2023年中考数学一轮复习模拟汇编第四讲图形的性质(二).docx

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1、第四讲 图形的性质（二）一、平行线的性质（共1小题）1（2022雨花台区校级模拟）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若155，则2的度数为 二、全等三角形的判定与性质（共2小题）2（2022玄武区二模）如图，在ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，CD是O的切线，C为切点，且CDCB，连接AD，与O交于点E（1）求证ADAB；（2）若AE5，BC6，求O的半径3（2022建邺区二模）如图，点D在线段AB上，ABBCCD，AECDBE与CD相交于点F，ABEBCD（1）求证：BECD；（2）若BCD20，求ADE的度数三、线段垂直平分线的性质（共1小题）4（2022鼓楼区校级二模）如图

2、，在ABC中，AHBC，垂足为H，且BHCH，E为BA延长线上一点，过点E作EFBC，分别交BC，AC于F，M（1）求证BC；（2）若AB5，AH3，AE2，求MF的长四、等腰三角形的性质（共1小题）5（2022建邺区二模）如图，已知等腰ABC一腰上的中线BD把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边BC的长五、勾股定理的逆定理（共1小题）6（2022鼓楼区一模）在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为A（2，0），B（8，0），C（0，4）用两种方法证明ACB90（写出必要的推理过程）六、三角形综合题（共2小题）7（2022鼓楼区二模）藏宝地之谜从前，一个年轻人

3、在他先祖的遗物中发现了一张记录着藏宝地的羊皮纸，上面写着：某荒岛上有一株橡树A和一株松树B，还有一座木桩P，从木桩P走到橡树A，记住所走的步数，到了橡树A向左拐个直角再走这么多步，在这里打个桩，记为C从木桩P再朝松树B走去，记住所走的步数，到了松树B向右拐个直角再走这么多步，在这里也打个桩，记为D桩C，D的正当中就是宝藏的位置Q根据指示，这个年轻人找到了荒岛上的橡树和松树，但可惜木桩已腐烂成土，一点痕迹也看不出了他只能乱挖起来，但是地方太大了，一切只是徒劳，他只好抱憾而归聪明的读者，你有办法找到宝藏吗？不妨任取一个位置作为P，根据材料画出如图（1）以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以A

4、B的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系不妨设点B的坐标为（10，0）若P的坐标为（6，10），则Q的坐标为 ；若P的坐标为（4，8），则Q的坐标为 ；（2）猜想当P在不同位置时，Q的位置是否随之变化（3）写出证明（2）中猜想的思路（4）将材料中两处“再走这么多步”同时改为 ，可使（2）中的猜想仍然成立8（2022秦淮区校级模拟）（1）如图，O为等边三角形ABC内一点，OA3，OB4，OC5求AOB的度数（提示：可将AOB绕点A旋转到APC）（2）在图中，用尺规作等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三个圆上（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）（3）如图，直线abc怎样找到等边三角形ABC，

5、使点A，B，C分别落在三条直线上？用尺规作出该三角形（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）七、平行四边形的判定与性质（共1小题）9（2022玄武区一模）在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接BF，DE，M，N分别是BF，DE的中点，连接EM，FN（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若AB12，EMEN5，则四边形ABCD的面积为 八、菱形的性质（共2小题）10（2022建邺区二模）如图，菱形ABCD的对角线AC4cm，把它沿对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为 11（2022建邺区一模）如图，在菱形ABCD中，E、F

6、分别是BC、DC的中点（1）求证：AEFAFE；（2）若菱形ABCD的面积为8，则AEF的面积为 九、菱形的判定（共3小题）12（2022秦淮区二模）如图，DE是ABC的中位线，延长DE至点F，使EFDE，连接AF，CF，AD（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；（2）要使四边形ADCF是菱形，ABC的边需要满足的条件是 13（2022秦淮区一模）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知ABEADF（1）若ADBC，求证：四边形ABCD是菱形；（2）以下条件：BADBCD；ABCD；BCCD如果用其中的一个替换（1）中的“ADBC”，也可以证明四边形ABC

7、D是菱形，那么可以选择的条件是 （填写满足要求的所有条件的序号）14（2022南京一模）如图，在ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H（1）证明：四边形EHFG是平行四边形；（2）当ABCD具备怎样的条件时，四边形EHFG是菱形？请直接写出条件，无需说明理由一十矩形的性质（共1小题）15（2022南京一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AECF直线EF分别交BA，DC的延长线于点G，H（1）求证：四边形BHDG是平行四边形；（2）若AB4，BC8，当AE的长为 时，四边形BHDG是菱形一十一、矩形的判定（共2小题）16（20

8、22玄武区二模）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F（1）求证EFEC；（2）连接AC，DF，若AC平分FCB，求证：四边形ACDF为矩形17（2022秦淮区校级模拟）如图，D，E分别是ABC的边AB，AC的中点，CFAB，CF与DE的延长线相交于点F，连接AF、CD（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？为什么？一十二、正方形的判定（共1小题）18（2022南京二模）如图，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BECD交AC于点E，连接DE（1）求证：四边形

9、BCDE为菱形；（2）若AB5，E为AC的中点，当BC的长为 时，四边形BCDE为正方形一十三、四边形综合题（共3小题）19（2022建邺区一模）如图，在四边形ABCD中，ABAD5，BCCD5，B90点M在边AD上，AM2，点N是边BC上一动点以MN为斜边作RtMNP，若点P在四边形ABCD的边上，则称点P是线段MN的“勾股点”（1）如图，线段MN的中点O到BC的距离是 A B C3 D2（2）如图，当AP2时，求BN的长度（3）是否存在点N，使线段MN恰好有两个“勾股点”？若存在，请直接写出BN的长度或取值范围；若不存在，请说明理由20（2022鼓楼区一模）一道作图题：“求作一个ABCD，

10、使得点A与边BC的中点E的连线平分BAD”小明的思考：在不明确如何入手的时候，可以先把图描出来，接着倒过来想它有什么性质例如，假设ABCD即为所求作，则ADBC，DAEBEA又AE平分BAD，BAEDAEBAEBEABABE（）E是边BC的中点，再倒过来，只要作出的ABCD满足BCBA即可（1）填空： （填推理依据）； （2）参考小明的思考方式，用直尺和圆规作一个ABCD，使得点A与边BC的中点E的连线与对角线BD垂直；（要求：保留作图的痕迹，无需写出文字说明）（3）问题（2）所作的ABCD中的BC和BA是否也有和（1）类似的数量关系？设BCkBA（k是常数），若k是定值，直接写出k的值；若不

11、是，试直接写出k的取值范围21（2022建邺区二模）在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从点M（1，0）出发，沿以A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，1）四点为顶点的正方形的边（如图1）按一定方向运动（1个单位长度代表1米）图2是点P运动的路程s（米）与运动时间t（秒）之间的函数图，图3是点P的纵坐标y与点P运动的路程s之间的函数图象的一部分（1）s与t之间的函数表达式是 ；（2）与图3相对应的点P的运动路径是 ，点P出发 秒首次到达点B；（3）直接写出当3s8时，y与s之间的函数表达式，并在图3中补全函数图象一十四、圆心角、弧、弦的关系（共1小题）22（2022玄武区一模）如

12、图，在ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的O与AB，BC，AC分别交于点F，D，G，且D是的中点（1）求证ABAC；（2）连接DF，当DFAC时，若AB10，BC12，求CE的长一十五、圆周角定理（共2小题）23（2022建邺区二模）如图，在扇形OAB中，AOB90，C为OA的中点，点D在上，且CDOB，则ABD 24（2022秦淮区二模）如图，A，B是O上的两点，点C在O内，点D在O外，AD，BD分别交O于点E，F求证ACBADB一十六、三角形的外接圆与外心（共2小题）25（2022建邺区一模）如图，在ABC中，CACB，D是ABC外接圆O上一点，连接CD，过点B作BECD，交AD的延

13、长线于点E，交O于点F（1）求证：四边形DEFC是平行四边形；（2）如图，若AB为O直径，AB7，BF1，求CD的长26（2022鼓楼区一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，B60，经过点A，C，D的圆与BC相交于点E，连接AE（1）求证：ABE是等边三角形（2）F是上一点，且FAFC，连接EF求证：EFBC一十七、直线与圆的位置关系（共2小题）27（2022鼓楼区校级二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”例如：下图中的P（1，3）是“垂距点”（1）在点A（2，2），B（，），C（1，5）中，是“垂距点”的点

14、为 ；（2）求函数y2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；（3）T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r若T上存在“垂距点”，则r的取值范围是 28（2022鼓楼区校级二模）如图，AB为O直径，C为O上一点，点D是的中点，DEAC于E，DFAB于F（1）判断DE与O的位置关系，并证明你的结论；（2）若OF4，求AC的长度一十八、切线的判定与性质（共5小题）29（2022建邺区二模）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作O，交CB于点F，点E在CD上，且CECF，连接AE（1）求证：AE是O的切线；（2）连接AC交O于点P，若AP，BF1，求O的半径30（2022南京一模）如图，在矩形ABCD中

15、，E为AD的中点，EBC的外接圆O分别交AB，CD于点M，N（1）求证：AD与O相切；（2）若DN1，AD4，求O的半径r31（2022秦淮区一模）如图，ABC内接于O，AB是直径，直线l过点C，ADl，交O于点F，垂足为D，BEl，垂足为E，且（1）求证：l与O相切；（2）当AD4cm，BE1.5cm时，O的半径为 cm32（2022南京一模）如图，在ABC中，ABCACB，以AB为直径的O交BC于点D，点P在BC的延长线上，且BAC2P（1）求证：直线AP是O的切线；（2）若BC12，tanP，求O的半径长及tanPAC的值33（2022雨花台区校级模拟）如图，在RtABC中，C90，BD

16、平分ABC，与AC交于点D，DEDB，垂足为D，与AB交于点E，经过B，D，E三点的O与BC交于点F（1）求证AC是O的切线；（2）若BC3，AC4，求O的半径一十九、三角形的内切圆与内心（共1小题）34（2022鼓楼区二模）如图，ABC内接于O，BAC的平分线AF交O于点G，过G作DEBC分别交AB，AC的延长线于点D，E（1）求证：DE是O的切线；（2）已知AG8，点I为ABC的内心，求GI的长二十、圆的综合题（共6小题）35（2022南京二模）如图，在ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆D为BC延长线上一点，AD交O于点E，连接BE（1）求证：DABE；（2）若AB5，BC6求O的半径

17、r；的最大值为 36（2022秦淮区二模）【概念认识】与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第类圆【初步理解】（1）如图，四边形ABCD是矩形，O1和O2都与边AD相切，O2与边AB相切，O1和O3都经过点B，O3经过点D，3个圆都经过点C在这3个圆中，是矩形ABCD的第类圆的是 ，是矩形ABCD的第类圆的是 【计算求解】（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第类圆和第类圆的半径长【深入研究】（3）如图，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）

18、作它的1个第类圆；作它的1个第类圆37（2022南京一模）解决问题常常需要最近联想，迁移经验例如研究线段成比例时需要想到【积累经验】（1）如图，O是ABC的外接圆，AD是ABC的高，AE是O的直径求证（2）如图，已知线段a，b，c用两种不同的方法作线段d，使得线段a，b，c，d满足要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明【问题解决】（3）如图，已知线段a，bAB是O的弦在O上作点C，使得CACBab要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明38（2022玄武区一模）旋转的思考【探索发现】（1）已知ABC，将ABC绕点A逆时针旋转得到AB

19、C小美，小丽探索发现了下列结论小美的发现如图，连接对应点BB，CC，则小丽的发现如图，以A为圆心，BC边上的高AD为半径作A，则BC与A相切（）请证明小美所发现的结论（）如图，小丽过点A作ADBC，垂足为D证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格【问题解决】（2）在RtABC中，A90，AB，AC2，M是AC的中点，将ABC绕点M逆时针旋转得到ABC（）如图，当边BC恰好经过点C时，连接BB，则BB的长为 （）在旋转过程中，若边BC所在直线l恰好经过点B，请在图中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l（保留作图痕迹，不写作法）【拓展研究】（3）在（2）的条件下，如图，在旋转过程中，直线BB，C

20、C交于点P，则BP的最大值为 39（2022秦淮区一模）【数学概念】我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形例如，如图，四边形ABCD内接于M，且每条边均与P相切，切点分别为E，F，G，H，因此该四边形是双圆四边形【性质初探】（1）双圆四边形的对角的数量关系是 ，依据是 （2）直接写出双圆四边形的边的性质（用文字表述）（3）在图中，连接GE，HF，求证GEHF【揭示关系】（4）根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示【特例研究】（5）已知P，M分别是双圆四边形ABCD的内切圆和外接圆的圆心，若AB1，BC2，B90，则PM

21、的长为 40（2022建邺区二模）阅读下面材料：在学习圆这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：如图1，过圆外一点作圆的切线已知：P为O外一点求作：经过点P的O的切线小敏的作法如下：如图2，（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；（2）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交O于A，B两点；（3）作直线PA，PB所以直线PA，PB就是所求作的切线老师认为小敏的作法正确请回答：（1）连接OA，OB后，可证OAPOBP90，其依据是 ；（2）如果O的半径等于3，点P到切点的距离为4，求点A与点B之间的距离二十一、作图复杂作图（共6小题）41（2022鼓楼区校级二模）尺规作

22、图：如图，已知正方形ABCD，在边CD上求作一点P，使PBC15（保留作图痕迹，不写作法）42（2022建邺区二模）尺规作图：如图，已知AB是O的直径用两种不同的方法作圆的内接四边形ABCD，要求ABCD且A60（不写作法，保留作图痕迹）43（2022玄武区二模）已知ABC，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图中，BC所在直线的下方求作一点M，使得BMCA；（2）在图中，BC所在直线的下方求作一点N，使得BNC2A44（2022鼓楼区二模）尺规作图：如图，在ABCD的边AD上求作点P，使P分别满足以下要求：（1）BPCP；（2）BPAP+BC45（2022建邺

23、区一模）尺规作图：如图，已知ABC，ABAC，作矩形MNPQ，使得点M、N分别在边AB、AC上，点P、Q在边BC上，且MN2MQ（不写作法，保留作图痕迹）46（2022秦淮区一模）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）（1）ABC的底边长为a，底边上的高为h；（2）ABC的腰长为a，腰上的高为h二十二作图应用与设计作图（共2小题）47（2022南京二模）ABC是一块三角形铁皮，如何按要求从中剪一个面积最大的圆？【初步认识】（1）请用无刻度直尺和圆规在图中作出面积最大的圆（不写作法，保留作图痕迹）【继续探索】（2）若三角形铁皮上

24、有一破损的孔点D（孔径大小忽略不计），要求剪一个面积最大的圆且圆面无破损，请用无刻度直尺和圆规在图中作出满足要求的圆（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）【问题解决】（3）如图，若ABAC10，BC12，E、F分别是AB、AC的中点，破损的孔点D位于EF上（孔径大小忽略不计）设DEx，剪出面积最大的圆（圆面无破损）的半径为r，直接写出x和r的关系式及对应x的取值范围48（2022秦淮区一模）图是2022年北京冬季奥运会自由式滑雪大跳台和单板滑雪大跳台的比赛场馆，别名“雪飞天”我们画出一个与它类似的示意图，其中出发区EF、起跳区CD都与地面AB平行助滑坡DE与着陆坡AC的长度之和为80m已知EF到

25、AB的距离是CD到AB的距离的3倍，A30，M为CD延长线上一点，EDM37求EF到AB的距离（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）第四讲 图形的性质（2）参考答案与试题解析一、平行线的性质（共1小题）1（2022雨花台区校级模拟）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若155，则2的度数为35【分析】根据平角等于180求出3，再根据两直线平行，同位角相等可得2+903【解答】解：如图：3180118055125，直尺两边互相平行，2+903，21259035故答案为：35二、全等三角形的判定与性质（共2小题）2（2022玄武区二模）如图，在ABC中，AB

26、AC，O是ABC的外接圆，CD是O的切线，C为切点，且CDCB，连接AD，与O交于点E（1）求证ADAB；（2）若AE5，BC6，求O的半径【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得BACB，再利用弦切角定理可得ACDB，从而可得ACDACB，然后证明ACBACD，利用全等三角形的性质即可解答；（2）连接OB，OC，CE，连接AO并延长交BC于点F，利用（1）的结论可得CABCAD，从而可得BCCECD6，然后利用等腰三角形的性质可得CEDACDD，从而证明DECDCA，利用相似三角形的性质可求出DE的长，再利用线段垂直平分线的逆定理可得AF是BC的垂直平分线，从而在RtAFC中，利用勾股定理求出

27、AF的长，最后在RtOFC中，利用勾股定理进行计算即可解答【解答】（1）证明：ABAC，BACB，CD是O的切线，C为切点，ACDB，ACDACB，BCBD，ACAC，ACBACD（SAS），ABAD；（2）连接OB，OC，CE，连接AO并延长交BC于点F，ACBACD，CABCAD，BCCE，BCCD6，CECD6，DCED，ABAC，ABAD，ADAC，ACDD，CEDACD，DECDCA，DE4或DE9（舍去），ADAE+DE9，ABACAD9，ABAC，OBOC，AF是BC的垂直平分线，AFBC，BFCFBC3，AF6，设O的半径为r，在RtOFC中，OF2+CF2OC2，（6r）2+

28、32r2，r，O的半径为3（2022建邺区二模）如图，点D在线段AB上，ABBCCD，AECDBE与CD相交于点F，ABEBCD（1）求证：BECD；（2）若BCD20，求ADE的度数【分析】（1）根据BAEDBC，ABBC，ABEBCD，即可得到ABEBCD，进而得到BECD；（2）连接EC，判定BCE是等边三角形，即可得到BCEC，BCE60，进而得到CDEDEC70，再根据ADE180BDCCDE进行计算即可【解答】解；：（1）点D在AB上，BCCD，DBCBDC，AECD，BAEBDC，BAEDBC，又ABBC，ABEBCD，ABEBCD（ASA），BECD；（2）如图，连接EC，由（

29、1）可得BECD，ABBCCD，ABBCCDBE，BCD20，ABEBCD，DBCBDC80，EBCDBCABE60，BCE是等边三角形，BCEC，BCE60，CDCE，DCEBCEBCD40，CDEDEC70，ADE180BDCCDE30三、线段垂直平分线的性质（共1小题）4（2022鼓楼区校级二模）如图，在ABC中，AHBC，垂足为H，且BHCH，E为BA延长线上一点，过点E作EFBC，分别交BC，AC于F，M（1）求证BC；（2）若AB5，AH3，AE2，求MF的长【分析】（1）利用线段垂直平分线的判定与性质可证明结论；（2）证明CMFCAH，列比例式计算可求解【解答】（1）证明：AHB

30、C，垂足为H，且BHCH，AH是BC的垂直平分线ABACBC；（2）解：AHBC，ABAC，BAHCAHAHBC，EFBC，AHBEFB90AHEFBAHE，CAHAMEEAMEAMAE2ABAC5，CMACCM3AHEF，CMFCAHMF四、等腰三角形的性质（共1小题）5（2022建邺区二模）如图，已知等腰ABC一腰上的中线BD把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边BC的长【分析】如图，ABAC，BD为腰AC上的中线，设ADDCx，BCy，根据三角形周长得或，然后分别解方程组后求出三角形的三边，最后利用三角形三边的关系确定三角形的底边长【解答】解：ABAC，B

31、D为腰AC上的中线，设ADDCx，BCy，根据题意得或，解得或，当x4，y17时，等腰三角形的三边为8，8，17，显然不符合三角形的三边关系，舍去；当x7，y5时，等腰三角形的三边为14，14，5，答：这个等腰三角形的底边BC长是5五、勾股定理的逆定理（共1小题）6（2022鼓楼区一模）在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为A（2，0），B（8，0），C（0，4）用两种方法证明ACB90（写出必要的推理过程）【分析】方法一：根据勾股定理分别求出AC2，BC2，AB2，再利用勾股定理的逆定理证明即可；方法二：先证明AOCCOB，根据相似三角形的性质得出OACOCB，再由直角三角形两锐角互余即

32、可证明ACB90【解答】证明一：A（2，0），B（8，0），C（0，4），AC222+4220，BC282+4280，AB2102100，AB2AC2+BC2，ABC是直角三角形，且ACB90；证明二：A（2，0），B（8，0），C（0，4），OA2，OC4，OB8，在AOC与COB中，AOCCOB，OACOCB，OAC+OCA90，OCB+OCA90，即ACB90六、三角形综合题（共2小题）7（2022鼓楼区二模）藏宝地之谜从前，一个年轻人在他先祖的遗物中发现了一张记录着藏宝地的羊皮纸，上面写着：某荒岛上有一株橡树A和一株松树B，还有一座木桩P，从木桩P走到橡树A，记住所走的步数，到了橡树A

33、向左拐个直角再走这么多步，在这里打个桩，记为C从木桩P再朝松树B走去，记住所走的步数，到了松树B向右拐个直角再走这么多步，在这里也打个桩，记为D桩C，D的正当中就是宝藏的位置Q根据指示，这个年轻人找到了荒岛上的橡树和松树，但可惜木桩已腐烂成土，一点痕迹也看不出了他只能乱挖起来，但是地方太大了，一切只是徒劳，他只好抱憾而归聪明的读者，你有办法找到宝藏吗？不妨任取一个位置作为P，根据材料画出如图（1）以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系不妨设点B的坐标为（10，0）若P的坐标为（6，10），则Q的坐标为 （0，10）；若P的坐标为（4，8），则Q的坐

34、标为 （0，10）；（2）猜想当P在不同位置时，Q的位置是否随之变化（3）写出证明（2）中猜想的思路（4）将材料中两处“再走这么多步”同时改为 再走这么多步，可使（2）中的猜想仍然成立【分析】（1）如图1，作辅助线，构建三角形全等，证明AEPCOA（AAS）和PEBBOD，可得结论；如图2，过点P作PFAB于F，过点C作CGAB于G，过点D作DEAB于E，同理可得结论；（2）猜想：当P在不同位置时，Q的位置不变；（3）如图3，设点B的坐标为（m，0），A（m，0），P（x，y），同理根据两三角形全等可得结论；（4）将材料中两处“再走这么多步”同时改为再走这么多步，可使（2）中的猜想仍然成立同理

35、设点B的坐标为（m，0），A（m，0），P（x，y），证明AFPCGA，BFPDEB，可得结论：当P在不同位置时，Q的位置不变【解答】解：（1）如图1，过点P作PEAB于E，PACPAE+CAO90，PAEAPE90，APECAO，APAC，AEPAOC90，AEPCOA（AAS），COAE10+616，同理得PEBBOD（AAS），ODBE1064，CD16412，Q是CD的中点，Q（0，10）；故答案为：（0，10）；如图2，过点P作PFAB于F，过点C作CGAB于G，过点D作DEAB于E，同得AFPCGA，BFPDEB，CGAF1046，AGPF8，DEBF10+414，BEPF8，C（

36、2，6），D（2，14），Q是CD的中点，Q（0，10）；故答案为：（0，10）；（2）猜想：当P在不同位置时，Q的位置不变；（3）如图3，以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系设点B的坐标为（m，0），A（m，0），P（x，y），过点P作PFAB于F，过点C作CGAB于G，过点D作DEAB于E，同得AFPCGA，BFPDEB，CGAFx+m，AGPFy，DEBFmx，BEPFy，C（ym，xm），D（my，xm），Q是CD的中点，Q（0，m）；当P在不同位置时，Q的位置不变；（4）将材料中两处“再走这么多步”同时改为再走这么多步，可使（2）中的猜

37、想仍然成立理由如下：如图4，以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系设点B的坐标为（m，0），A（m，0），P（x，y），过点P作PFAB于F，过点C作CGAB于G，过点D作DEAB于E，同得AFPCGA，BFPDEB，相似比为2，CGAFx+m，AGPFy，DEBFmx，BEPFy，C（ym，xm），D（my，xm），Q是CD的中点，Q（0，m）；当P在不同位置时，Q的位置不变；故答案为：再走这么多步8（2022秦淮区校级模拟）（1）如图，O为等边三角形ABC内一点，OA3，OB4，OC5求AOB的度数（提示：可将AOB绕点A旋转到APC）（2）在

38、图中，用尺规作等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三个圆上（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）（3）如图，直线abc怎样找到等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三条直线上？用尺规作出该三角形（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）【分析】（1）将ABO绕点A逆时针旋转60，此时AB正好与AC重合，得到ACP，连接OP，得AOP为等边三角形，OPC为直角三角形，从而得出答案；（2）根据（1）中图形，可得画法：在最小的圆上取一点A，然后以点A为圆心，OA为半径画弧，与小圆交于点P，再以P为圆心，中间的圆的半径长为半径画弧，与最大的圆交于一点B，连接AB，以B为圆心，AB长为半径画弧，与中间

39、的圆交于一点C，连接BC，AC，则ABC为所求三角形，（3）在直线a上任意取一点A，过点A作ADb于点D，以点A为圆心，AD的长为半径画圆，以D为圆心，AD为半径画弧，交A于一点P，过点P作PBCB，交直线c于点B，连接AB，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交直线b于点C，连接AC，BC，可得ABC【解答】解：（1）如图，将ABO绕点A逆时针旋转60，此时AB正好与AC重合，得到ACP，连接OP，根据旋转的性质可知，AOAP，OAP60，CPOB4，AOP为等边三角形，OPOA3，APO60，OP2+PC232+4252OC2，OPC为直角三角形，OPC90，APCAPO+OPC60+90150，AOBAPC150；（2）在最小的圆上取一点A，然后以点A为圆心，OA为半径画弧，与小圆交于点P，再以P为圆心，中间的圆的半径长为半径画弧，与最大的圆交于一点B，连接AB，以B为圆心，AB长为半径画弧，与中间的圆交于一点C，连接BC，AC，则ABC为所求三角形，如图所示，（3）在直线a上任意取一点A，过点A作ADb于点D，以点A为圆心，AD的长为半径画圆，以D为圆心，AD为半径画弧，交A于一点P，过点P作PBCB，交直线c于点B，连接AB，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交直线b于点C，连接AC，BC，则ABC即为所求七、平行四边形的判定与性质（共1小题）9（2022玄武