2024届高三上学期10月大联考(全国乙卷)文科数学试题含答案.pdf

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1、绝密绝密启用前启用前2024 届高三届高三 10 月大联考（全国乙卷）月大联考（全国乙卷）文科数学文科数学本卷满分本卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名答卷前，考生务必将自己的姓名 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，如需改动，用橡皮擦干净后用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号再选涂其他答案标号.回答非选择题时回答非选择题时，将答

2、案写在答题卡上将答案写在答题卡上.写在本试卷上无写在本试卷上无效效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一一 选择题选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符只有一项是符合题目要求的合题目要求的.1.已知集合215,1,1,3AxxB Z，则AB中元素的个数为（）A.3B.4C.5D.62.已知命题2000:0,pxxx，则命题p的否定为（）A.20000,xxxB.20,xxx C.20,xxx D.20,xxx 3.若不等式2510 xax 的解集为

3、1,aa，则a（）A.12B.12C.14D.144.若函数 e,3ln2,3xx xf xxx，则2eff（）A.-1B.-2C.1D.ln225.已知54:1,:log2(033apaqa且1)a，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.函数 242log2xf xxx的大致图象是（）A.B.C.D.7.白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓，经过长期研究，一种全生物可降解塑料（简称 PBAT）逐渐被应用于超市购物袋外卖包装盒等产品.研究表明，在微生物的作用下，PBAT 最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大

4、自然，当其分解率（100%已分解质量分解率总质量）超过60%时，就会成为对环境无害的物质.为研究总质量为100g的 PBAT 的已分解质量y（单位：g）与时间x（单位：月）之间的关系，某研究所人员每隔 1 个月测量 1 次 PBAT 的已分解质量，对通过实验获取的数据做计算处理，研究得出已分解质量y与时间x的函数关系式为4.6 0.1100exy.据此研究结果可以推测，总质量为100g的 PBAT 被分解为对环境无害的物质的时间至少为（）（参考数据：ln403.7）A.8 个月B.9 个月C.10 个月D.11 个月8.已知,0,2，且17coscoscossinsinsin,sin cos5

5、10，则sin（）A.45B.35C.25D.3109.已知O是ABC所在平面内一点，若0,OAOBOCAMxAB ANyAC MOON x y 均为正数，则xy的最小值为（）A.12B.49C.1D.4310.若函数 sin0,0,2f xAxA的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数为（）2；6；fx在5,26上单调递减；32f.A.1B.2C.3D.411.已知函数 fx是偶函数，当0 x 时，2log1f xx，则不等式 102xfxf x的解集是（）A.11,00,22B.2,11,2C.112,0,22D.11,2,00,1,222 12.已知函数 2cos(1)xxf xaaxx

6、a，则11e2,e,fff的大小关系为（）A.11ee2fff.B.11e2efffC.11e2efffD.11ee2fff二二 填空题填空题：本题共：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知向量1,2,2,abx，若ab，则实数x _.14.请写出一个满足对任意的12,0,x x；都有1212f x xf xf x的函数_.15.海岛算经是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.如图，把塔底与塔顶分别看作点 C，D，CD 与地面垂直，小李先在地面上

7、选取点 A，B（点,A B在建筑物的同一侧，且点,A B C D位于同一个平面内），测得20 3mAB，在点A处测得点,C D的仰角分别为30,67，在点B处测得点D的仰角为33.5，则塔高CD为_m.（参考数据：3sin375）16.已知函数 ln2f xxaxx在定义域上单调递增，则实数a的取值范围为_.三三 解答题解答题：共：共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.（10 分）已知向量sincos,1,2cos,1axxbx，函数 f xa b，将函数 fx的图象向右平移6个单位长度，得到函数 g x的图象.（1）求函数 fx的最

8、小正周期和单调递增区间；（2）解方程 0g x.18.（12 分）如图，在平行四边形ABCD中，13AMAD，令,ABa ACb.（1）用,a b表示,AM BM CM ；（2）若2ABAM，且10AC BM ，求cos,a b.19.（12 分）某公园池塘里浮萍的面积y（单位：2m）与时间t（单位：月）的关系如下表所示：时间/t月1234浮萍的面积2/my35917现有以下三种函数模型可供选择：yktb，typ aq，logaymtn，其中,k b p q m n a均为常数，0a 且1a.（1）直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出y关于t的函数解析式；（2）若该公园池塘里浮萍的面积蔓

9、延到22215m,31m,211m所经过的时间分别为123,t t t，写出一种123,t t t满足的等量关系式，并说明理由.20.（12 分）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，且_.在1 cossin3cCAa；sinsinsinsinACABbcabac两个条件中任选一个，填入上面横线处，并解决下列问题.（1）求C；（2）若ABC外接圆的半径为2 3,ABC的面积为3，求ABC的周长.注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.21.（12 分）已知函数 2e1xf xaxx.（1）当1a 时，求曲线 yf x在1x 处的切线方程；（2）若 0f x 有两个不

10、等的实根，求实数a的取值范围.22.（12 分）已知函数 ln4,f xxa xaR.（1）讨论函数 fx的单调性；（2）当1a 时，令 2 exF xxf x，若0 xx为 F x的极大值点，证明：001F x.2024 届高三届高三 10 月大联考（全国乙卷）月大联考（全国乙卷）文科数学文科数学全解全析及评分标准全解全析及评分标准一一 选择题选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符只有一项是符合题目要求的合题目要求的.123456789101112BDACBDCABCDB1.B【解析】因为

11、 221541,0,1,1,1,3AxxxxB ZZ，所以1,0,1,3AB，有 4 个元素，故选 B.2.D【解析】根据特称命题的否定为全称命题，知命题“20000,xxx”的否定是“20,xxx”，故选 D.3.A【解析】因为不等式2510 xax 的解集为1,aa，所以15aaa，解得12a .又1aa，所以1a 或0a，所以12a （12a 不满足题意，舍去），当12a 时，2(5)40a，故选 A.4.C【解析】因为2e3，所以22elne20f，所以 20e0e01fff，故选 C.5.B【解析】对于q，若4log23a，则24loglog3aaa.当01a时，243a，无解.当1

12、a 时，243a，得2 313a，即不等式4log23a的解集为2 31,3.因为2 31,351,3，所以p是q的必要不充分条件，故选 B.6.D【解析】方法一：由题意，知函数 242log2xf xxx的定义域为2,2，关于原点对称，且 242()log2xfxxf xx ，所以函数 f x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C；当0,2x时，212xx，即42log02xx，因此 0f x，故排除 A.故选 D.方法二：由方法一，知函数 f x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C；又 211log 302f，所以排除 A.故选 D.7.C【解析】令4.6 0.1100e60 x

13、y，得0.14.6ln400.9x，解得9x，故至少需要 10 个月，总质量为100g的 PBAT 才会被分解为对环境无害的物质.故选 C.8.A【解析】因为1coscoscossinsinsin5，所以11 cos5，所以4cos5.因为,0,2，所以02，所以3sin5，所以3sin coscos sin5.又7sin cos10，所以1cos sin10，所以714sinsin coscos sin10105.故选 A.9.B【解析】因为0OAOBOC ，所以点O是ABC的重心，所以211323AOABACABAC .因为,AMxAB ANyAC ，所以11,ABAM ACANxy ，所

14、以1133AOAMANxy.因为MOON，所以,M O N三点共线，所以11133xy，即113xy.因为,x y均为正数，所以1112xyxy，所以132xy，所以49xy（当且仅当1132xy，即23xy时取等号），所以xy的最小值为49.故选 B.10.C【解析】由题图，得2A，最小正周期54126T.又2T，所以2，故正确；2sin 2f xx，又 f x的图象过点5,212，所以522,122kk Z，所以2,3kkZ.又2，所以3，故错误；2sin 23f xx，令23tx，当526x时，2433t，函数sinyt在24,33上单调递减，故正确；2sin323f，故正确.故选 C.

15、11.D【解析】根据题意，作出函数 yf x的图象，如图所示.因为函数 yf x是偶函数，所以 fxf x.由 102xfxf x，得 10 xf x，所以 10 xf x，所以 100f xxf x，所以 100 xf x 或 100 xf x，观察图象，得12x或102x或102x或2x ，故选 D.12.B【解析】易知 2cos(1)xxf xaaxx a是偶函数，ln2sinxxfxaaaxx，当0 x 时，因为1a，所以ln0,0 xxaaa.令 2sin,0 xxx x，则 2cos0 xx，所以 x单调递增，所以 00 x，所以 0,fxf x在0,上单调递增.构造函数 lnxg

16、 xx，则 21 lnxgxx.令 0gx，得0ex，令 0gx，得ex，所以 g x在区间0,e上单调递增，在区间e,上单调递减.又ln2ln424，所以 4eggg，所以ln2ln4lnlne24e，所以111e22e，所以111ee2eeffff，即11e2efff.故选B.二二 填空题填空题：本题共：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.1【解析】因为ab，所以1 220 x，解得1x.故填 1.14.12f xx（答案不唯一）【解析】任意定义域为0,的幂函数均可，例如 12f xx，111122221212121212,f x xx xf xf x

17、xxx x，即1212f x xf xf x成立.故可填 12f xx.15.24【解析】如图，延长DC与BA的延长线交于点E，则67,30,33.5DAECAEDBA，所以33.5ADB，所以20 3ADAB.在ACD中，37,120CADACD，由正弦定理，得320 3sin37524sin12032ADCD.故填 24.16.1,【解析】ln2f xxaxx的定义域为0,，由 ln2f xxaxx在定义域上单调递增，得 ln10afxxx 在0,上恒成立，即lnaxx x在0,上恒成立.设 ln(0)g xxx x x，所以只需 max(),lnag xgxx，当01x时，0gx，当1x

18、 时，0gx，所以 g x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，所以 max()11g xg，所以1a，所以实数a的取值范围为1,.故填1,.三三 解答题解答题：共：共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.（10 分）【解析】（1）由已知，得 f xa b2cossincos1xxxsin2cos2xx2sin 24x所以函数 f x的最小正周期222T.由222,242kxkk Z，解得3,88kxkkZ，所以函数 f x的单调递增区间为3,88kkkZ.（2）将函数 f x的图象向右平移6个单位长度，得到函数 2sin 22sin

19、26412g xxx的图象.令 2sin 2012g xx，得2,12xkkZ，解得,224kxkZ，所以方程 0g x 的解集为,224kx xkZ.18.（12 分）【解析】（1）因为,ABa ACb，所以BCACABba ，所以11,33AMBCba 所以114333BMAMABbaaba ，所以14123333CMBMBCbabaab .（2）方法一：由（1）知114,333AMbaBMba .又,10,2ACb AC BMABAM ，所以14110,2,2333bbabaa，即222430,236ba bbaa b，解得1,34a bb，所以34cos,68a ba ba b.方法二

20、：因为1,23AMAD AM，所以6AD，所以6BC.因为22121333AC BMBCBABABCBABA BCBC ，且10AC BM ，所以222126 2 cos61033ABC ，解得1cos4ABC，所以 2212 6214a bBABCBABA BCBA .又22,()34abBCBA ，所以34cos,68a ba ba b.19.（12 分）【解析】（1）应选择函数模型typ aq.依题意，得12335,9paqpaqpaq 解得12,1paq所以y关于t的函数解析式为21ty.（2）1231ttt.理由：依题意，得3122115,2131,21211ttt ，所以31221

21、4,230,2210ttt，所以1222420,tt所以33121212224202 22tttttt，所以1231ttt.20.（12 分）【解析】（1）若选：由1 cossin3cCAa及正弦定理，得sin sin3sin1 cosCAAC.sin0,sin3cos3ACC，3sin32C.又40,333CC，2,333CC.若选：由sinsinsinsinACABbcabac，得sinsinsinsinaAcCbAbB.由正弦定理，得222abcab.由余弦定理，得2221cos222abcabCabab.因为0,C，所以3C.（2）设ABC外接圆的半径为R，由正弦定理，得2 sin2

22、2 3sin63cRC.又113sin3222ABCSabCab，所以4ab.由222212cos()222cababCababab，可得236()12ab，解得4 3ab，所以ABC的周长为4 36abc.21.（12 分）【解析】（1）当1a 时，2e1,e21xxf xxxfxx，1e 1,1e 1,ff所以曲线 yf x在1x 处的切线方程为e 1e 11yx，即e 10 xy.（2）显然 00f，要使方程 0f x 有两个不等的实根，只需当0 x 时，0f x 有且仅有一个实根，当0 x 时，由方程 0f x，得2e1xxax.令 2e10 xxg xxx，则直线ya与 2e10 x

23、xg xxx的图象有且仅有一个交点.243e12e12e1xxxxxxxgxxx.又当0 x 时，0,gxg x单调递减，当02x时，0,gxg x单调递减，当2x 时，0,gxg x单调递增，所以当2x 时，g x取得极小值 2e124g，又当0 x 时，e1x，所以e10 xx，即 0g x，当0 x 时，e1,e10 xxx，即 0g x，所以作出 g x的大致图象如图所示.由图象，知要使直线ya与 2e10 xxg xxx的图象有且仅有一个交点，只需0a 或2e14a.综上，若 0f x 有两个不等的实根，则a的取值范围为2e1,04.22.（12 分）【解析】（1）函数 f x的定义

24、域为 0,1axafxxx，当0a 时，0fx，函数 f x在0,上单调递增；当0a 时，由 0fx，得xa，由 0fx，得0 xa，所以，函数 f x在,a上单调递增，在0,a上单调递减.综上，当0a 时，函数 f x在0,上单调递增；当0a 时，函数 f x在,a上单调递增，在0,a上单调递减.（2）当1a 时，112 eln4,1 e11exxxF xxxxFxxxxx，设 1exg xx，则 21exgxx，当0 x 时，0gx，所以 g x在0,上单调递增，又 1e20,1e 102gg，所以存在01,12x，使得00g x，所以当00 xx时，0Fx，当01xx时，0Fx，当1x 时，0Fx，所以 F x在00,x上单调递增，在0,1x上单调递减，在1,上单调递增，所以当0 xx时，F x取得极大值，且001e0 xx，所以00001e,lnxxxx，00000000000212 eln4452xxF xxxxxxxxx.因为01,12x，所以001F x.