2020-2021学年高一数学下学期期末测试卷03（人教A版必修4+必修5）（解析版）.pdf

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1、2020-2021学年高一数学下学期期末测试卷03（人教A版）一、单 选 题（每 小 题5分，共6 0分）3 Y 11.不 等 式 卫 一4 1的 解 集（3x x23x x23X x一 或x N 2 D.3x x W 或 2【答 案】D【分 析】通分后解分式不等式即可.【详 解】不等式史3 r I 1可 化 为 也4-x 3 02-x。03解 得：x 2,故不等式的解集为:x2 .故选：D【点 睛】解分式不等式的方法：（1）移 项（使 右 侧 为0）通分后利用符号法则计算；（2）直接分类讨论，把分式不等式转化为整式不等式.2 1 1A.一 B.C.0 D.-3 2 2【答 案】B【分 析】利

2、用等差数列的定义求出公差，再利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】1 1 1 1 1数列 7卜的第三项为一;=z,第七项为7=z.+1%+1 3%+1 21 1 1_1所以数列1卜的公差,23 1a+1 d=-=J 4 241 1 4,1 1 2 1所以第十一项为涓=，+4=5+5=3 .即=5故选：B3.在正项等比数列 4 中，/和4 9为方程幺一10+16=0的两根，则4 4。吗2等 于（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】D【分析】首先利用根与系数的关系，得到4+4 9 =1。，。9=1 6,再 利 用 等 比 数 列 的 性 质 求 解 的 值【详解】由题设可知:i和9为方

3、程/一 1 Ox+16=0的两根,则山根与系数的关系知：,+,9=1 0,。臼9=16,又由数列%是正项等比数列，即可 0,故由等比中项性质知：%9=烯）=16，即解得4O=4,故火,Go 4 2 =端）=下=64.故选:D4.己知 1）,ft=（-1,3）,则 Q.（2Q+B）=（）A.0 B.1 C.-1 D.2【答案】A【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可得结果.【详解】由已知条件可得/=1 +1 =2，7 B=l x（-l）l x 3=T,因此，a-la+b-2a+a4=2 x 2-4 =0.故选：A.5 .函数x）=#s i n x-;c o sx，则下列结论错误的是（）A.於）的

4、一个周期为 2万 B.的图象关于直线x =q对称C.7（x +乃）的一个零点为x =D./（x）在 径,兀 上单调递减6 2 y【答案】D【分析】由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质判断.【详解】7 T由已知/（x）=si n（x ）,6最小正周期是丁 =2万，一2 4也是它的一个周期，A正确；/（四）=si n（红一工）=1,所以x =当 是 一条时称轴，B正确；3 3 6 3-j L j/Z ）1f（x+乃）=si n（x+乃一一）=-si n（x一一）,显然 x =一 时，/（一+乃）=0,c 正确；6 6 6 6x e佰，/时，x-e（-,）,x=时

5、，/（当=1,函数在依当上递增，在 3,4）上递减,k 2 ）6 3 6 3 3 0),再利用余弦定理求解.【详解】C l h r由正弦定理：-=-=-=2 Rs i n A s i n B s i n C得 a=2/?s i n A,b=2/?s i n B.c=2/?s i n C又因为 s i n A:s i n 3:s i n C =5:7:9，所以 a:b:c =5:7:9令 a=5t,b=7t,c=9t(t 0)所以c o s C=cr+/72-c22ab2 5/+49尸81/2x5z x7/110故选：D.2 2 2 r 21 1.在AABC中，若4 则A A b C一定 是()

6、b2 b2+c2-a2A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】ZTccw R qi n A c c q R先用余弦定理边化角得3=,再用正弦定理边化角的二一再根据二倍角的正弦公式得b c o s A s i n B c o s As i n 2 A=s i n 2 B,进而可得答案.【详解】2因 为 勺=b2a2+c2-h2b2+c2-a2a2 lac cos B a c o s B所以一7 二-，所以:=-，b 2bccosA b c o s A土 s i n A c o s 8 bli.,.所以-=-，所以 s i n Ac o s A

7、=s i n 8 c o s 8,s i n B c o s A所以s i n 2 A=s i n 2 5 ,因为A,5为三角形的内角，所以2 A=2 3或2 A+2 3 =万，71所以A=3或A+B=,2所以 AH C一定是等腰三角形或直角三角形.故选：D1 2.已知函数/(x)=(x-i y +l,利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得了(5)+/H)+-+/(0)+-+/(6)+/(7)().2 5A.2 5 B.2 6 C.1 3 D.2【答案】C【分析】先根据已知条件求出 力+/（2-力=2,再利用倒序相加法求和即可.【详解】解：./(x)=(x-iy+i,/./(2-x

8、)-(2-+1 =(1 x)3+1,即 x)+/(2力=2,设/(-5)+T)+-3)+-,+0)+6)+7),则 5+/+5)+/(0)+/1)+/(-5)，则+得：力=/(5)+7)+/(Y)+6)+”7)+5)=2x13=26,故E 3.故选：C.二、填 空 题（每小题5分，共20分）13.已知变量羽）满足约束条件x-y 02 Qx+y-4 Z?0)的最小值为1,则一+y-l 0的最小值为.【答案】18.【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域，因为直线Z=ox+切（。匕0）的斜率为女=巴，由a b 0 4b得一 l k =一一10 +2.一x-=1 8a b a b a b N a b

9、当且仅当2b _ 8。a ba+b=1a 0,h 0即a =1为=2时，上式取“=”号.3 32 Q所以一+:的 最 小值为1 8.a b点睛:线性规划问题应先画出平面区域，求z =ax+bya 匕 0)的最值时，当。0时，直线z =办+制越向上平移，z取值越大；当。0时，直线z =a x+勿 越向上平移，z取值越小：用基本不等式求最值时，和定积最大，积定和最小.若。+力=帆,m为常数，则l+l =l(a +b)(l +-)-!-(2 +-+-).然后利用基本不等式求最值即可.a b m a b m a bS1 4.已知%,均为等差数列，其前项和分别为S“,7；,且 市2 一 3T7T则 反=

10、【分析】根据等差数列的前项和公式有5“=叫+若14，1=“乙+(；1)4,结合已知条件，令4=2&=1即可得小,进 而 琮【详解】.4，也 均为等差数列,令公差分别为4 4,n(n-l)(n-l)则有 Sf l=na+-4 ,Tn=叫+-a2,S nd.+2a,-d,2n-3 1；广叽+2人1力，令4=2&=1,则有4=一 产=2,.%_ 4+甸 _ 5 厂4+4 4=故答案为：一4【点睛】思路点睛：利用等差数列的前.项和公式，结合等差数列通项公式的特点合理假设即可得到数列的基本量1、Sn=nat+-4,Tn=nb+n(n-l)2S.nd.+2a,-d,“则有片高母tS 2n 32、结合已知五

11、=大，假设4=20=1,即可求1 5.若一个扇形的周长是为定值，则当该扇形面积最大时，其中心角的弧度数是【答案】2.【分析】设扇形的周长是为定值/,扇形所在圆的半径为，中心角的弧度数为。，得到a =上 空，化筒扇形的面r积为5=L。产=（,）子 结合基本不等式，即可求解.2 2【详解】设一个扇形的周长是为定值/,扇形所在圆的半径为，中心角的弧度数为a,l-2 r可得/=。r+2人 则a =，2所以扇形的面积为S=a/=上空x2 2 rr2=(r)-r 0,cos6 0所以在AA B C中，B C =+靖=+二 一=-)(cosOj sin cos2 2 2 ABC 周 长 C AR C A B

12、 +A C +B C =-1-1-JB C Sin。cos。sin。cose=2 cos+2sin9+2,令/=cos6+sin8,则，=x/5sin(8+M)G(l,及 ,sin。cos。4_21+2 _ 4 +l)_ 4所以 CBC=/=/_ =口,当，=&时，上式取得最小值，最小值为4&+4.故答案为：4,4 2+4【点睛】在应用公式时注意方程思想的应用,对于sin a+cos a,sin acos a,sin acos a这三个式子，利用(s加a cosa)2=I 2sin acos a 可以知一求二.三、解 答 题(共6小题，共7 0分)1 7.(1 0分)己知二次函数/(力=奴2+

13、加，满足-2)=0且方程=x有两个相等实根.(1)求函数“X)的解析式；(2)当且仅当xe 4,同 时，不等式恒成立，试求/,加的值.【答案】(1)f(求c o s(B-C)的值.【答案】(1)C =工：近.6 1 4【分析】(1)将等式化简，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角C；(2)利用正弦定理求出s i n 5,再根据Z?c,可知5/3 s i n B)2=4 s i n2 C-s i n2 B 化简，得s i n?A +s i n2 B-s i n2 C=G s i n A s i nB，由正弦定理,得屋+b2-c2=C a b，由余弦定理得c o s C=+-c=正,又CG(O,)

14、，所以c =工.2ab 2 6(2)因为6 =1,c=币,所以由正弦定理1 =得s i n 8=MC=3s i n B s m C c 1 4因为 8 c,所以 8 2kjr,k G Z ；(2)5,5 .2 2【分析】(1)转化为关于s i n x的一元.：次方程即可；(2)有解问题，转化为求函数的值域问题即可.【详解】3 1 3(1)当初=一时，f(x)=s i n2x +s i n x ,2 v 7 2 21 3令/(x)=。,即 s i n2 x +s i n x-=0 ,3解得s i n x =1 (s i n x =舍去).2T T所以x =g +2b t,A:GZ.2jr所以方程

15、x)=0的解集 为 卜x =5+2b r,Z：EZ.(2)由 /(x)=0得s i n?x+(2-m)s i n x-m =0 ,即(s i n x+l)m =s i n 2 x +2s i n x.n 71 .1因为XE，所以s i n x w ,1 ，s i n x+l w O,136 L 2 J所以机=s-x+Z s i n x =(s i n x+l fls i n x +1s i n x+1令s i n x+1 =，t G,22所以 根=-=t .t t令=f 因为函数 =和y =-;在1,2上都是增函数,所以g（。在；,2上是增函数.又 G卜 T“）=1，1 3 3-所以g（r）在

16、，2上的值域为 H-3 3所以实数，”的取值范围是一7,72 2【点睛】方法点睛：方程有解问题，可以通过分离变量转化为求函数的值域问题.UUH 1 UIT UUU 1 UIU21.（1 2分）如图所示，在AQ W中，O C =-O A ,O D =OB,AO与 交 于 点M.过M点的直线4 2/与OA、0B分别交于点E,F.（1）试 用 砺，而 表 示向量。面；设 灰=4砺，O F /JOB1 3求证：丁 万 是 定 面【答案】（1）O M -O A +-O B（2）证明见解析.7 7【分析】(1)由向量共线定理即可求出;(2)由E,M,F三点共线，可 设 丽 =%赤+(1 -)而(氏e R)

17、,hO E=W A -O F =AO B 可得OM=k W A +(-k)piO F1 3 最 后 结 合 的 结 论 可 得 丁 丁7,问题得以证明.【详解】(1)由A,M,三点共线可得存在实数加(m e/?)使得：OM =m d A +-m)O D,u u m u u n _ _ _ .乂O D =-OB,故OM=mOA+-O B,2 2由C,M,B三点共线可得存在实数(n e R)使得：OM =nO C+-n)O B,UIIQ 1 u u r又 O C =0 4 ,4故 西=(土5+(1-)而由题意，0A，而 不 共线，则:1m =n4-=1-722,解得1m =74n-7 1 -3 -

18、故 Q M=QA +08；77(2)由 E,M,尸三点共线，可 设 丽=A砺+(1-6而 (keR),由 区=4函,O F =AO B 则：OM =kA0 A+(1 -k O F ,由(1)知，OM O A+0 B,则：7 7即2=7k3 r r,一=7-7攵1 1 3所以；+=7左 +7 7Z=7,z 1 3所以：+一 是定值.Z 【点睛】关键点睛：本题考查平面向量综合，解题关键是理解并能由点共线转化为向量共线，再根据向量共线的条件得出等式，从而证明结论.22.（1 2 分）已知函数/（无）=2s i n x s i n+s i nx e呜（1）求f（x）的单调递增区间和最值；（2）若函数g

19、（x）=/（x）-a有且仅有一个零点，求实数a的取值范围.T T【答案】（1）单调递增区间是0,-；/U）,n in=o,/（X）max10)唱.【分析】（I）利用三角恒等变换公式化简f（x）,根据正弦函数的递增区间求出/（幻的增区间，利用正弦函数的图象求出了（X）的最值;（2）化为函数y =/（x）与y =a有且仅有一个交点，作出图象，观察图像可得解.【详解】(1)函数/(x)=2s in xs in+co s 2x=2s in x C O SX +s in xX2 2+co s2x,=V 3s in xco s x4-s in2x+co s2x=s in 2x+co s2x+=s in 2

20、x+2 2 2 I 6j 2T T T T JT 冗 冗令2kjt-2xH 2kjtH ，keZ ,解得女 乃-x k兀-,k eZ,2 6 2 3 6T C因为X W 0,2T t所以函数.f（x）的单调递增区间是0,-6,-71 7711 71741则 2x+-w o 6 6,所以s in(2尤+7 1,1,I 6；2冗因为0,y3所以/（X）min=，/皿 二1（2）因为g（x）=/（x）。有且仅有一个零点，所以/（X）=a有且仅有一个实根,666即函数y =/（x）与 丁 =。有且仅有一个交点，如图所示:所以实数a 的取值范围是 O,l）u【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.