2021-2022学年湖南省怀化市高三（上）一轮诊断数学试卷（附答案详解）.pdf

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1、2021-2022学年湖南省怀化市高三（上）一轮诊断数学试卷一、单 选 题（本大题共8 小题，共 40.0分）1.设集合A=x|-2 x 2 ,B=x x 一 1B.xx 2C.x|-1 x b”是“ac2 bc2 n的必要不充分条件B.“a b 是 d 0,0,0 p 兀)的部分图图象如图所示，若 将 函 数 的 图 象 纵 坐标不变，横坐标缩短到原来的：，再向右平移 个单位长度，得到函数g。)的图象，则下列命题正确的是()A.函数f(x)的解析式为/(x)=2sin(|x+)Z oB.函数g(x)的解析式为g(x)=2s讥(2工一C.直线 =是函数f(x)图象的一条对称轴D.函数g(x)在

2、区间 兀,须上单调递增1 1.若实数a 1,则l o g a G b 2B.(|)6 (|)a 0,则 工 里1+a 1+bD.若m a,b e (1,3),则-%3)-7 n(合一块)+a -b W 01 2.已知正方体4 B C D-4 i B i G i 的棱长为2,M为 的 中点，N为正方形4 B C D所在平面内一动点，则下列命题正确的有（）A.若M N =2,则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为7 1B.若N到直线B B i 与直线D C 的距离相等，则N的轨迹为抛物线C.若/N与4 8 所成的角 为 枭 则N的轨迹为双曲线D.若MN与平面4 B C D 所成的角为a 则N的轨迹为

3、椭圆三、单 空 题（本大题共4小题，共 2 0.0分）1 3 .已知e 为自然数，则函数/（）=1+Z n x -e 的零点为.1 4 .某公司生产了一批小零件，其综合质量指标值X 服从正态分布N（50,2 2）,现从中随机抽取该小零件2 000个，估计综合质量指标值位于（4 8,54 的 零 件 个 数 为.附：若 X 0）,则PQ t -aXfj.+u）0.6 83,P（-2 o X k)0.100.050.010k2.7063.8416.63520.如图，在四棱锥中P-A B CD,底面4BCD是等腰梯形，A B/CD,A C 与B D 交点、为0,且P。1 B D,PA =PB.(1)

4、证明：2。1平面4 8。；(2)若4C _ L BD旦40=2OC=6,PO=3,则在线段PC上是否存在一点E,使得二面角P-E的余弦值为鬻，若存在,求出点E的位置；若不存在，请说明理由.21.阿基米德(公元前287年一公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家,也是著名的数学家，他 利 用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率兀等于椭圆的长半2 2轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆C：a+左=l(a b 0)的面积等于2兀，且椭圆C的焦距为2 g.(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P(4,0)是x轴上的定点，直线I与椭圆C交于不同的两点4、B,已知4 关于y轴的 对 称 点

5、为 8 点关于原点的对称点为N,已知P、N三点共线，试探究直线I是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.第6页，共20页2 2.已知函数/(%)=+b%a,a 0.(1)讨论函数/(%)的单调性；(2)当b=-泄，求使f(x)0在区间 0,+8)上恒成立的a的所有值.答案和解析1 .【答案】c【解析】解：集合4 =%|-2 x 2 ,B =xx 1 ,则4 n (CRB)=x|-1 x -1 ,再利用交集定义求出A n (CRB).本题考查集合的运算，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2 .【答案】B【解析】解：(a2-a -2)+(a

6、+l)i 是纯虚数,产-2 =o,=2.l a +1 于 0故 选:B.根据已知条件，结合纯虚数的概念，即可求解.本题主要考查纯虚数的概念，属于基础题.3.【答案】B【解析】解：根据题意,向量五=(1,2),b=(0,2)，c =(2,l),则五 一4 至=(1,2-2 2),若(五一/1万)乙 则有2(2 2 4)=1,解可得：八 不故 选:B.根据题意，求出方-;I 方的坐标，进而可得2(2-2 4)=1,解可得答案.本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标，属于基础题.第8页，共20页4 .【答案】A【解析】解：因为2 s i n l 0 -cos350+sin25=2sinl00co

7、s35+s i n(35-10 )=2 s i n l 0 c o s 35+s i n 35c o s l 0 cos35sinl00=s 讥 35%o s l 0。+c o s 35s i 0。=s 讥 4 5 =多故选：A.把2 5。写成35。-10。，然后利用正弦的差角公式以及正弦的和角公式化简即可求解.本题考查了两角和与差的三角函数，考查了学生的运算能力，属于基础题.5.【答案】D【解析】解：函数的定义域为 x|x H 0 ,/(-%)=(-x)2-l l n|-x=(%2-l)l n|x|=/(x),则/(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，排除4由/。)=。，得 =1，当0 xl时

8、，l n|x|0,x2-1 0,排除B,C,故选：D.判断函数的奇偶性和对称性，利用当0 x 0,进行判断即可.本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键，是中档题.6 .【答案】C【解析】解：国庆节假期，甲、乙、丙 去 旅 游 的 概 率 分 别%入假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段假期内至多1人去旅游的概率为：P =X(1 _；)X(1 _ 1)+(1-1)x；X(1 _+(1-1)X(1 _；)x|+(1-i)(l -令H故选：C.利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出这段假期内至多1人去旅游的概率.本题考查概率的运算，考

9、查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.7.【答案】D【解析】解：数列内,a2.。5。4的“超越数”为2020,S+S2+S504=504 X 2020,则数列5,%,。2,Q504的“超越数”5+(5+S)+(5+S2)+(5+S504)_ 5x505+504x2020505 5055+504x4=2021,故选：D.数列出,a2,Q504的“超越数”为2020,可得S1+S2+$504=504 x 2 0 2 0,代入数列5,%,。2,，。5。4的“超越数”=5+（5+&）+（5：；）+”（5+SS1即可得出结论.本题考查了数列求和、新定义，

10、考查了推理能力与计算能力，属于中档题.8.【答案】B【解析】解：设a 0.618,.矩形ABC。，EBCF,FGHC,FGJI,LGJK,MN/K均为黄金矩形，BC=ax,CF=a2x,FG=a3x,G=a4xf JK=a5x,KM=a6x,由题意可知，上：X 解得28.571 x 31.414.12故选：B.根据已知条件，可得|BC|=Q X,|CF|=小不，|FG|=a3%,GJ=a4%,JK=a5%,KM=a6x,再结合题意可得，上;即可求解.lazx b c2,可得到a b,反之，不成立，故 A 正确;对于B：由 工 b 0或a 0 b,故 B错误；a b第10页，共20页对于C：若“

11、aePnQ，则“aep”，是充分条件，反之不成立，故C正确；对于D：比如：x=1,y=V 2,则x y =应，充分性不成立，反之，若x y =2,则x,y可能都是加，必要性不成立，故 或y为有理数”是“x y为有理数”的既不充分又不必要条件，故。正确；故选：A CD.根据充分必要条件的定义分别判断即可.本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是基础题.1 0.【答案】A B D【解析】解：根据函数的图象，得到力=2,由于g=n,所以3 =j4 2当 =0时，/（0）=2sin（p,由于0 cp 1且QVb,ogaab=logaa+ogab=1+logab 1+logaa=2,故 A 正确，对于

12、B,当a =-l时，(|)a C)a，故B错误，对于C,v a 0,.去 一 =一言撩产 0,即 七 三，故c正确，1+a 1+b(l+a)(l+b)1+a 1+b对于。，设g(x)=1x3 mx2+X,则g(X)=x2-2mx+1,4=4m2 4 0,令9(%)=0,解 得=m Vm2 1,x2=m+Vm2 1,V m,3*%1 3,二函数g(x)在(1,3)上单调递减，9(a)-g(b)0,(a3-63)-m(a2 h2)+a b 0,故 错误.故选：AC.对于4结合对数函数的公式，即可求解，对于B,结合特殊值法，即可求解，对于C,结合作差法，即可求解，对于。，利用导数研究函数的单调性，即

13、可求解.本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及不等式的性质，属于中档题.12.【答案】BC第 1 2 页，共 2 0 页在平面4BCD内，点N到定点B的距离与到定直线DC的距离相等，所以点N的轨迹就是以B为焦点，0C为准线的抛物线，故 B 正确；对于C,如图，建立空间直角坐标系，设N(x,y,O),印;=-2)，荏=(。,2,。)，3 6 0。=器=缶*,y 2 42化简得3y2 一/=4,即F -3所以N的轨迹为双曲线，故 C 正确；对于D,MN与平面4BCD所成的角为4M N D,所以4MND=g,则=所以点N的轨迹为以。为圆心，出为半径的:的圆周，故。错误.3 3 4故选：BC.A,

14、由题意可得MN中点的轨迹为以MD中点为圆心，更为半径且平行于平面4BCD的;圆2 4周，计算可判断选项A：B,由BBi_L平面ABCD,可得N8即为N到直线BB1的距离，由抛物线的定义即可判断选项B；C,建立空间直角坐标系，设N(x,y,O),由。iN与 所 成 的 角 为 可 得 点 N的轨迹方程，从而判断选项C；D,由MN与平面ABCD所成的角为NMND,计算可得DN为定值，可判断点N的轨迹为以。为圆心，CN为半径的:的圆周，从而判断选项D.4本题主要考查命题真假的判断，立体几何与解析几何的综合，抓住解析几何几种特殊曲线的定义是解题的关键，属于难题.13.【答案】1【解析】解：根据题意，函

15、数/(x)=ex+ln x-e,若/(x)-ex+Inx e=0,解可得x=1,即函数的零点为1,故答案为：L根据题意，解/。)=1+6=0可得%的值，即可得答案.本题考查函数零点的计算，涉及函数零点的定义，属于基础题.14.【答案】1637【解析】解：:X 服从正态分布N(50,22),故正态曲线的对称轴为X=50,P(50-2 X 5 0 +2)=P(48 X W 52)=0.683,P(50-4 X 5 0 +4)=P(46 X 54)=0.9 54,P(48 X 54)=0.683+：6 8 3 =0 8 1 8 5；则综合质量指标值位于(48,54)的零件个数为0.8185 x 20

16、00=1637个.故答案为：1637.利用正态分布的对称性以及正态曲线的性质求出P(48 X 0),则/=今 又5=0.5,所以d=p,所 以 呜/鸣一0P直 线 的 斜 率 卜=另=所 以 tan?=：,3 2 32 8zi 2tan0 2x7 24所 以 血 加=强=一 亍，9所以馈源方向角。的正切值一段.第14页，共20页故答案为：-g.根据题意，设抛物线的方程，且d =，求得A 和B 点坐标，因此即可求得B F 的斜率，即t a n|=利用二倍角公式即可求得馈源方向角。的正切值.本题考查抛物线的方程及性质，抛物线的应用，直线的斜率公式及二倍角公式的应用,主要考查学生的阅读材料的能力，考

17、查转化思想，属于中档题.16.【答案】阮 缙 兀【解析】解：如图，设球的半径为r,则A 8 =B C=2r=2 V L得 r -V 2 )所以球。的表面积为S =4 兀/=4T T x 2 =8?r；作O H 1 02P于H,因为。1。2 圆柱的底面，所以3。2 1 A B,因为P 为圆柱底面圆弧C D 的中点，所以A P =B P,又。2 为A B 中点，所以0 2 P _ L 4 B,又 0 1。2 n PO2=。2,所以Z B 1 平面。1。2 ，所以4 B J.O H,又OH 1 O2PS.AB n PO2=o2,所以OH 1 平面4 B P,因为。1。2 =2 r =2 /2,0P=

18、V 2。1。2 J-OXP,所以 0 2 P =+O i p 2 =V 8 T 2 =V 1 0.所以s i n ”2 P =籍=磊=1，所以。=O O zS i n/。1 0 2 P =&x?=?.平面P 4 B 与球。的交线为一个圆，其半径七V r2-OH2=12_/=噜则圆周长沏=2 a 2 =2 兀x字=字m故 答 案 沏 8 兀,坐.设球的半径为r,根据球与圆柱相切的位置关系进行求解即可.本题主要考查球的表面积和周长的计算，根据球与圆柱相切的条件建立方程求出球的半径是解决本题的关键，是中档题.17.【答案】解：(1)设等差数列 an的公差为d,V a3=4,a5+a8=15.%+2d

19、=4,2Q I 4-lid =15,解得出=2,d=1.A an=2 4-(n 1)=n 4-1.(2)cn=anx2 an=(n+1)-2n+1,则7；=2-22+3-23+.+n-2n+(n+1)-2n+1,2Tn=2-23+.+(n-l)-2n+n-2n+1+(n+1)-2n+2,-Tn=8+23+24+.+2n+1-(n+1)-2n+2=-n-2n+2.Tn=n-2n+2.【解析】设等差数列%的公差为d,由=4,+。8=15.可得的+2d=4,2al+lid =1 5,解出即可得出.(2)利用错位相减法即可得出.本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能

20、力与计算能力，属于中档题.18.【答案】解：(I)因为VacosB=bsinA,所以乃sin4 cosB=sinBsinA1因为s讥/1 H 0,所以 tanB=V3因为B e(0.7r),所以8=最(II)因为cosA=F，sinA=V1 cos2/l=?可得sin2A=2sinAcosA=cos2A=2COS2A 1=-9所以sin(24.Bc、)=si.n 2nA.cosBD cos2o A.st.n BD =2 V 1 4 x 1 ,5、xv yb =2 V 1 4+5 V 3.(Ill)因为B=g,b=2,c=2a,由 余 弦 定 理=a2+c2 laccosB,可得4=a2+c2-

21、ac=a2+4a2-2a2=3a2,解得a=2.3第16页，共20页【解析】(I)利用正弦定理化简已知等式，结合s i zM KO,利用同角三角函数基本关系式可求t an B的值，结合范围B e 可求B的值.(I I)利用同角三角函数基本关系式可求s讥4的值，利用二倍角公式可求s in 2 4 c o s 2 4的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解.(I E)由已知利用余弦定理即可求解a的值.本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的正弦公式，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题.1 9.【答案】解：(1)根据题中所给数据，男生射击环数的平均数为=2x(8 +9

22、 +7 +8 +6)=8,女生射击环数的平均数为反=x(1 0 +9 +8 +8 +8)=8,男生射击环数的方差为琅=2x (8 -8/+(9 8)2+(6-8)2 =2,女生射击环数的方差为s 2=2x (1 0 -8)2+(9 -8/+(8 -8)2 =故男生射击环数的平均数为8,方差为2,女生射击环数的平均数为8,方差为去二 没有9 0%的把握认为“成绩优异”与性别有关.(2)2 X 2列联表如下：男牛.女生总计成绩优异437成绩不优异671 3总计1 01 02 0.=2黑蕊小 0.2 1 9 8 一，所以，6A+9 3 A c =%2 =九=-2 九 Z 2 =2 2 +3 =S =

23、加 TE=0 百&+而 Z 2 =(尢 一 2 尢 2 4 +3),若这样的点E 存在,则 焉=I 3心+黑”+3尸 B 3 M +4 2。=。n 4=2,%=-额 舍去),所以存在符合题意的点E,E 为线段P C 上靠近点P 的三等分点.【解析】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题.(1)只须证明P。垂直于相交直线。4 与O B 即可；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值，列方程求解.ab=22 1.【答案】解：(1)根据题意有卜c =2 V 3 ,U2=a2-b2解得Q=2,b=l,c=V 3,所以椭圆C 的标准方程为9+y 2 =1.(2)设直线I：x=m

24、y +t,A(x1,y1),5(x2,y2)则”(一孙乃),W(-x2,-y2)第18页，共20页由x=my+t兰 2 _ 得(zu?+4)y2+2mty+t2-4=0,4 y-所以，,2mt%+2 =一诉t2-4%=J 0zn2+4因为P、M、N三点共线,所以 kpM=kpN,所以差 7 =一%一 4 必+4即%(*2+4)+y2(xi+4)=0,将直线I：x=my+t代入上式并化简得,8m(t+1)=0,所以?n=0或t-1,若m=0,则M,N重合，不合题意，当t=-l 时，直线I：x=my-1,所以直线恒过定点(-1,0).【解析】(1)根据条件列出方程组求解；(2)设出直线I的方程，由

25、P、M、N三点共线可得PM,PN的斜率相等，得到丫式必+4)+y2(X1+4)=0,再跟直线联立化简得8m(t+1)=0,即可得到直线所过的定点.本题考查了椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于综合题.22.【答案】解：(1)由题意得(x)=a e +b,a 0,x e R.当b 0时，f(x)0./(%)在区间(一 8,+8)上单调递增；当b 0,解得*沙(_ 今,令r a)o,解得 沙(一今，所以/(%)在区间(一 8,沙(一今)上单调递减，在区间6 In(-6,+8)上单调递填综上可得：当b 2 0时，/(x)在区间(一 8,+8)上单调递增；当b /时,/(X)0在区间(0,+8)上

26、恒成立,此时/(久)在区间 0,+8)上单调递增.因为/(0)=1 -a 0 在区间 0,+8)上不恒成立；(2)当a e (0,|)时，令(乃=0,解得 =沙 康 6 (0,+8),f(x)在区间 0,沙 上单调递减，在区间(沙 或,+8)上单调递增，所以=f(3 吟)=*(e/n 2 a-2 a 2).由/(%)0 在区间 0,+8)上恒成立,得/O O m i n 0,即e 2 a -2 a2 0.设。(%)=e m2%-2%2,则g，(%)=：-4%=，令或x)=0,得=争所以g(x)在区间(0 号 上单遇递增，在区间(今+8)上单调递减，所以 g(x)m a x =g 4)=0-所以g(x)0 的a 的值为逅.2综上，使/(X)0 在区间 0,+8)上恒成立的a 的值为年.【解析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2)由题意首先确定函数的解析式，然后分类讨论a；,a 6 (0,；)即可确定实数a 的值.本题主要考查利用导数研究函数单调性的方法，分类讨论的数学思想，利用导数研究不等式恒成立的方法等知识，属于中等题.第20页，共20页