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1、#QQABLYQUggCgQBBAAQhCAwEQCgAQkBACAAoGxAAIMAIBgRFABAA=#QQABLYQUggCgQBBAAQhCAwEQCgAQkBACAAoGxAAIMAIBgRFABAA=#QQABLYQUggCgQBBAAQhCAwEQCgAQkBACAAoGxAAIMAIBgRFABAA=#QQABLYQUggCgQBBAAQhCAwEQCgAQkBACAAoGxAAIMAIBgRFABAA=#第1页 共8页 中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2023 年年 11 月测试月测试 数学参考答案数学参考答案 一、一、单项单项选择题：本题共选择题：
2、本题共 8 小小题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B B A B D D 二、多项选择题：二、多项选择题：本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对但不全的得分，部分选对但不全的得 2 分，有错选的得分，有错选的得 0 分分 9 10 11 12 BD AC AB ACD 三三、填
3、空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 131 1472151024+1635 四四、解答题：本题共、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10分）（1）2 sinsincoscBCbB=，所以由正弦定理得2sinsinsinsincosCBCBB=，1cos2B=，得3B=3 分()33tantan4tantan5 31tantan3134ABCABAB+=+=5 分（2）ABC内切圆的面积为，所以内切圆半径1r=，由圆的切线性质得2 3,2 333c
4、abbca+=+=+7 分由余弦定理得222bcaac=+，()()2222333caacacac+=+=+，将3 3 3ac+=+代入，#QQABLYQUggCgQBBAAQhCAwEQCgAQkBACAAoGxAAIMAIBgRFABAA=#第2页 共8页 184 3,sin2 3323ABCacSac=+=+10 分（或()164 3,2 332ABCabcSrabc+=+=+=+10 分）18（12分）（1）过 D作 AB的垂线交 AB 于 H点，设ACABa=，则()22,2,2,212BCa BDa HDHBBDa AHBHBAa=，2252 2ADAHDHa=+=，由题意得，二面
5、角CSAD的平面角为CAD，2 分()34 52 22cos1752 2DHCADDA+=4 分（2）分别以 AB，AC，AS 为 x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系，()()0,0,0,0,0AB a，()()0,0,0,0,CaSh，则()()()(),0,1,0,1EahFah，SBSC=且,SESFSESFSBSC=6 分 又,SABSACBSACSA=，那么SAESAF，则AEAF=8 分故SEF与AEF都是等腰三角形，取 EF 的中点 G，则 SG与 AG均垂直于 EF，()()111111,1,1222222GaahSGaahAGaah=，平面AEF 平面SBC等价于SGAG
6、10 分()22221044aaSG AGhh h=+=，又260,3SCBah=12 分 19（12分）（1）()1122,222nnnnaaaa+=+=，即()11222nnaa+=，#QQABLYQUggCgQBBAAQhCAwEQCgAQkBACAAoGxAAIMAIBgRFABAA=#中君 第3页 共8页 2na是公比为12的等比数列 2 分 111123,2322nnnnaa=+4 分（2）2112111123 126 12222nnnnSaaann=+=+=+6 分 111266,266222023nnnnSnSn=，即126069,nn取最小值 14 8 分（3）()11212
7、,133nnnnnCCnCn+=，得2n，即1nnCC+，有345CCC，又1234,3CCC=，故nC中最大项为23,C C 10 分 又 mb中最小值为()()2minmax7,3mnbC，即24733，()()3710+，又70,3 12 分 20（12分）（1）由题意可知：X的所有可能取值为 2.3，0.8，0.5，()1 3 42.30.32 4 5P X=1 分 0.8X=包含的可能为“高低高”“低高高”“低低高”，()1 1 41 3 41 1 40.80.52 4 52 4 52 4 5P X=+=2 分()0.51 0.3 0.50.2P X=3 分 X的分布列为：X 2.3
8、 0.8 0.5 P 0.3 0.5 0.2#QQABLYQUggCgQBBAAQhCAwEQCgAQkBACAAoGxAAIMAIBgRFABAA=#公：第4页 共8页 4 分 数学期望()1.19E X=5 分（2）设升级后一件产品的利润为 Y，Y 的所有可能取值为2.3,0.8,0.5aaa 6 分()36142.324 5103P Yabb=+=+7 分()13 411 411 40.824 524 524 50561P Yabbbb=+=8 分()635 610.5110105bbP Ya+=9 分()()()()()635 612.30.80.51.190.910105bbE Ya
9、aaba+=+=+11分()()0.90E YE Xba，即：()1100,0.429aba（备注：12不写出不扣分）12 分 21（12分）（1）114 2ABAFBF+=，即22114 2AFBFAFBF+=，又12122,44 2,2AFAFBFBFaaa+=+=2 分 又2e=,1,12ccba=，故椭圆 E 的方程是2212xy+=4 分（2）依题意知直线BC的斜率存在，设直线:BC ykxm=+，代入2212xy+=，得()2212xkxm+=，即22212102kxkmxm+=，#QQABLYQUggCgQBBAAQhCAwEQCgAQkBACAAoGxAAIMAIBgRFABA
10、A=#君 第5页 共8页()()22222124122402kmkmmk=+=+，即22210km+，设()()1122,B x yC xy，则()22,A xy，122212kmxxk+=+，2122112mx xk=+6 分2,A F B三点共线，()21,0F，直线AB不与坐标轴垂直，()()()()12211212,1111yyxkxmxkxmxx=+=+，()()121212220kx xm xxk xxm+=，()222222212220111222k mkmk mmkkk+=+，2222222220kmkkmk m mk m+=，2,mk=直线():2BC yk x=，由得：22
11、212410,2kkk+，2121BCkxx=+，点()11,0F 到直线:20BC kxyk=的距离231kdk=+，1121322F BCSBC dk xx=8 分()()222212121 2224 41441122kkxxxxx xkk=+=+#QQABLYQUggCgQBBAAQhCAwEQCgAQkBACAAoGxAAIMAIBgRFABAA=#公：第6页 共8页()422222221164 412421122kkkkkk+=+，()()()122222 4301 2FBCkkSkk=+，设2211kt+=，则212tk=，()()122221 23211333231F BCttt
12、tStttt+=+21313248t=+10 分 所以当134t=时，即22441,21,336tkk=+=（符合题意），1F BCS的最大值为3 24，所以当66k=时，1FBC的面积取最大值为3 24 12 分 22（12分）（1）定义域为()(),11,+，由题意知()()2ln1xxxax=，则()()1 ln1xxa=有三个不同的实数根，当1x 时，令()()()1 ln1g xxx=，()()()ln11,g xxg x=+在()1,x+上单调递增，又110eg+=，()g x在11,1ex+上单调递减，在11,ex+上单调递增，()111eeg xg+=2 分#QQABLYQUg
13、gCgQBBAAQhCAwEQCgAQkBACAAoGxAAIMAIBgRFABAA=#第7页 共8页 当1x 时，令()()()1 ln1h xxx=，()()()()()221123ln1,1111xxh xxhxxxxx+=+=+=+，又()30h=，()h x 在(),3 上单调递减，在()3,1上单调递增，()()32ln20h xh =+，()h x在(),1 上单调递增 5 分 又()20h=，当1x时，()h x +，当x时，()h x ，当1x+时，()0g x，当x+时，()g x +，10ea 6 分（2）由已知可知()()1 ln1axxx=有 3个零点123,x x
14、x，不妨设123xxx，显然121x，由（1）中函数()g x性质且11e11e11eea+，231112exx +，只需证2322exx+，即3222exx+8 分 又()()()2222221222 11ln 11 ln10eeegxg xxxxx+=+，上面不等式证明如下：令()()()2211ln 11 ln1,1,1eeexxxxxx=+，#QQABLYQUggCgQBBAAQhCAwEQCgAQkBACAAoGxAAIMAIBgRFABAA=#公众号：高中试卷君 第8页 共8页()()21ln 1ln12,1,1eexxxx=+()2ln1120exx=+，()x在11,1ex+上单调递增，()110ex+=10 分 又221211,21eeexx +，()2212 1egxg x+，又显然有()()23g xg x，2312 1exx+，2322exx+，1232exxx+12 分#QQABLYQUggCgQBBAAQhCAwEQCgAQkBACAAoGxAAIMAIBgRFABAA=#
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