2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之方程与不等式.pdf

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1、2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之方程与不等式一、选 择 题（共10小题）1.（2021深圳）九章算术中记载：今有 好 田 1 亩，价 值 300钱；坏 田 7 亩，价 值 500钱.今共买好、坏 田 1 顷（1顷=100亩），价 钱 10000钱.问好、坏田各买了多少亩？设好田买了x 亩，坏田买了y 亩，则下面所列方程组正确的是（）x+y=100A.7300%+y=10000I 500-x+y=100B.500300 x+y=100007x+y=100C.7 八x+300y=100001500 x+y=100D.500宁x+300y=100002.（2020广州）直线y=x+a

2、不经过第二象限，则关于x 的方程/+2x+l=0 实数解的个数是（）A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.1个或2 个3.（2019广州）关于x 的一元二次方程V-（Z-l）x-4+2=0 有两个实数根%，”,若（X 1 X2+2）（%1 X2 2）+2X|X2=3 则*的值（）A.0 或 2 B.-2 或 2 C.-2 D.24.（2019广东）已知%，当是一元二次方程d-2 x =0 的两个实数根，下列结论错误的是（）A.xl x2 B.x,-2 xt=0 C.A j+x2=2 D.大%=25.（2018深圳）某旅店一共70个房间，大房间每间住8 个人，小房间每间住6 个人，一共480个

3、学生刚好住满，设大房间有x 个，小房间有y 个.下列方程组正确的是（）A,卜+k 7。B.片70卜+y=480 卜+y=480 16x+8y=70 8x+6y=706.（2 0 1 8 广州）九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等.交易其一，金轻十三 两.问金、银一枚各重几何？意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银1 1 枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等.两袋互相交换1 枚后，甲袋比乙袋轻了 1 3两（袋子重量忽略不计）.问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意得（）1 l x=9

4、 y(1 0 y +x)_(8 x+y)=1 3B 1 1 0 y +x=8 x+y,9 x+1 3=l l yC 1 9 x=l l y D =1（8 x+y）-（1 0 y +x）=1 3 （1 0 y +x）-（8 x+y）=1 37.（2 0 1 8 广东）关于的一元二次方程f 3x+机=0 有两个不相等的实数根，则实数?的取值范围是（）9 9 e 9 9A.m D.m.4 4 4 48.（2 0 1 7深圳）一球鞋厂，现打折促销卖出330 双球鞋，比上个月多卖1 0%,设上个月卖出x 双，列出方程（）A.1 0%x=330 B.（l-1 0%）x=330C.（1-1 0%）2X=33

5、0 D.（1 +1 0%）X=3309.（2 0 1 7广州）关于x 的一元二次方程W+8 x +q =0 有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（）A.g 1 6 B.1 6 C.4 D.q.A1 0.（2 0 1 7广东）如果2是方程/一31+左=0的一个根，则常数k 的值为（）A.1 B.2 C.-1 D.-2二、填 空 题（共6小题）1 1.（2 0 2 1 深圳）己 知 方 程/+,我-3=0 的一个根是1,则m的值为.1 2.（2 0 2 1 广州）方程炉-4 x=0的实数解是.1 3.（2 0 2 1 广东）若一元二次方程x?+bx+c=0（/?,c为常数）的两根百，满足-3%-

6、1，1 0,从而得到方程根的情况.【解答】解：.直线y =x +a 不经过第二象限，a,0,当a =0 时，关于x的方程加+2 犬+1 =0 是一次方程，解为x =，2当a 0 ,方程有两个不相等的实数根.故选：D.【点评】本题考查了根的判别式：一元二次 方 程+法+c =0（“w 0）的根与=从-4 册有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当=（）时，方程有两个相等的实数根；当 0,该方程有两个不相等的实数根，k=2符合题意；当=-2时，原方程为丁+3苫+4 =0,-.=32-4 x lx 4 =-7 0,可得出占二9，选项A不符合题意；将X,代入一元二次方程W 2x =0中可得出%2

7、-2芯=0,选项5不符合题意：利用根与系数的关系，可得出占+=2,司 巧=0,进而可得出选项C不符合题意，选项。符合题意.【解答】解：.=(-2)2-4x l x 0=4 0,xtx2,选项A不符合题意;.凡是一元二次方程Y 2x=0 的实数根,x；-2N=0,选项B不符合题意；王，马是一元二次方程9-2 犬=0 的两个实数根，司+&=2,玉.=0,选项C 不符合题意，选项 符合题意.故选：D.【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项的正误是解题的关键.5.（2018深圳）某旅店一共70个房间，大房间每间住8 个人，小房间每间住6 个人，一共480个学生刚好住满，设大房

8、间有x 个，小房间有y 个.下列方程组正确的是（）,卜+y=70 卜+y=70A.B.8x+6y=480 6x+8y=480卜+y=480 卜+y=480 6x+8y=70 8x+6y=70【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组【专题】I：常规题型【分析】根据题意可得等量关系：大房间数+小房间数=70；大房间住的学生数+小房间住的学生数=4 8 0,根据等量关系列出方程组即可.【解答】解：设大房间有x 个，小房间有y 个，由题意得：y=708x+6y=480故选：A.【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元二一方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系.6.（2018广州）九章算

9、术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等.交易其一，金轻十三两.问金、银一枚各重几何？”.意思是：甲袋中装有黄金9 枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等.两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了 13两（袋子重量忽略不计）.问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重），两，根据题意得（）x=9y 10j+x =8 x+yA.B.(10y +x)-(8 x+y)=13 9 x +13=l l yC J9%=l l y D 9 x =l 1y (8 x+y)-(10y +x)=13*(10j +x)-(

10、8 x+y)=13【答案】D【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组【专题】常规题型【分析】根据题意可得等量关系：9枚黄金的重量=11枚白银的重量；(10枚白银的重量+1枚黄金的重量)-(1枚白银的重量+8 枚黄金的重量)=13两，根据等量关系列出方程组即可.【解答】解：设每枚黄金重x 两，每枚白银重y两，由题意得：J9 x =1 l yj(10y +x)-(8 x +y)=13故选：D.【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系.7.(2018 广东)关于x的一元二次方程 2一 3+机=0有两个不相等的实数根，则实数?的取值范围是()9 9

11、9 9A.m D.m.4 4 4 4【考点】A4：根的判别式【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于加的不等式，求出，的取值范围即可.【解答】解：.关于x的一元二次方程9 一 31+加=0有两个不相等的实数根，=/-4 ac=(-3)2-4X1X/M0,9m 0 o方程有两个不相等的实数根；(2)nOo方程有两个相等的实数根；(3)0。方程没有实数根.8.(2017 深圳)一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖1 0%,设上个月卖出X 双，歹|J 出方程()A.10%x =330 B.(l-10%)x =330C.(1-10%)晨=330 D.(l +10%)x =330【考

12、点】8 9：由实际问题抽象出一元一次方程【分析】设上个月卖出x 双，等量关系是：上个月卖出的双数x(l +10%)=现在卖出的双数,依此列出方程即可.【解答】解：设上个月卖出x 双，根据题意得(l+1 0%)x=3 3 0.故选：D.【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意找到等量关系是解决本题的关键.9.(2 0 1 7 广州)关 于 x 的一元二次方程V+8 x +4 =0 有两个不相等的实数根，则夕的取值范围是()A.q 0,解之即可得出q 的取值范围.【解答】解：.关于x 的一元二次方程f+8 x +q=0 有两个不相等的实数根，=82-4 0,解得：q 1 6.故选：

13、A.【点评】本题考查了根的判别式，牢 记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.1 0.(2 0 1 7 广 东)如果2是方程Y-3 x +%=0的一个根，则常数k 的值为()A.1 B.2 C.-1 D.-2【答案】B【考点】一元二次方程的解【分析】把 x=2 代入已知方程列出关于左的新方程，通过解方程来求我的值.【解答】解：.2是一元二次方程f-B x +ZnO 的一个根，22-3X2+A:=O,解得，k=2 .故选：B.【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍

14、然成立.二、填 空 题（共 6 小题）11.（2021深圳）已知方程d+a ir-B u O 的一个根是1,则用的值为 2.【答案】2.【考点】一元二次方程的解【专题】推理能力；一元二次方程及应用【分析】根据一元二次方程的解把x=l 代入一元二次方程得到关于机的一次方程，然后解一次方程即可.【解答】解：把 x=l 代入X2+/nr-3=0 得+加一3=0,解得m=2.故答案是：2.【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.12.（2021广州）方程d-4 x =0 的实数解是 _ x,=0 x2=4 _.【答案】%,=0 =4.【考点

15、】解一元二次方程-因式分解法【专题】一次 方 程（组）及应用；运算能力【分析】方程利用因式分解法求出解即可.【解答】解：方程d-4 x =0,分解因式得：x（x-4）=0,可得x=0 或 x-4 =0,解得：x,=0,x2=4.故答案为：玉=0,x2=4.【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.13.（2021广东）若一元二次方程d+bx+cnO g,c为常数）的两根芭，电满足-3%-1,1 3,则符合条件的一个方程为。-2=0（答案不唯一）.【答案】X2-2 =0（答案不唯一）.【考点】一元二次方程的定义【专题】一元二次方程及应用；推理能力【分析】

16、根据一元二次方程的定义解决问题即可，注意答案不唯一.【解答】解：.若一元二次方程f+b x +c=OS，c为常数）的两根不，满足1 x2 所以方程组的解为.b=-2故答案为卜=2b=-2【点评】本题考查的是解二元一次方程组，利用加减消元法把方程组化为一元方程是解答此题的关键.1 5.（2 0 2 0 广州）方程一匚=_ _ 的解是_x =3 _.x+1 2x+2 2【考点】B 3：解分式方程【专题】5 2 2：分式方程及应用；6 6：运算能力【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解.【解答】解：方 程 上X+1 2 x4-2去分母得：2 x

17、=3,解得：工=3,2经检验，分式方程的解为x=3.2故答案为：x=.2【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.1 6.（2 0 1 8 广州）方程2=-9-的 解 是x=2.x x+6 【考点】解分式方程【专题】计算题；分式方程及应用【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解.【解答】解：去分母得：x+6 =4 x,解得：x=2 经检验x=2 是分式方程的解，故答案为：x=2【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.三、解 答 题（共 10小题）1 7.(2 0 2 1广州)解方程组

18、)=x-4+y =6【答案】k;【考点】解二元一次方程组【专题】一次 方 程（组）及应用；运算能力【分析】用代入消元法解二元一次方程组即可.【解答】解:y=x-4 x+y =6 将代入得，x+(x 4)=6,.%=5 ,将x=5代入得，y =1,方程组的解为=5.【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法、加减消元法解二元一次方程组是解题的关键.1 8.（2 0 2 0广州）粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标.某公交集团拟在今明两年共投资9 0 0 0万元改装2 6 0辆无人驾驶出租车投放市场.今年每辆无人驾驶出租车的改装费用

19、是5 0万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降5 0%.（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆.【考点】一元一次方程的应用【专题】一次 方 程（组）及应用；应用意识【分析】（1）根据今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是5 0万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%,列出算式即可求解；（2）根据“某公交集团拟在今明两年共投资9 0 0 0万元改装2 6 0辆无人驾驶出租车投放市场”列出方程求解即可.【解答】解：（1）5 0 x（1-5 0%）=2 5 （万元）.故明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是2 5万元：(2

20、)设明年改装的无人驾驶出租车是x 辆，则今年改装的无人驾驶出租车是(2 6 0-x)辆，依题意有5 0(2 6 0-x)+2 5 x =9 0 0 0,解得x=1 6 0.故明年改装的无人驾驶出租车是1 6 0 辆.【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解题关键.1 9.(2 0 2 0 广东)已知关于x,的方程组以+26丫 =-1 0 石，与 -，=2 的解相同.x+y=4 x +o y=1 5(1)求“，匕的值；(2)若一个三角形的一条边的长为2#,另外两条边的长是关于x的方程幺+奴+匕=。的解.试判断该三角形的形状，并说明理由.【答案】(1)a=,6 =1 2；(2

21、)等腰直角三角形.【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；二元一次方程组的解；解二元一次方程组【专题】一次方程(组)及应用；一元二次方程及应用；等腰三角形与直角三角形；应用意识；运算能力【分析】关 于 x,y 的 方 程 组 卜+2=-1。百，与 卜 12,的解相同.实际就是方x+y=4-x +b y=1 5程组卜+)=4 的解，可求出方程组的解，进而确定。、。的值；x-y=2(2)将 a、匕的值代入关于x的方程d+a r +bnO,求出方程的解，再根据方程的两个解与2为边长，判断三角形的形状.【解答】解：(1)由题意得，关于x,y 的方程组的相同解，就是方程组卜+)=4 的解，x-y=2解

22、得，代入原方程组得，a=Y拒,6 =1 2；y=l(2)当 a=6 =1 2 时，关于 x 的方程x2+ax +/=0 就变为x?-4&X +1 2 =0 ,解得，占=X?=2G,又(2 6)2+(2 6)2 =(2#)2,.以2 逐、26、2 6 为边的三角形是等腰直角三角形.【点评】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键.2 0.（2 0 1 9 广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5 G 等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5 G 基站的数量约1.5 万座，计划到2 0 2 0 年底，

23、全省5 G基站数是目前的4 倍，到 2 0 2 2 年底，全省5 G 基站数量将达到1 7.3 4万座.（1）计划到2 0 2 0 年底，全省5 G 基站的数量是多少万座？（2）按照计划，求 20 20 年底到20 22年底，全省5 G 基站数量的年平均增长率.【考点】A D：一元二次方程的应用【专题】3 4：方程思想；5 23：一元二次方程及应用【分析】（1）20 20 年全省5 G 基站的数量=目前广东5 G 基站的数量x4,即可求出结论；（2）设 20 20 年底到20 22年底，全省5 G 基站数量的年平均增长率为x ,根据20 20 年底及20 22年底全省5 G 基站数量，即可得出

24、关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.【解答】解：（1）1.5X4=6（万座）.答：计划到20 20 年底，全省5 G 基站的数量是6万座.（2）设 20 20 年底到20 22年底，全省5 G 基站数量的年平均增长率为x ,依题意，得：6（1+x）2=1 7.3 4,解得：%=0.7 =7 0%,x,=-2.7 （舍去）.答：20 20 年底到20 22年底，全省5 G 基站数量的年平均增长率为7 0%.【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.21.（20 1 9广州）解方程组：xy =i.【考点】98：解二元一次方程组【专题】5 21

25、：一次方程（组）及应用【分析】运用加减消元解答即可.【解答】解:x-y=l x +3 y =9-得，4y =8,解 得y =2,把y =2代入得，%2=1,解得工=3,故原方程组的解为尸=3 y =2【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.22.(20 1 8深圳)某超市预测某饮料有发展前途，用1 6 0 0元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又 用6 0 0 0元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元.(1)第一批饮料进货单价多少元？(2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1 20 0元，那

26、么销售单价至少为多少元？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用【专题】一元一次不等式(组)及应用；分式方程及应用；方程思想【分析】(1)设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为(x +2)元，根据单价=总价:单价结合第二批饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设销售单价为加元，根据获利不少于1 20 0元，即可得出关于，川的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论.【解答】解：(1)设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为(x+2)元，解得：x =8,经检验，x =8是分式方程的解.答：第一批饮料进货单价为8元.(2)设

27、销售单价为加元，根据题意得：20 0(,-8)+6 0 0(,-1 0).1 20 0,解得：nt.W.答：销售单价至少为1 1 元.【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，列出关于?的一元一次不等式.23.（20 1 8 广东）某公司购买了一批A、8型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价 少 9 元，已知该公司用3 1 20 元购买A型芯片的条数与用420 0 元购买5型芯片的条数相等.（1）求该公司购买的A、3型芯片的单价各是多少元？（2）若两种芯片共购买了 20 0 条，且购买的总费用为6

28、 28 0 元，求购买了多少条A型芯片？【考点】B 7：分式方程的应用【专题】5 22：分式方程及应用；3 4：方程思想；5 21：一次方程（组）及应用【分析】（1）设 3型芯片的单价为x 元/条，则 A型芯片的单价为（x-9）元/条，根据数量=总价+单价结合用3 1 20 元购买A型芯片的条数与用420 0 元购买3型芯片的条数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买。条 A型芯片，则购买（2 0 0-条 8型芯片，根据总价=单价x 数量，即可得出关于。的一元一次方程，解之即可得出结论.【解答】解：（1）设 5型芯片的单价为x 元/条，则 A型芯片的单价为（x-

29、9）元/条，根据题意得：2 2 2 =幽，x-9 x解得：x =3 5 ,经检验，x =3 5 是原方程的解，且符合题意，.x-9=26.答：A型芯片的单价为26 元/条，5型芯片的单价为3 5 元/条.（2）设购买条A型芯片，则购买（20 0-）条 8型芯片，根据题意得：26。+3 5（20 0 a）=6 28 0,解得：a =8 0.答：购买了 8 0 条 A型芯片.【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程.24.（20 1 7 深圳）一个矩形周长为5 6 厘米.（1）当矩形面积为1

30、 8 0 平方厘米时，长宽分别为多少？(2)能围成面积为20 0 平方厘米的矩形吗？请说明理由.【考点】A D：一元二次方程的应用【分析】(1)设出矩形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，根据面积列出相应方程求解即可.(2)同样列出方程，若方程有解则可，否则就不可以.【解答】解：(1)设矩形的长为x 厘米，则另一边长为(28-x)厘米，依题意有x(28 -x)=1 8 0,解得X=1 0 (舍去)，x2=1 8 ,28 x =28 1 8 =1 0.故长为1 8 厘米，宽 为 1 0 厘米；(2)设矩形的长为x 厘米，则宽为(28-x)厘米，依题意有x(28-x)=20 0,B J x

31、2-28 x +20 0 =0,则=28?-4 x 20 0 =7 8 4-8 0 0 0,原方程无实数根，故不能围成一个面积为20 0 平方厘米的矩形.【点评】考查一元二次方程的应用；用到的知识点为：长方形的长=周长的一半-宽.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.2 5.(2 0 1 7 广 州)解 方 程 组 尸，=5 .【考点】9 8：解二元一次方程组【专题】1 1：计算题；5 2 1：一次方程(组)及应用【分析】方程组利用加减消元法求出解即可.【解答】解：2 x +3 y =l l x 3-得：x=4,把 x =4 代入得：y =l,则

32、方程组的解为x=4【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.26.（2017广东）学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书.若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50 本，女生每人整理40本,共能整理1240本.求男生、女生志愿者各有多少人？【考点】9A：二元一次方程组的应用【分析】设男生志愿者有x 人，女生志愿者有y 人，根 据“若男生每人整理3 0 本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本”，即可得出关于x、y 的二元一次方程组，解之即可得

33、出结论.【解答】解：设男生志愿者有x 人，女生志愿者有y 人，根据题意得:30 x+20=68050 x+40y=1240解得：厂 丁 =16答：男生志愿者有12人，女生志愿者有16人.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键.考点卡片1.由实际问题抽象出一元一次方程审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为X,然后用含X的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程.（1）“总量=各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程.（2）”表示

34、同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法.通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程.2.一元一次方程的应用（-）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润=售价-进价，利 润 率=塑2乂1 0（）%）；（4）工程问题（工作量=进价人均效率X人数X时间；如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；（5）行程问题（路程=速度X时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（1 0）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水

35、速度=静水速度-水流速度）.（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量,直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、歹U、解、答.列一元一次方程解应用题的五个步骤1 .审：仔细审题，确定己知量和未知量，找出它们之间的等量关系.2 .设：设未知数（x）,根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数.3 .歹（J：根据等量关系列出方程.4 .解：解方程，求得未知数的值.5 .答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句.3.二元一次方程组的解（1）定义：一

36、般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的.数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数.4.解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.解这个一元一次方程，求出x（或y）的值.将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值.把求得

37、的x、y的值用“广 联立起来，就是方程组的解.（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数.把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.解这个一元一次方程，求得未知数的值.将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值.把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用f x=a的形式表示.I y=b5.由实际问题抽象出二元一次方程组（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和

38、未知量联系起来，找出题目中的相等关系.（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：方程两边表示的是同类量；同类量的单位要统一；方程两边的数值要相符.（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系.将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系.借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系.图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系.6.二元一次方程组的应用（-）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤:（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.（2）设元：找

39、出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.（4）求解.（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.（二）设元的方法：直接设元与间接设元.当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元.无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程.7.一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2

40、.（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”;“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0 ；“整式方程”.8.一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这处,X 2是一元二次方程=0（”ro）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.ax+bxx+c O（a W O）,ax+bxi+c Q（a W O）.9.解一元

41、二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程：解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.1 0.根的判别式利用一元二次方程根的判别式(=房-4 )判断方程的根的情况.一元二次方程a f+b x+c n。(a 0)的根与=/-4 a c有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当=()时，方程有两个相等的两个实数根；当 0,y 随 x 的增大而增大，函数从左到右上升；k 0 时，（0,b）在 y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半轴；当 6 0 时，（0,6）在 y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴.