxs i nx 微点特训数学(新)s i nx(t a nx)t a nxs i nxt a n t a nx t a nt a nx s i nxt a nx()()A Bys i nx(c o sx)s i nxc o sxs i n x(),令xk,xk(kZ),当k时,x,对 称 中 心 是,;当k 时,x,对 称 中 心是,C DC ,AB,t a n(AB),选项A,B错误;t a nA t a nB(t a nAt a

17、nB),t a nAt a nB,又t a nA t a nB,联立解得t a nA t a nB,c o sB s i nA,故选项C,D正确 t a nAt a nBt a nC,t a nBt a nCt a nA,s i nAs i nBs i nCs i n(BC)s i nBs i nCs i nBc o sCc o sBs i nCs i nBs i nCt a nB t a nCt a nBt a nCt a n(BC)(t a nBt a nC)t a nBt a nCt a n(A)(t a nBt a nC)t a nBt a nCt a nA(t a nBt a nC)

18、t a nBt a nCt a nAt a nA()t a nA(t a nA)t a nA t a nA t a nA(),当且仅当t a nA时,等号成立,因此,s i nAs i nBs i nC的最大值是 f(x)s i nxc o sx s i n(x),其中s i n,c o s,则f()s i n(),即s i n(),k(kZ),即k(kZ),s i n()s i nk()s i n()s i nc o sc o ss i n 真题体验练 实战抢分 C 由f(x)s i nxc o sx可 得f(x)s i nx(),故周期为T ,最大值为,故选C D 由题意可知c o s c

19、 o s c o s s i n c o s A 由t a ns i nc o s s i nc o s s i nc o ss i n,化解得s i n,从而得t a n ,故选A微点特训 解三角形考点对点练 保分必拿 B 对于AabcRs i nARs i nBRs i nCs i nAs i nBs i nC,所以A正确对于B:因为s i nBs i n(B),所以s i nAs i n(B)也成立,此时A B,所以AB,所以AB不一定成立,所以ab不一定成立所以B不正确对于C:若A,B均为锐角,结论显然成立 若A,B中有一钝角,则AB时,B A,所以s i nBs i n(A)s i

20、nA,因为s i nAs i nB时,s i n(A)s i nB,所以C正确由等比定理知D正确 B 根据正弦定理,可知aRs i nA,bRs i nB,cRs i nC,代入原式可得s i nAs i nB s i nC s i nBc o sA,又ABC,s i nCs i n(AB)s i nAc o sBc o sAs i nB,则s i nAs i nBs i nAc o sB,s i nA,s i nBc o sB t a nB,得B B在A B C中,a,b,A,由正弦定理as i nAbs i nB,得:s i nBbs i nAa ,ab,AB,B的度数有两解,则此三角形有

21、两解 B 因为as i nAs i nBbc o sAa,所以由正弦定理化简得:s i nAs i nBs i nBc o sAs i nA,整理得:s i nB(s i nAc o sA)s i nBs i nA,即s i nAs i nB,则由正弦定理得:abs i nAs i nB 由 s i nAc o sC(s i nCb)c o sA,得 s i nAc o sC s i nCc o sAbc o sA,所以 s i n(AC)bc o sA,即 s i nBbc o sA,又as i nAbs i nB,所以c o sAbs i nBas i nA,从而s i nAc o sAt

22、 a nA,又因为A,所以A C 在A B C,因为as i nAbs i nB(cb)s i nC,由正弦定理可化简得abc(cb)bcb c,即bcab c,由余弦定理得c o sAbcab c,因为A(,),所以A ASb cs i nA c,所以c,由余弦定理可得:abcb cc o sA,得a,又由正弦 定 理 可 得:as i nAbs i nB,所 以s i nBbs i nAa C 已知a,s i nBs i nCs i nA,由正弦定理得bca,bc,c o sAc o sA,c o sA,当c o sA时,由余弦定理得:abcb cc o sA,即:bcb c(bc)b cb c,b c,与bc联立解得b,c不满足ab,舍去c o sA,s i nAc o sA 微点特训数学(新)