数学一轮复习第十章计数原理随机变量及其概率分布10.4离散型随机变量及其概率分布均值与方差课件.pptx

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1、10.4离散型随机变量及其概率分布、均值与方差基础落实回扣基础知识训练基础题目题型突破典题深度剖析重点多维探究课时精练内容索引INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.离散型随机变量的概率分布(1)随着试验结果变化而 叫做随机变量，常用字母X，Y，表示，所有取值可以 的随机变量叫做离散型随机变量.(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则称表知识梳理Xx1x2xixnPp1p2pipn变化的变量一一列出为离散型随机变量X的 .概率分布表(3)离散型随机变量的概率分布的性质：；.离散型随机变量在某一范围内

2、取值的概率等于它取这个范围内各个值的_ .2.两点分布如果随机变量X的概率分布表为p1p2pipn1pi0，i1,2，n概率之和X01P1pp其中0p1，则称离散型随机变量X服从 .两点分布则称E(X)x1p1x2p2xnpn为X的 或 .(2)离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的 水平.(3)均值的性质E(c)c，E(aXb)(a，b，c为常数).3.均值(1)若离散型随机变量X的概率分布为均值Xx1x2xnPp1p2pn数学期望平均aE(X)b4.方差(1)若离散型随机变量X所有可能的取值是x1，x2，xn，且这些值的概率分别是p1，p2，pn，则称：V(X)(x1)2p1(x2

3、)2p2(xn)2pn为X的 .(2)，叫标准差.(3)方差的性质a，b为常数，则V(aXb).方差a2V(X)5.超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(MN)件次品.从中任取n(nN)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(Xr)(r0,1,2，l).即其中lmin(M，n)，且nN，MN，n，M，NN*.如果一个随机变量X的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)离散型随机变量的概率分布描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.()(2)离散型随机变量的概率分布中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(

4、3)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.()基础自测题组一思考辨析2.设随机变量X的概率分布如下：题组二教材改编则p为设Y2X3，则E(Y)的值为A.B.4 C.1 D.13.已知X的概率分布为4.有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是_.解析因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3.0,1,2,3题组三易错自纠5.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为

5、随机变量的是A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球C.取到白球的个数D.取到的球的个数解析选项A，B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.6.(多选)设离散型随机变量X的概率分布为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y2X1，则下列结果正确的有A.q0.1 B.E(X)2，V(X)1.4C.E(X)2，V(X)1.8 D.E(Y)5，V(Y)7.2解析因为q0.40.10.20.21，所以q0.1，故A正确；又E(X)00.110.420.130.240.22，V(X)(0 2)20.1(1 2)20.4(2 2)

6、20.1(3 2)20.2(42)20.21.8，故C正确；因为Y2X1，所以E(Y)2E(X)15，V(Y)4V(X)7.2，故D正确.故选ACD.7.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X4)的值为_.解析由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，典题深度剖析重点多维探究题型突破概率分布的求法题型一师生共研例1甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为 记甲同学三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的概率分布.解随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.随

7、机变量X的概率分布为求离散型随机变量X的概率分布的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能取值.(2)求X取每个值的概率.(3)写出X的概率分布.求离散型随机变量的概率分布的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.思维升华SI WEI SHENG HUA跟踪训练1在一次购物抽奖活动中，假设某10张劵中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；解该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率(2)

8、该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布.解依题意可知，X的所有可能取值为0,10,20,50,60，所以X的概率分布为例2某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为 和 ；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.均值与方差题型二师生共研解若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的

9、概率分布为若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的概率分布为E(X1)E(X2)，V(X1)V(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布，然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值.(3)由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断.思维升华SI WEI SHENG HUA解两人

10、所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，则两人所付费用相同的概率为(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的概率分布与均值E()，方差V().解的所有可能取值为0,40,80,120,160，则所以的概率分布为超几何分布题型三师生共研例3PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作

11、为样本，监测值的频数分布如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)75,85频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；解记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，(2)从这10天的数据中任取3天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的概率分布.解由条件知，服从超几何分布，其中N10，M3，n3，且随机变量的可能取值为0,1,2,3.故的概率分布为(1)超几何分布的两个特点超几何分布是不放回抽样问题.随机变

12、量为抽到的某类个体的个数.(2)超几何分布的应用条件两类不同的物品(或人、事).已知各类对象的个数.从中抽取若干个个体.思维升华SI WEI SHENG HUA跟踪训练3某项大型赛事需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，在8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X，求X的概率分布及均值.解因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X的分布列服从参数N8，M3，n3的超几何分布.所以X的概率分布为课 时 精 练X101P0.30.40.3C.基础保分练1.下列表中能成为随机变量X的概率分布的是123456789 10 1

13、1 12 13 14 15 16A.B.D.X101P0.30.40.4X123P0.40.70.1X0.10.10.7P0.30.40.52.(2020福州模拟)若离散型随机变量X的概率分布为123456789 10 11 12 1315 16则X的均值E(X)等于143.设随机变量X的概率分布为123456789 10 11 12 1315 16则P(|X3|1)等于14123456789 10 11 12 1315 1614则E(5X4)等于A.15 B.11 C.2.2 D.2.3解析E(X)10.420.340.32.2，E(5X4)5E(X)411415.123456789 10

14、11 12 1315 164.随机变量X的概率分布为X124P0.40.30.314则当P(Xa)0.8时，实数a的取值范围是A.(，2 B.1,2C.(1,2 D.(1,2)5.若随机变量X的概率分布为解析由随机变量X的概率分布知，P(X1)0.1，P(X0)0.3，P(X1)0.5，P(X2)0.8，则当P(X0，当X(400,600时，f(X)g(X)(1 8004X)(2 1004X)300g(Y)，故X(400,600时，f(X)3 720元，故小王应选择做饿了么外卖配送员.123456789 10 11 12 1315 1614则当a在(0,1)内增大时，A.V(X)增大B.V(X

15、)减小C.V(X)先增大后减小D.V(X)先减小后增大15.(2019浙江)设0a1.随机变量X的概率分布是拓展冲刺练123456789 10 11 12 1315 1614所以当a在(0,1)内增大时，V(X)先减小后增大.123456789 10 11 12 1315 161416.(2019全国)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈

16、只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的概率分布；123456789 10 11 12 1315 1614123456789 10 11 12 1315 16解X的所有可能取值为1,0,1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1).所以X的概率分布为X101P(1)(1)(1)(1)14(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋

17、予4分，pi(i0,1，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)，其中aP(X1)，bP(X0)，cP(X1).假设0.5，0.8.证明：pi1pi(i0,1,2，7)为等比数列；123456789 10 11 12 1315 16证明由(1)得a0.4，b0.5，c0.1.因此pi0.4pi10.5pi0.1pi1，故0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即pi1pi4(pipi1).又因为p1p0p10，所以pi1pi(i0,1,2，7)为公比为4，首项为p1的等比数列.14求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.解由可得p8p8p7p7p6p1p0p0123456789 10 11 12 1315 16p4表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4 0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.142023/10/2468谢谢观赏勤能补拙，学有成就！