北京市海淀区北京一零一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题含答案.pdf

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1、试卷编号：9297北京一零一中题库管理系统 Q9999北京一零一中 2023-2024 学年度第一学期期中考试高一数学班级：学号：姓名：成绩：一、选择题共 10 小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合 A=1,0,1,2,B=x|1 2x+1,则 p 的否定为()(A)x Z,x2 2x+1(B)x Z,x2 2x+1(C)x Z,x2 2x+1(D)x Z,x2 b 0,c d 0,则一定有()(A)acbd(B)acbc(D)adbc5.定义在 R 上的函数 f(x)在(,2)上是增函数,且 f(x+2)=f(2 x)对任意 x R 恒成立,则()(A)f(1

2、)f(3)(C)f(1)=f(3)(D)f(0)=f(3)6.若函数 f(x)=3 x2,1 6 x 6 2,x 3,2 0,且关于 x 的不等式 x2 2x+a 0 的解集为(m,n),则1m+4n的最小值为()(A)2(B)72(C)4(D)92北京一零一中 2023-2024 学年度第一学期期中考试高一数学第 1 页（共 4 页）#QQABYYAAogiAQBJAAAhCQwViCAGQkAECCCoOwAAAMAABwRNABAA=#9.已知 a1,a2,b1,b2均为非零实数,关于 x 的不等式 a1x+b1 0 与 a2x+b2 0;对任意 k,存在实数 x,使得 f(x)0;对任

3、意实数 k,x,均有 f(x)0 成立;对任意实数 k,x,均有 f(x)gf(x)的解集是 .x123f(x)131g(x)32115.某商贸公司售卖某种水果,经过市场调研可知:未来 20 天内,这种水果每箱的销售利润 r(单位:元)与时间 t(1 6 t 6 20,t N,单位:天)之间的函数关系式为 r=14t+10,且日销售量 y(单位:箱)与时间 t 之间的函数关系式为 y=120 2t.在未来这 20 天中,公司决定每销售 1 箱该水果就捐赠 m 元给“精准扶贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天都能盈利，且获得的利润随时间 t 的增大而增大,则 m 的取值范围是 .16.已

4、知函数 f(x)=x2 ax+2,x a,|x+a|,x a,对于任意正数 k,关于 x 的方程 f(x)=k 都恰有两个不相等的实数根.(1)请判断 a=0 是否符合题意:(填“是”或者“否”);(2)写出 a 的所有可能取值:.北京一零一中 2023-2024 学年度第一学期期中考试高一数学第 2 页（共 4 页）#QQABYYAAogiAQBJAAAhCQwViCAGQkAECCCoOwAAAMAABwRNABAA=#三、解答题共 4 小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17.已知集合 A=x|x 1|3,B=x|m x 2m+3.(1)求集合 A 中的所有整数;(2)若(RA

5、)B=,求实数 m 的取值范围.18.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)=x+m+1x2+1,m R.(1)求 m 的值;(2)用定义证明:f(x)在区间 1,+)上是减函数;(3)若实数 a 满足 f(a2 a+3)0 的解集为(,1)(b,+),求 a,b 的值;(2)解关于 x 的不等式 f(x)5 ax.20.对于非空有限整数集 X,m N,定义 Xm=xm|x X,对 n Z,Y n=x+n|x Y.现有两个非空有限整数集 A,B,已知 A 1 B 且 B2(4)A.(1)当 A=3,0 时,求集合 B;(2)证明:A 3,2,0,1;(3)当 A 1=B 且 B2(4)=A 时,

6、任取 a A,b B,构造函数 f(x)=(x a)(x b),问:当 a,b 取何值时,f(x)的最小值最小?北京一零一中 2023-2024 学年度第一学期期中考试高一数学第 4 页（共 4 页）#QQABYYAAogiAQBJAAAhCQwViCAGQkAECCCoOwAAAMAABwRNABAA=#北京一零一中 2023-2024 学年度第一学期期中考试高一数学参考答案1.(2023 丰台二模 1)B2.B3.C因为 f(x)=3 x 在(0,+)上为减函数,所以 A 不符合题意;因为 f(x)=x2 3x 的图象是开口向上且对称轴为直线 x=32的抛物线,所以它在(0,+)上先减后增

7、,所以 B 不符合题意;因为 f(x)=1x+1在(0,+)上单调递增,所以 f(x)在(0,+)上为增函数,所以 C 符合题意;因为 f(x)=|x|在(0,+)上单调递减,所以 f(x)在(0,+)上为减函数,所以 D 不符合题意.4.(2023 昌平高三上期末 4)C不妨令 a=3,b=1,c=1,d=13,则ac=3,bd=3,所以 A,B 不正确;ad=9,bc=1,D 不正确,C 正确.5.A易知 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,所以 f(3)=f(1),f(0),因为 f(x)在(,2)上是增函数,所以 f(1)f(1)=f(3).故选 A.6.C当 1 6 x 6 2 时

8、,令 3 x2=1,则 x=2,而 2 1,2,故舍去;当 2 0,解得 m 1 且 m,0.因为 x1+x2=m+2m,x1x2=14,所以1x1+1x2=x1+x2x1x2=m+2m14=4m,所以 m=2 或 1.因为 m 1,所以m=2.8.D因为 m,n 是方程 x2 2x+a=0 的两根,所以 m+n=2,mn=a 0,所以 m 0,n 0,且北京一零一中 2023-2024 学年度第一学期期中考试高一数学参考答案第 1 页（共 4 页）#QQABYYAAogiAQBJAAAhCQwViCAGQkAECCCoOwAAAMAABwRNABAA=#1m+4n=12(m+n)(1m+4n

9、)=12(5+nm+4mn)92,当且仅当 n=43,m=23时取等号,所以1m+4n的最小值为92.9.B取 a1=b1=1,a2=b2=1,则可得 M=(,1),N=(1,+),M,N,因此不是充分条件,而由 M=N,显然可以得到a1a2=b1b2,所以是必要条件.10.(2021 朝阳高二下期末 9)A令 f(x)=x2 2kx+3k2 3k+1=0,记 =(2k)2 4(3k2 3k+1)=4(2k 1)(k 1),因为 f(x)为开口向上的二次函数,所以对任意 k,总存在 x 使得 f(x)0,故正确错误;因为当 k (,12)(1,+)时,=4(2k 1)(k 1)0 恒成立,故正

10、确;因为当 k 12,1 时,=4(2k 1)(k 1)0,所以方程 x2 2kx+3k2 3k+1=0 有一根或两根,所以对任意 x,f(x)0 不恒成立,故错误;故答案为:A.11.a 1 的任何一个数.12.916.13.2.14.2.若 x=1,则 g(1)=3,fg(1)=f(3)=1,gf(1)=g(1)=3,此时 fg(x)gf(x)不成立;若 x=2,则 fg(2)=f(2)=3,gf(2)=g(3)=1,此时 fg(x)gf(x)成立;若x=3,则 fg(3)=f(1)=1,gf(3)=g(1)=3,此时 fg(x)gf(x)不成立.故不等式fg(x)gf(x)的解集为 2.

11、15.(194,414).16.(1)否;(2)a=1.17.(1)1,0,1,2,3;(2)(,3 2,12.北京一零一中 2023-2024 学年度第一学期期中考试高一数学参考答案第 2 页（共 4 页）#QQABYYAAogiAQBJAAAhCQwViCAGQkAECCCoOwAAAMAABwRNABAA=#18.(1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,解得 m=1,此时 f(x)=xx2+1为奇函数,符合题意.所以 m=1.(2)由(1)知 f(x)=xx2+1,任取 1 6 x1 x2,f(x1)f(x2)=x1x21+1x2x22+1=x1(x22+1)x

12、2(x21+1)(x21+1)(x22+1)=(x1x22 x2x21)+(x1 x2)(x21+1)(x22+1)=(x1 x2)(1 x1x2)(x21+1)(x22+1).因为 1 6 x1 x2,所以 x1 x2 1,1 x1x2 0,所以 f(x1)f(x2),所以 f(x)在 1,+)上单调递减.(3)因为 a2 a+3=(a 12)2+114 1,且 f(5)=526,由(2)可得 a2 a+3 5,解得 a 2.所以 a 的取值范围是(,1)(2,+).19.(1)a=1,b=2.(2)原不等式可化为 ax2+(a 3)x 3 0,即(ax 3)(x+1)0,当 a=0 时,原

13、不等式的解集为 x|x 0 时,3a 1,则原不等式的解集为 x|x 3a或 x 1;当 3 a 0 时,3a 1,原不等式的解集为 x|3a x 1;当 a=3 时,3a=1,则原不等式的解集为;当 a 1,则原不等式的解集为 x|1 x 0 时,原不等式的解集为 x|x 3a或 x 1;当 3 a 0 时,原不等式的解集为 x|3a x 1;当 a=3 时,原不等式的解集为;当 a 3 时,原不等式的解集为 x|1 x 3a;当 a=0 时,原不等式的解集为 x|x 2,则 a2+2a 3 4+2a 3 a.于是集合 A 中存在一连串可以无限递增的元素,这与 A 为有限集矛盾.如果 a A

14、,且 a 6 4,则 a2+2a 3=(a+1)2 4 9 4=5.于是集合 A 中存在一个大于等于 2 的元素,由上个情况可知,这与 A 为有限集矛盾.如果 1 A,则(1)2+2(1)3=4 A,而由上个情况可知 4 A,矛盾.故 1 A.综上所述,A 3,2,0,1.(3)借助第(2)问的结论,可知 B=A 1 2,1,1,2,并且 A=B2(4)3,0.因为 A 为非空集合,所以 3 与 0 之间至少有一个属于 A.若 3 A,有 3+1=2 B,从而(2)2 4=0 A.同样地,若 0 A,得 0+1=1 B,从而 12 4=3 A.因此 A=3,0,B=2,1.根据二次函数的性质可知 f(x)=(x a)(x b)在 x=a+b2时取最小值.即 f(x)min=f(a+b2)=(a+b2 a)(a+b2 b)=b a2a b2=(a b)24.要使 f(x)min尽可能小,则|a b|必须尽可能大.因此当 a=3,b=1 时,f(x)的最小值最小,为 4.北京一零一中 2023-2024 学年度第一学期期中考试高一数学参考答案第 4 页（共 4 页）#QQABYYAAogiAQBJAAAhCQwViCAGQkAECCCoOwAAAMAABwRNABAA=#