2021年上海市浦东新区华师大附中高考数学模拟试卷.pdf

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1、2021年上海市浦东新区华师大附中高考数学模拟试卷（4 月份）一、填 空 题（共 12小题）.1 .已 知（2+i）Z =p O 2 l （i为虚数单位），则.2 .若一个圆锥的轴截面是面积为如行的等边三角形，则 该 圆 锥 的 表 面 积 为.3 .若点P（2 0 2 1,力 在抛物线W=4 x上，点F为该抛物线的焦点，则P F的值为.4 .圆c：（x=1+c（e（0为参数）的圆心到直线/x7&+3t（，为参数）的距离l y=s in 6 l y=l-3 t为5 .附 表 耳）1 1展开式的二项式系数之和为3 2,则展开式中x的系数为（用数字填写答案）.6 .北京大兴国际机场的显著特点之一是

2、各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2 7 T与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面 体 在 每 个 顶 点 有3个 面 角，每 个 面 角 是，所以正四面体在各顶点的曲率为T T2 7 T-3 X-y =JT,故其总曲率为4m则 四 棱 锥 的 总 曲 率 为.7 .在数列%中，若对一切 eN*都 有 如=-3小+|,且 l im （a2+a4+a6+-+a2n）=9n-8 2则小的值为.8 .已

3、知函数y=a+c o s 3 X,xe-TT,TT（其中，a,3为常数，且3 0）有且仅有3个零点,则 3的 最 小 值 是.9 .关于x的不等式|x -2k+x-3 A|4 k共有2 0 2 1个整数解，则k的 取 值 范 围 为.1 0 .荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率为1 1 .已知A B C 的外接圆圆心为。，AB=6,1 4 c l=8,A O =a A B +P A C（C l,BER），若s in 2 A（ta+B总

4、）（，为实数）有最小值，则参数，的 取 值 范 围 是.1 2 .关于x的方程2c os2x-sin _r+=0在区间 0,乌口上恰好有两个不等实根，则实数。的6取值范围是.二、选 择 题（共4小题）.1 3 .已知全集U,M,N是U的非空子集，且Cu M N N,则 必 有（）A.MQQUN B.M?Cu N C.M=Q）N D.例U N1 4 .“?=2”是“直线 2x+，/y+l=0 与直线蛆+2），-1=0 平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件1 5.已知函数fG”-2互的反函数图象的对称中心是（-1，3）,则实数。的值是（）x-a-

5、lA.2 B.3 C.-3 D.-41 6.设0 V%a 0,若 三 个 数 亭，7 a2+b2-a b-，叫国能组成一个三角形的三条边长，则实数，的取值范围是（）A.1）B.（1,7 3）C.1 .,2 D.（,2）三、解答题1 7.如图在三棱锥P-A B C中，棱A B、A C、A P两两垂直，A 8=A C=A P=3,点M在A P上，且A M=1.（I）求 异 面 直 线 和P C所成的角的大小;（2）求三棱锥尸-B M C的体积.1 8 .若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x”在其定义域内都存在唯一的也，使f(x i)f(X 2)=1成立，则该函数为“依附函数”.(1)判断函数g

6、 (x)=sir u是否为“依附函数”，并说明理由;(2)若函数/(X)=2山在定义域 m,(m 0)上 依 附 函 数，求w r n的取值范围.1 9 .由于20 20年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老I日小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火,和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场 门 前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中/AP B=1 2 0。，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边

7、界出,P 8的距离分别为R S=4?，R T=6 w,(?为长度单位).陈某准备过点R修建一条长椅M N (点 仞，N分别落在P A,P B上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计)，以供购买冷饮的人休息.(I)求点P到点R的距离;(I I)为优化经营面积，当 等 于 多 少 时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值.2 2t-号1。0)a b组成，其 中 点F2为曲线G所在圆锥曲线的焦点，点凡为曲线C 2所在圆锥曲线的焦点.(1)若尸2 (2,0),尸3 (-6,0),求曲线r的方程;(2)如图，作斜率为正数的直线/平行于曲线C 2的渐近线，交曲线G于点A,B,求弦A B的中点M的轨迹方程：(

8、3)对 于(1)中的曲线，若直线八过点尸4交曲线C i于 点C,D,求 尸 面积的最大值.2 1.已知无穷数列 斯 满足：0=0,a+i=a+c(n GN CG R).对 任 意 正 整 数 心2,记M.=c|对任意记 1,2,3,，3|W2 ,M=c|对任意记N*,|W2 .(I )写出此，何3；(I I)当c 4时，求证：数列 斯 是递增数列，且存在正整数屋使得C 0 M I；4(1 1 1)求集合M.参考答案一、填 空 题（共12小题）.1 .己 知（2+/）z=r 2 i （i为虚数单位），则，=_ Y 5 _.5解：V（2+i）z=i2 O 2 l=i2 O 200i=b l i _

9、 i（2-i）2+i （2+i）（2-i）5 5 Y仔（+（得）2=故答案为：恒.52 .若一个圆锥的轴截面是面积为乞巧的等边三角形，则该圆锥的表面积为1 2T t.解：设等边三角形的边长为a,则等边三角形的面积为/x a 2 x s i n 6 0 =与如,解得。=4,所以该圆锥的底面圆半径为r=2,母线长为/=4,所以圆锥的表面积为 S=S S H+5 n j=TT,r2+Tirln X 22+n X 2 X 4 =1 2 n.故答案为：12TT.3 .若点P （2 0 2 1,r）在抛物线）a=4 x上，点F为该抛物线的焦点，则P F的 值 为2 0 2 2 .解：,抛物线方程为 4x,

10、可得2 P=4,-=1.二抛物线的焦点为尸（1,0）,准线为x=-l.根据抛物线的定义，可得点P（2 0 2 1,f）到尸的距离等于P到准线的距离，即|Pf=2 0 2 1-（-1）=2 0 2 2.故答案为：2 0 2 2.4.圆c卜=1+。即9为参数）的圆心到直线/x=-2&+3t a为参数）的距离为ly=s in 6 ly=l-3t2 .解：圆C：（Q为参数）即（X_ D 2+俨=,表 示 以a,o）为圆心、ly=s in 9以1为半径的圆.直线/：1x-2&+3t （为参数）化为普通方程为尤+2&=1 即x+y+2&-1=0.ly=l-3t圆心到直线/的距离为.+o+y-=2,V 2故

11、答案为2.5.（24+）n 展开式的二项式系数之和为3 2,则展开式中x的 系 数 为 80 （用数字填写答案）.解：由题意得2=32,所以=5,5-3r所以展开式的通项为1+=c g（2 G）5 _r（L）r=C g 25_ 1：x-令 号 1u l，得 r=1，所以展开式中x的系数为己2 1 =80，故答案为：80.6.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2 n 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于

12、该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面 体 在 每 个 顶 点 有 3 个 面 角，每 个 面 角 是，所以正四面体在各顶点的曲率为冗2 T T-3 X=J T,故其总曲率为4 n,则四棱锥的总曲率为4ir .解：由题意可知，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合，由图可知四棱锥有5 个顶点，5 个面，其中4 个三角形，1个四边形，所以四棱锥的表面内角和由4 个为三角形，1 个为四边形组成，所以面角和为4ir+2 n=6TT,故总曲率为5X2T T-67T=4TT.故答案为：4n.7.在数列 斯 中，若对一

13、切e N*都 有 小=-3加，且 lim (a2+a4+a6+-+a2n)=9n-8 2则a的值为-12 .解：在数列 m 中,若对一切 6N*都有。“=-3m+i,可得数列 小 为公比为-的等比数列，lim (a2+a4+a6+-+a2 n)=2；n-8 22 n 1可得 l i ma2(l-q)/一 ai q_”_gJ 3-8-2-1 2、2 -1 万，1-q N 1-Q 1-q 1 N1 9可得 a-12.故答案为：-12.8.已知函数产“+C 0 S 3X,xE -IT,IT(其中，a,3 为常数，且 3 0)有且仅有3 个零点,则 3 的 最 小 值 是 2 .解：,.,y=a+c

14、os 3X,A -IT,T T是偶函数，.若y=a+c os 3x,x e -n,n 有且仅有3 个零点，则必有一个零点是0,贝 iJ a+l=0,得 a=-l,由 y-l+C O S 3X=0 得 C O S 3X=I,V x G f -n,T t b .0)6 -C O T T,37t,设 t=UX,则 r e -3T T,3n I，作 出 尸 c os t 与)，=1 的图象如图：则 2 n W 3ir V 4n,得 2 W 34,即 3 的最小值是2,故答案为：2.八 尸9.关于x的不等式|x -2川+仅-3 k4k共 有2021个整数解，则k的 取 值 范 围 为505春 0,由|x

15、-2k|+|x-3*$2k 3 k*解绝对值不等式得萦 x?k，因为共有2021个整数解，所以2 0 2 0 5 k q k 4 2 0 2 2，解得 505k50&1,所以25吟14252|，故这2021个整数解只能为253,254,2273,所以2273淙2274,解得505k4505春；2 9 3所以k的取值范围是505-*505-.9 3故答案为：5054x母）2=亲若先按顺时针开始从A-C,则剩余3 次中有1次是按照顺时针，其余2 次按逆时针跳,则对应的概率为 X C；X y X故跳四次之后停在A叶上的概率为3福名.2 7 2 7 2 7故答案为：鸟.1 1.已知ABC 的外接圆圆心

16、为。，|AB|=6,|AC|=8,AO=Q AB+P AC(Cl,B E R)，若 s i n 2 A （t a+B4）（t为 实 数）有 最 小 值，则 参 数t的 取 值 范 围 是,3 3 _ 1 5 _ s解：取 A8中点M,则 0MLA8且平分A 8,二 品 瓦=2瓦 面=2|而|前cosNAMO=2 闷|2=2X32,同理可得，记.菽=2 X 42=32,由己知得：丽 瓦=3 6 a+4 8 B e。s A=1 2A O A C=4 8 a co s A+6 4 B =3 2_ 3-4 co s A6 s i n2 A_ 4-3 co s A8 s i n2A9 1s i n A，

17、(ta +B 彳)t(3-4 co s A)4-3 co s A s i n 2 A6 8 2-令2=COSA,贝IJ me(-1,1),根据二次函数的性质可知,故答案为：（手，-7 7-）.16 161 2.关于x 的方程2 co s 2 x-s i n x+a=0 在区间 0,工工|上恰好有两个不等实根，则实数。的0取 值 范 围 是（一-2）U （-2,1）.解：由题意，方程可变为a=-2 co s2x+s i n x,令t=siwc9由 ，可得 tE -1 .6 27 J T 1 当 联 E，时，怎-，0，此时，x与方对应.6 2由题意可得，关于f 的方程。=2 於+厂2,当怎-*，0

18、 应有2个实数根，即直线y=和函数y=2 及+L2,当士-0 应有2个交点.当 尸-工 时，y=2 F+L 2 有最小值-.当 尸-三 或。时，a=2t2+t-2=-2.4 8 2此时，应有（-技17，-2 .8但当。=-2时，/=-或 0,在区间 0,对应x=0或 n或 2 6 6关于x 的方程2 co s2x-s i r u+=O 在区间 0,0 上有3 个实数根，6故不满足条件，应舍去，故 4 E （-今，-2）.JT 当 X 6 （0,T T）,且 x H”-时，有 2个 X与一个f 值对应.故由题意可得，关于，的方程a=2 P+L 2,当 生（0,1）有一个实数根，即直线），=。和曲

19、线y=2 f 2+r-2 在（0,1）上有一个交点，如图所示：此时，a&（-2,1）.综上可得，实数。的 取 值 范 围 是（-与，-2）U （-2,1）,故 答 案 为（-寺17，-2）U （-2,1）.1 3 .已知全集U,M,N是U的非空子集，且C uM D N,则 必 有（）A.M U C uN B.M?C uN C.M=C uN D.M U N解：集合M,N的关系如图所示：则由图可得M U C uN,故选：A.14 .“?=2”是“直线 2x+，/y+l=0 与直线蛆+2），-1=0 平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件解：当，=0

20、时，两直线等价为2x+l=0,2y-l=0,此时两直线不平行，即“#0,当 机#0时，若两直线平行则满足2 丹 会 二:，m 2-1由上-4得 於=4,得m=2,m 2由力去7，得-2,2-1综上 7 =2,即“m=2”是 直 线2x+叼+1=0与直线?x+2y-1=0平行”的充要条件,故选：D.15 .已知函数6）=上 的 反 函 数 图 象 的 对 称 中 心 是（-1，3）,则实数a的值是（）x-a-1A.2 B.3 C.-3 D,-4解：函数f（x）=a-x 的反函数图象的对称中心是（-1,3），所以原函数的对称中心x-a-1为（3,-1）,函数化为f（x）=a-x=_ 1+,所以。+

21、1=3,所以a=2.x-a-1 x-a-1故选：A.16.设0V 6V a 0,若三个数 等，值彳J，”后能组成一个三角形的三条边长，则实数 1的取值范围是（）A.（2 1 4 1）B.（1,折 C.4 2 D.（,2）解：*0ba 09令 x=等，）=+b 2-a b，z=G=（啜2 -心。=以“。,.a+b/r2 2+b-ab，*.xy,，y,z能组成一个三角形的三条边长,可得 y -x zV x+y,即 为 吸2+b2_ ab-等同薪庐7+誓，设 0 0 a 4 b,可得 1 包 4,可令/=包,b b即有2力2+b（弛）2加V ab2V a2+b2-ab+（a+b）即为 2m%则2机W

22、 4,即m W 2；又设上=+走6（2,-|）,可得2，护犬，=2 1 2-3-鼠由=2八2-3-k的导数为y2k-V k2-3由2|可得2招-3,即函数y为增函数,可得 2V k2-3-42卷-3-|-=V i3-y-即有2根2-石-,即 有2 2 4可得电茎-旦2 4故选：C.三、解答题17.如图在三棱锥尸-A 8 C中，棱A B、A C、A尸两两垂直，A B=A C=A P=3,点M在4 P上，且A M=1.(1)求异面直线BM和P C所成的角的大小;(2)求三棱锥P-B M C的体积.解：（1）在4 c上取点N,使A N=2 4 C=1,连接MM BN,3；4 P=3,A M=1,J.

23、MN/PC,.N B M N或 其 补 角 即 为 异 面 直 线 和P C所成的角,在8 M N 中，M N=&,B N=4 ,2 2 2由余弦定理知，c o s ZB M N=BM_+MNBN2B M-M N22X10 XV2-W.，.Z B M N=arc c o s -,10异面直线B M和P C所成的角的大小为arc c o s返.10(2)y=V.ABC-yM-A8C=SBc CAP-AM)=!X=X 3X 3X 2=3,3 3 2故三棱锥P-B M C 的体积为3.18.若函数y=/(x)对定义域内的每一个值x”在其定义域内都存在唯一的X 2,使/()/(及)=1 成立，则该函数

24、为“依附函数”.(1)判断函数g(x)=sinx是否为“依附函数”，并说明理由；(2)若函数/(x)=2 山在定义域 小，川(n?0)上“依附函数”，求 加拉的取值范围.jr解：(1)对于函数g(x)=sinx的定义域R 内存在 =不，则 g(X2)=siiU 2=2,无解.故 g(x)=sinx不 是“依附函数”；(2)首先证明：当/(x)在定义域上制，网上单调递增，且 为“依赖函数”时，有了(m)f =1.假设/(机)f (n)W 1,则当 寸，存在 x=p(m,n),使得f m)/(p)=1,当 x=n 时，存在 x=q(m,)，(q W p),使得 f (n)f (q)=1,ff(n)

25、f(p)由于/(x)在定义域上 a网上单调递增，故，/、，所以 f ()f (q)f Gn)f (p)与 f (7)f (p)=f()f (q)=1 矛盾，故 f(m)f()=1 因为/(x)=2*i在 加，川递增，故/(加)f (n)=1,即 2112Tl=1,加+九=2,由机0,故枕=2-2机0,得 0V加V I,从而加=机(2-tn)在 mW (0,1 )上单调递增，故 相 吒(0,1).19.由于2020年 1 月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3 月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6 月 1 日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济

26、、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中N A P B=1 2 0 ,且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界P A,PB的距离分别为K S=4,，R T=6 m,(机为长度单位).陈某准备过点R修 建 一 条 长 椅(点 M,N分别落在P A,P 8 上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计)，以供购买冷饮的人休息.(I )求点尸到点R的距离；(I I)为优化经营面积，当 等 于 多 少 时，该三角形PMN区域面积最小？并求出面积的最小值.在R S T

27、 中，/S R T=1 8 0 -N APB=60,由余弦定理知，S r=R +R T1-2R S-R TcosZSR T=42+62-2 X 4X 6 c o s 6 0 =2 8,;.s r=2 行，ST2+RT-RS2.28+36-16 _ 2V72ST-RT 2X 27 X 6 7.,sinZP75=cosZST/?=-,7在尸S 7 中，由正弦定理知,SPSTsinZPTS sinZAPBSP=2小即=sinl20T连接 R P,在 R t Z S P R 中，P R R S2+SP2=42+（生 巨）32 1123故点P到点R的距离为2叵 九3(2)由正弦面积公式知，SAW W=|

28、PM|P7V|sinl20o=JiPMPN,2 4S 户 w N=S+&PR N=gpM IRSI+京 川 R 7=PM X 4+如 川 X6=2|PM|+3|P2V|,A 返|PM IPN=21PM+3|/W|2 2V6|PM|-|PN b4，|PM|PN!2128,当且仅当21PM=3|P N|,即|PM=8、/,时，等号成立，此时5小 犯=苧 月 小1尸川哼 乂 128=3273故当P M等于8 a H时，该三角形P M N区域面积最小，面积的最小值为32与2.2 2 2 220.己 知 心 b 0,如图，曲线由曲线G：三+y-l(y 0)a b a b组成，其中点Q,尸 2为曲线Ci所

29、在圆锥曲线的焦点，点 B,及 为曲线C2所在圆锥曲线的焦点.(1)若尸2(2,0),F3(-6,0),求曲线的方程；(2)如图，作斜率为正数的直线/平行于曲线C2的渐近线，交曲线Ci于点A,B,求弦A 8的中点M 的轨迹方程；(3)对 于(1)中的曲线，若直线人过点居交曲线Ci于 点 C,D,求CDFi面积的最大值.解：(1)由题意得22(2,0),尸 3(-6,0),纪.a2+b2=36 _/af a2=20所以 c ，解得 c，La2-b2=4 lb2=162 2 2 2则曲线的方程为：去在1(4 0)和 徐-白1。0)ZUJLb ZUJLb(2)由题意曲线C2的渐近线为：y=也 设 直

30、线 1：y=(x-m).y=(x-m)a由0,解得：飞历am&a，又由数形结合知am 设点A (xi,yi),B(也，yz),M(xo,yo)，2 2 F则汨+尤2 =机，X1X2=m r)，：t y所以X。琮，了。二 4+所以兀二-4 乂 口，即点M 在射线y=上 x,x J:t)上.软 a N N2 2(3)由(1)得，曲线Cj 弥噎=l(y 0),x=ny+6由 0=2 1,48 n 6 4设 C （总，户），D（X 4,3），所以 了 3+y4-29 y3y4=-215 +4n 5 +4n所 以 I 丫 3 -y 4 1 可 羯+丫。Ay 3y 4=1-兆.当 工所以 C F|面积 S

31、 lF iF zl 3-丫4 i Mx gX 1岖 -1=6函 0,所以 2=P+i,所以o6 47 5 1 _ 6 47 5 1 6 7 55=3+9当且仅当t-i，即n X 3号时取等号，所以 s n面 积 的 最大值为里.2 2 32 1.已知无穷数列斯满足：a i=0,an+l=a+c(ne N*.c e R).对 任 意 正 整 数 心 2,记M =c|对任意记1，2,3,|四|W 2,M=c|对任意 ie N*,0|W 2.(I )写出 M 2,M 3：(I I )当 c 4 时，求证：数列“是递增数列，且存在正整数鼠使得cC M i；4(I ll)求集合M.【解答】(I )解：根

32、据题意可得，%=-2,2 ,例3=-2,1 ；(n)证明：当 c 4时，对 任 意 N*,都 有4a n+L a/a%5&不 凡4)2+T c 0，所以斯+1 a”,所以数列“是递增数列，因为an+l=(an+l-an)+(an-an_i)+“+(a 2-a)+a i (T)+(c)+“+(c-)，所以 a n+i n(c-，4 n0=m in t N|t y ,则 an0+l(c-)/Y(c)=2，所 以 晚1%+1，所以存在正整数k=o+l,使得cCMk；(/)解：由题意得，对任意 N,都有且MUM,.由(H)可得，当c4时，存在正整数左，使得摩欣，所以cCM,4所以若CE M,则C 4

33、1，又因为 MGM3=-2,1,所以若cGM,则-2,所以若 ceM,则-2 c ，即MG-2,-1.下面证明-2,4 1当0 4 c 4 时，对任意“6N*，都有知20.下证对任意eN*,a y )则非空集合S存在最小数so.因为0 4 a广所以so2.因为 S0-lnotC S,所以 0 4 asQ _ i/.所以 a$=a：-i+cV+cq ，与 a$矛盾.so so 1 4 2 so 2所以对任意 N*,0 an y-所以当0 4 c 4 时，|a”|W2.当-2|c|.令集合T=keN*|a|c|,则非空集合T存在最小数Z o.因为42=C,所以=匕|,所以方2.因为 t|j-lnotET,所以 I at。-1|4|c|.a=a：+c c2+cc,所以 l a%K|c|,与|a%llc|矛盾.所以当-2 cV0 时，|a“|W|c|W2.所以当c -2,时，对任意eN*,都有3 W2.所以 ceM,即-2,5 GM.因为M G-2,=,且-2,-M,4 4所以M=c|-24c .