自考00020高等数学（一）高频主观题汇总.docx

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1、目 录一、隐函数求导法1二、韦达定理1三、对数求导法1四、幂指函数求导法1五、高阶导数的运算1六、参数方程所确定的函数的导数2七、反函数的导数2八、讨论函数在某点的连续性2九、复合函数的导数及（微分）. 2十、判别函数的单调性.2十一、求函数的单调区间、极值、最值. 3十二、弹性函数与弹性分析.3十三、不定积分凑微分法.3十四、不定积分换元法（目的在于去根号）. 4十五、不定积分分部积分法.4十六、利用几何意义计算定积分. 4十七、计算对称区间上的定积分. 5十八、计算周期函数的定积分.5十九、利用定积分的常用公式计算定积分. 5二十、计算被积函数含函数导数的积分. 5二十一、计算积累需要分子

2、区间积分的定积分. 6二十二、计算含参数的定积分.6二十三、求需换元计算的定积分. 6二十四、定积分不等式拉格朗日中值定理. 7二十五、柯西中值定理证明两函数导数之比的中值等式. 7二十六、定积分不等式泰勒公式. 7二十七、求曲线凹凸区间与拐点. 7二十八、求平面曲线的切线方程和法线方程. 7二十九、求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题. 8三十、求解与两曲线相切的有关问题. 8三十一、计算显函数的偏导数.9三十二、求二元显函数的偏导数在某点的值. 9三十三、由方程组确定的隐函数的（偏）导数. 9三十四、求二元函数的全微分. 10三十五、偏导数的连续性.10三十六、利用二元函数极值的充分条件求

3、其极值. 10三十七、求二元函数的最值.11三十八、二重积分的计算用直角坐标系计算二重积分. 11三十九、二重积分的计算用极坐标系计算二重积分. 12四十、交换二次积分次序.14一、隐函数求导法【由一个方程所确定的隐函数的导数】直接求导法：在所给方程两边直接对 （或对 ) 求导，求导过程中始终把 （或 ) 视 为 （或 ) 的函数；求微分：在所给方程两边利用一阶微分形式不变性求微分，求出 与 y 所满足的关系后，其比即为所求的导数（或) ;直接用公式 - 8= , )求解，其中 , )， , ) 0 分别表示 , )对 , 的偏导数。隐函数的求导公式：隐函数F(x, y) = 0， d(d)x

4、(y) = 一 Fy(Fx) ， d(d)x(2)2(y) = x() (一 Fy(Fx) )+ y() (一 Fy(Fx) ) . d(d)x(y)隐函数F(x, y, z) = 0， = 一 ， = 一 【由一个方程所确定的隐函数的二阶导数】设 = 是由方程 + = 聠 tan ，则 = ( )下方程两边取对数再求导： + = 聠 tan喻ln + =ln聠 tan喻 ln + ) = 聠 tan在方程两边对 求导得： + = +二、/ 韦 达定理, 由此解得 = ()+()若记一元二次方程的两个根分别为 x1,x2 ，则有：1 2x + x = 一 ba1 2x x = ca三、对数求导

5、法对于多项相乘、相除、开方、乘方的式子，一般先取对数再求导，设 = ) ，等式两边取对数，得ln=ln )；两边对自变量 求导（同样注意 = ) ，即将 y 看作中间变量），得： = ln ) 牵 = ln )四、幂指函数求导法还可以先化成指数函数 除了使用对数求)法以外， ） ,0 ( 对于五、高阶导数的运算)1 + ln ) 1 ) = 1 ln ) = 1，ln求导=:后然直接用高阶( 阶）导数公式；经恒等变形后再用高阶( 阶）导数公式；先求 ， ， ， , 找出与导数阶数相关的结构规律，从而求出高阶导数，再用归纳法1 ) ) 证明。六、参数方程所确定的函数的导数 = )设函数 = 由参

6、数方程 = )确定，其中 是参数，且 、 均对 t 可导， 0，则=/dt。dt二阶导数： = = / / = 七、反函数的导数【方法】设 y = 在区间I 内可导，且 0，值域为区间Iy ，则它的反函数 = y 在Iy 可导，且反函数的导数为 y = ，y )【 二阶导数】 = ) = y = = = ) = 八、讨论函数在某点的连续性设函数 )在 =0 处连续，且 lim 1，则 ( )喻0解答：因 lim 1，lim =0，lim ) 0，又 在 = 0 处连续，故 lim = 0 ，喻0 喻0 喻0 喻02进而有 = lim =喻0喻0(lim)+ 0+ 0 = 0)九、复合函数的导数

7、及（微分）但由此不能保证0)存在，故 0 ) 0，且0 存在。【关键点】一层一层的计算，不要漏层，（由外到内）每一层都可以用如下的公式： 0复合函数) = 复合函数)中间变量 中间变量 )z = fu(t), v(t) d(d)t(z) = ()u(z) . ()t(u) + ()v(z) . ()t(v)z = fu(x, y), v(x, y) = . + . 当u = u(x, y)，v = v(x, y)时，du = dx + dy dv = dx + dy十、判别函数的单调性若函数 )在,b 上连续，在 , b)内可导，则：若 )0（或 0）， I，则函数 在区间 I 上单调增加（或

8、单调减少）；)在 , b上单调增加（或单调减少）的充要条件是除了有限多个点 , b)使 =0 外，对其他 , b)都有 )0（或 )0= ;)在,b 上单调不减（或单调不增）的充要条件是对任意 , b)都有 )0（或 0）。十一、求函数的单调区间、极值、最值【求函数的单调区间】写出 )的定义域；求出 ;解方程 =0 求出驻点；找出 )的不可导点；用驻点和不可导点将 的定义域分成若干个子区间；在每个子区间上判别导数 的符号，确定 )的单调性。【求函数的极值】求函数 的定义域；求 ) ，并在定义域内求使 = 0 的点（驻点）和 不存在的点；用上述判别法检验所求出的驻点和不可导点是否为极值点。求出

9、的极值。【求函数的最值】若 = )在 , b上单增（减）的，则 )是其最大（小）值；若 = 在 , b)内只有一极值点（唯一驻点），且此极值是极大（小）值，则它亦是 = )在,b 上的最大（小）值，常称这些函数为单峰（单谷）函数；若函数在开区间、半开区间或无穷区间内连续，求函数的最值时，需求出区间内函数的全 部极值和区间端点处函数的单侧极限。如果单侧极限最大（最小），则函数在该区间内无最 大值（无最小值）。 因而在开区间、半开区间或无穷区间上的连续的函数不一定是最值。除上述三种特殊情况外，一般按照以下步骤求 )在,b 上的最值：求出 ) ，并在 , b内求出其驻点和不可导点（不必判断这些驻点和

10、不可导点是否为 极值点，但函数在这些点必有定义）；计算 )在这些点的值，且求出 ) ， b 。比较上述中所得的函数值，其中最大（小）者就是 )在 , b上的最大（小）值。对区间端点 , b，根据极值点的定义知它们不可能是极值点（极值点只能在区间内部取得）， 但它们可以是函数的最值点。十二、弹性函数与弹性分析【需求的价格弹性】设需求函数为 Q= ) (：价格，Q：需求量）。则需求弹性为 = 由于需求的函数单调递减，故 )0，从而0。其经济意义： 当价格为 p 时，若提价（降价）1%，则需求量将增加（减少） | |%。 【供给的价格弹性】设供给函数为 Q= (：价格，Q：供给量），则供给弹性为：

11、= 由于供给函数单调增加，故 0，从而 0。其经济意义： 当价格为 时，若提价（降价）1%，则供给量将增加（减少）%。十三、不定积分凑微分法可得： ， + = 如果 = + , = 是 的可微函数，则：3 = = ( ）0) 换= = = = ) + + 令 = tan = =令cos =, si十n=四、co不s定积 分换元法（目的在于去根号）被积函数中含有 +b + = 令staecn=, sec= sseecc tan 令 = +b倒代换： 当分式中的分母次数比较大时，作 = , 将分母次数变小。十五、不定积分分部积分法这个方法主要适用于求 比较困难，而 比较容易的情形。什么函数积分后会

12、简单些适宜取作 , 而微分后较简单的一般取作 , 其基本思想为： = - 选取的一般原则为：被积函数为 ) ， ) sin , ) cos 等形式时，一般来说选取 = )； 被积函数为 sin , cos 等形式时， 可以取其中两因子中的任意一个；被积函数为 ) ln , ) 聠 , ) 聠 等形式时，一般分别选取： =ln , = 聠 , = 聠 十六、利用几何意义计算定积分R0利R 用圆用RR圆 在在 原点，、()半径为0，R半R径为的的圆的圆面的积面计积 算计算定积定分积分0 = 0 = ( 0）0 = 0 = ( 0）4十七、计算对称区间上的定积分求() 原式= () + =02()

13、= 0 + =ln + 0() ln 十八、计算周期函数的定积分常用简化公式：0 sin = sin = 0；0 cos = cos = 0；0 cos = cos = 0求 I = 0 sin ( 为 ）数然自sin 为周期函数，周期为 , 则：I = sin = 0 sin = 十九、利用定积分的常用公式计算定积分 +niscos =解答：注意到 cos 为奇函数，sincos 为偶函数，有 式+=ssincos-cos+sin= sin=csoins()-sin()() = 二十、计算被积函数含函数导数的积分含函数一阶或高阶导数的被积函数，其（不）定积分的算法总是先让导数部分进入微分号，

14、 然后再用分部积分法求解。同样被积函数如含已知其导数的函数，也用分部积分法求其积分。【比较和估计定积分的大小】比较定理若在 , b上 连续，且 0，则 0；若在 , b上 连续，且 0，但在 , b上 0，则 0；若在 , b上 连续，则 ;当 , b且 时，有 。积分估值定理设m b 在, b 上 连续, M b且其最 大值;为 M，最小值为 m，则5【如求解含积分值为常数的函数方程】在,b上不恒为常数，则 m b M b 设 在 , 上可积， 收敛，且 满足 = - , 求 解答：设 =A（A 为常数），对所给方程两边在 , 上积分，得到： =A = - A = = = , = - 二十一

15、、计算积累需要分子区间积分的定积分分段函数关键：被积函数与积分区间相对应分段函数的定积分分段计算含绝对值令含绝对值部分的函数等于零，求出其实根，以其实根为分段点，将被积函数花城等分段 函数；利用函数的奇偶性、周期性等性质，使绝对值符号自然去掉。偶次算术方根计算被积函数含偶次算术方根的定积分时，开方一般取绝对值，然后用中介绍的方法求解。6含最值符号 或 聠求() , 解答： 当 时， , = = ;当 时， , = ;当 时， , = = ; , =,综上所述： , 虽然，该函数为 , 上的偶函数 ，故() , = 0 , = 0 + 0 = + ln 二十二、计算含参数的定积分积分含参数 时，

16、应根据 与积分变量 的大小分段，如果 与 的大小无明显区分，就应 以它们相等的值为临界点，分 两种情况分段积分。二十三、求需换元计算的定积分若被积函数或其主要部分为复合函数 , 应作变量代换 = 化简被积函数； 作变量代换将积分区间化为对称区间，利用被积函数的奇偶性计算；作变量代换变换积分区间和被积函数在一定条件下可简化计算。二十四、定积分不等式拉格朗日中值定理设 )在 0， 上具有一阶连续导数，且 0 ) = ) 0，证明：0 ，0 ) 证明：将大区间 0， 分成两个小区间 0， 和,在 0， 上对 )上使用拉格朗日中值定理，得 - 0 ) = = ) , 中其 其于是中，：根据基本不等式0

17、=0, +()+ =,故M得0证。 + M = M ()+ ,在0，,上于，对是于是: : 使当 用拉=格0，朗日时中值，记定M理=, 得 - , =则 =M， M，二十五、柯西中值定理证明两函数导数之比的中值等式观察所给的分子、分母中的函数是否为两个函数 与 )的导数 )与 )之比。技巧：如将分子中因式常看成分母中的, 即 = （恒等变形），另外还常利用恒等变形： ( ) = ( ) = = ) = , = 0若相等，最后验证 ) ， )满足柯西中值定理的条件。如果分子、分母为()() ，进一步算出 b b , 看是否与左端相等；二十六、定积分不等式泰勒公式设 )在 0， 上二阶导数连续，且

18、 ) 0 。 当 0 ，)时，记 M = ) ，证 明： 0 M故=得0证。 = 0 0 M 0 = M明中=介：根于据+题，设之， 选间取基 点+0= 展开成,泰勒公式：=0 = 0 + 0 二十七、求曲线凹凸区间与拐点写出 = 的定义域；求出 , 并令 0 求出其根；以方程 = 0 的根和二阶导数不存在的点将定义域分成若干个子区间，在每个子区间上用 的正、 负确定 = 在各子区间上的凹凸性。写出曲线 = 的凹区间和凸区间及其拐点。二十八、求平面曲线的切线方程和法线方程求切线（法线）方程时，首先一定要考查指定点是否在曲线上，在曲线上与不在曲线上求切70线（法线）方程的方法是不同的。求曲线 =

19、 过点 , 0 ) 的切线方程和法线方程。指定点0 ， 0)在曲线 = 上，因满足0 = 0 ，于是可先求出斜率，切线斜率为 = 0 ；法线斜率为 = ，然后利用点斜式写出所求方程。过不在曲线上的已知点，求该曲线的切线方程。由于已知点不在曲线上，要先设出该点，求出切点方程，再求切线方程，要利用切线过已知 点，将已知点的坐标代入切线方程，建立以切点坐标为未知数的方程。如果该方程没有解，则过已知点曲线没有切线；如该方程有解，则过已知点，曲线有切线；如有多组解，则过已知点曲线有多条切线。二十九、求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题一般先求切线方程，再由切线方程求出该切线在坐标轴上的截距，最后利用截距

20、计算有关度 量（长度、面积等）的数值。典型例题：给定曲线 = ,（1）求曲线在横坐标为0 的点处的切线方程；（2）求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度。 = 0 ,解答：（1） 00 , 所求切线方程为： + 0 = 即 = = （2）切线在 轴， 轴上的截距分别为 = 0 ，b = 0 , 切线被两坐标轴所截线段长度的平方，即： = +b = 0 + 0 ,为求导的方便，将求无理函数 = +/)的最值问题转化为求与此函数有相同最值点的另一函数 = + 的最值问题，为此记 = , 与 同时取最小值，并记： = = + , 则 = - , = + 0令 0，得驻点, = , 又 ,)0，所以

21、 及 、 在点, = 处取极小值。由曲线 )呈凹向可知，此极小值也是最小值，于是所求线段的最短长度为： = + = = + = 三十、求解与两曲线相切的有关问题典型例题：设曲线 = -3 +b 与 轴相切，则在该点处其函数值相等，且其导数值也相等， 因而：0 -0 b = 0 = 0 = 0 - = 0 由式得到0 = , 代入式有： = - 0 0 )1 = 0 0 = 8 e 2y+3 x（将式中 x 换 y，y 换 x 即得）2 y三十二、求二元显函数的偏导数在某点的值=4a6三十一、计算显函数的偏导数在二元函数对某一变量求偏导数时，可先把另一变量当成常量，用一元函数的求导公式来求显函数

22、的偏导数。x2y2x2y2典型例题：设 z x2y2e xy ，求，x2y2x2y2= 2xe xy x2y2 x2y2 e xyy 2xe xy x2y21.ex2y2xy x由函数 z 关于 x，y 对称即得：=e 2x 先对某变量求偏导，再将该偏导变量的值代入，然后再对另一个偏导变量求偏导，最后将该9变量的值代入。lx x0 lx0 ，y0 lyy0典型例题：设 fx，y，z = 1 l1，1，1 ， l1，1，1 ，2 df 1 ，1，11yx x ，求 l1，1，1 ；解答： l1，1，1 lx 1 lx 1 1； l1，1，1 ly 1 ly1 = ly 1 = 1； l1，1，1

23、 lz 1 lz 1 0df 1 ，1，1= l1，1，1 dx l1，1，1 dy l1，1，1 dzdxdy三十三、由方程组确定的隐函数的（偏）导数G x，y，z x x设方程组F x，y，z所确定的隐函数为 y y x ，z z x ，其导数 ，的求法步骤说明如下：先在所给方程两端对 x 求导，得到： dy dzGx()Gy d(d)x(y) Gz() dx(dz) 0FxFy dx Fz dx 0 即 = + = 10在上方程组中视, 为未知量，用克拉默法则解此方程组得到：【变换含一阶、二阶偏导数的表达式】0） （ ( ) = 0） （ = 视新变量为中间变量，视原来的变量为自变量；视

24、原来的自变量为中间变量，视新变量为自变量。利用链式求导法则算出一阶、二阶偏导数，然后代入整理。三十四、求二元函数的全微分设函数 = , , )有连续偏导数，且 = , )由方程 - = 所确定，求 。 解答： = , , ) = + 由 ) = )得到 + ) - +) = ) 即： = + - + 代入中得： = + + 1 + + + = fx()fz() exz)dxfy()fz() eyz dy三十五、偏导数的连续性对于 = , ) ，讨论其在某特殊点0 ，0) （比如二元分段函数的分段点）处偏导数是 否连续，步骤为：用定义法求 0 ，0) ， 0 ，0)；用公式法求 , ) ， ,

25、)；计算 lim , ) ， lim , )。0 00 0看 lim , ) = 0 ，0)，00lim fy()x，y) fy()x0 ，y0)是否成立，若成立，则 z fx，y)在点x0 ，y0)处的偏导数是否xx0yy0连续的。三十六、利用二元函数极值的充分条件求其极值求二元函数 , ) = + nl 。+极的先求出 , ) 0， , ) 0 的所有解： , ) ， , ) ，再判断每个点是否为极值点，并求出相应极值。令 , ) = + ) 0， , ) = +ln + = 0，得其驻点为 0 ， ) ，又 = + ) ， = + , = 则：A = 0， ) = ( -+ , B =

26、0， ) 0，C = 0， ) = 因 A = 0，而B -AC= ) -0,故二元函数存在极小值，且 0， ) = 就是它的极小值。三十七、求二元函数的最值一般方法是先将 , )在区域 D 内的所有驻点处的函数值与 , )在 D 的边界上的最大 值与最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。求 , ) = - +2 在椭圆域 D = , ) ， + 上的最大值与最小值。先求 D 内的极值，再求 D 的边界上的可能最值，比较其大小，求得 D 上的最值。由 , ) = 及 , ) = = 0，可求得： , ) = - + 在区域 + 内的唯一驻点 0 ，0)。在椭 圆，0+=, 上， 0，= = + = -( ) 可能的最值为：又由于 0 ，0) =