2024届广州培英中学高三上学期第一次月考数学试题含答案.pdf-得力文库

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1、第1页/共4页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司2024 届广州培英中学高三第一次月考试题2024 届广州培英中学高三第一次月考试题数数学学满分：满分：150 分分时间：时间：120120 分钟分钟一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 1.已知集合20,230Ax xBx xx=的解集是（）A.第2页/共4页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 1,3+B.()1,+C.1,3 D.(),1 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分每

2、小题给出的选项中，有多项符合题目分每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得要求全部选对的得 5分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分分 9.为了解中学生参与课外阅读的情况，某校一兴趣小组持续跟踪调查了该校某班全体同学10 周课外阅读的时长，经过整理得到男生、女生这 10周课外阅读的平均时长（单位：h）的数据如下表：女生 7.0 7.3 7.5 7.8 8.4 8.6 8.9 9.0 9.2 9.3 男生 6.1 6.5 6.9 7.5 7.7 8.0 8.1 8.2 8.6 9.4 以下判断中正确的是（）A.该班男生每周课外阅读的平均时长的平均

3、值为 7.85 B.该班女生每周课外阅读的平均时长的 80%分位数是 9.0 C.该班女生每周课外阅读的平均时长波动性比男生小 D.由该班估计该校男生每周课外阅读的平均时长不低于 8h的概率为 0.5 10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用 x表示不超过的最大整数，则 yx=称为高斯函数，例如3.54=，2.12=已知函数()()1112xxaf xaa=+，则关于函数()()g xf x=的叙述中正确的是（）A()f x是奇函数 B()g x是偶函数 C()f x在 R 上是增

4、函数 D()g x的值域是1,0 11.已知四面体ABCD的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（）A异面直线AC与BD所成角为60 B点A到平面BCD的距离为2 63 C四面体ABCD的外接球体积为6 D四面体ABCD的内切球表面积为32 12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，当 x0 时，f(x)0，则函数 f(x)满足()A.f(0)0 B.yf(x)是奇函数 C.f(x)在1，2上有最大值 f(2)D.f(x1)0 的解集为x|x1 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分第3页/共4页学科网（北京

5、）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 13.2()nxx展开式中的各二项式系数之和为 256，则4x的系数是 14.定义在 R 上的非常数函数()f x满足：()()fxf x=，且()()20fxf x+=.请写出符合条件的一个函数的解析式()f x=_.15.已知()f x为偶函数，当0 x 时，()ln()3f xxx=+，则曲线()yf x=在点(1,3)处的切线方程是_ 16.函数 f(x)ln（x1），x的焦距为 2，且经过点31,2P(1)求椭圆 C 的方程；(2)经过椭圆右焦点 F 且斜率为()0k k 的动直线 l 与椭圆交于 A、B两点，试问 x轴上是否存在异于点 F

6、的定点 T，使AFBTBFAT=恒成立？若存在，求出 T 点坐标，若不存在，说明理由第1页/共11页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 20242024 届培英中学高三届培英中学高三数学数学第一次月考试题参考答案第一次月考试题参考答案一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C B A A B C A CD ACD BCD ABD 1.已知集合20,230Ax xBx xx=，则AB=（）A.)1,0 B.(0,3 C.(1,3 D.(,3 【

7、详解】因为223013Bx xxxx=，又0Ax x=，又()140444044404402aaS+=，即404410aa+，则202220230aa+则20230a，且20222023aa，所以对任意正整数n，都有nmaa，则2022m=故选，C 8.已知函数()()22ln1e1xf xxx=+，则不等式()()212f xfx+的解集是（）A.1,3+B.()1,+C.1,3 D.(),1【第3页/共11页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【详解】()()()()222e11ln11ln1e1e1xxxg xf xxxxx=+=+=+，由于210 xxxx+，所以(

8、)g x的定义域为R，()()2e1ln1e1xxgxxx=+()()222111 eln1 e1xxxxxxxx+=+()()2211 ee1lnln11 ee11xxxxxxg xxx=+=+=+，所以()g x是奇函数，当0 x 时，()2ln1yxx=+为增函数，21e1xy=+为增函数，所以()g x是增函数，由()g x是奇函数可知，()g x在R上单调递增，由()()212f xfx+得()()()1211f xfx+，即()()()2112g xgxgx=，则12xx，解得13x，所以不等式()()212f xfx+的解集是1,3+.故选：A 二、选择题：本题共二、选择题：本题

9、共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9.为了解中学生参与课外阅读的情况，某校一兴趣小组持续跟踪调查了该校某班全体同学 10 周课外阅读的时长，经过整理得到男生、女生这 10 周课外阅读的平均时长（单位：h）的数据如下表：女生 7.0 7.3 7.5 7.8 8.4 8.6 8.9 9.0 9.2 9.3 男生 6.1 6.5 6.9 7.5 7.7 8.0 8.1 8.2 8.6 9.

10、4 以下判断中正确的是（）A.该班男生每周课外阅读的平均时长的平均值为 7.85 B.该班女生每周课外阅读的平均时长的 80%分位数是 9.0 C.该班女生每周课外阅读的平均时长波动性比男生小 D.由该班估计该校男生每周课外阅读的平均时长不低于 8h的概率为 0.5【详解】由表可知，该班男生每周课外阅读的平均时长的平均值为第4页/共11页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司()16.1 6.56.97.57.78.08.1 8.28.69.47.710+=，故 A错误；因为0010 808=，则该班女生每周课外阅读的平均时长的 80%分位数是9.09.29.12+=，故

11、B错误；由表可知，该班女生每周课外阅读的平均时长的极差为9.37.02.3=，该班男生每周课外阅读的平均时长的极差为9.46.13.3=，所以该班女生每周课外阅读的平均时长波动性比男生小，故 C 正确；由表可知，估计该校男生每周课外阅读的平均时长不低于 8h 的概率为50.510=，故 D正确；故选：CD 10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用 x表示不超过的最大整数，则 yx=称为高斯函数，例如3.54=，2.12=已知函数()()1112xxaf xaa=+，则关于函数()(

12、)g xf x=的叙述中正确的是（）A()f x是奇函数 B()g x是偶函数 C()f x在 R 上是增函数 D()g x的值域是1,0【答案】ACD【详解】A 选项：()()()1211122 12 1xxxxxxxaaaaf xaaa=+，()()()112 121xxxxaafxaa=+，()()f xfx=，()f x为奇函数，故 A 正确；B 选项：()()g xf x=()()11gf=，()()11gf=，()f x为奇函数，()()f xfx=，()()11ff=，()()11gg，故 B 错误；C 选项：()()11111111112121221xxxxxxaaf xaaa

13、a+=+，1a，xa为增函数，11xa+为减函数，()1121xf xa=+为增函数，故 C 正确；D 选项：0 xa，11xa+，111xa+，()1122f x 又()()g xf x=，()g x的值域为1,0，故 D 正确第5页/共11页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 11已知四面体ABCD的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（）A异面直线AC与BD所成角为60 B点A到平面BCD的距离为2 63 C四面体ABCD的外接球体积为6 D四面体ABCD的内切球表面积为32【答案】BCD【详解】取BD中点E,连接,AE CE,可得BD面ACE,则AC BD,故 A

14、错误；在四面体ABCD中，过点A作AF 面BCD于点F,则F为为底面正三角形BCD的重心，因为所有棱长均为2,22263AFABBF=,即点A到平面BCD的距离为2 63,故 B 正确；设O为正四面体的中心则OF为内切球的半径，OA是外接球的半径，因为11433A BCDBCDBCDVSAFSOF=，所以4AFOF=，即62=66OFAO=，,所以四面体ABCD的外接球体积3344633VROA=,故 C 正确；四面体ABCD的内切球表面积为=32)66(4r4S22，D 正确；故选：BCD 12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，当 x0 时，f(x)0，则函

15、数 f(x)满足()A.f(0)0 B.yf(x)是奇函数 C.f(x)在1，2上有最大值 f(2)D.f(x1)0 的解集为x|x1 答案 AB D【详解】令 xy0，则 f(0)2f(0)，故 f(0)0，A 正确；令 yx，则 f(0)f(x)f(x)0，即 f(x)f(x)，故函数 f(x)为奇函数，B 正确；设 x1x2，则 x1x20，由题意可得 f(x1x2)0，即 f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，故函数 f(x)为 R 上的减函数，f(x)在1，2上的最大值为 f(1)，C 错误；f(x1)0 等价于 f(x1)f(0)，又 f(x)为 R

16、上的减函数，故 x10，解得 x1，D 正确.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.2()nxx展开式中的各二项式系数之和为 256，则4x的系数是【答案】112【详解】依题意得：2256,n=解得8,n=则()()88281882C12C,N,8,rrrrrrrrTxxrrx+=由284r=，解得6,r=第6页/共11页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司从而6628(1)C2112=.故答案为：112.14.定义在 R上的非常数函数()f x满足：()()fxf x=，且()()20fxf x+=.请

17、写出符合条件的一个函数的解析式()f x=_.【答案】cos2yx=（答案不唯一）【分析】根据已知()()fxf x=，且()()20fxf x+=得出对称轴和对称中心，确定一个具体函数即可.【详解】因为()()20fxf x+=.得出对称中心()10，且()()fxf x=得出对称轴为y轴，且周期为4 的函数都可以.故答案为：cos2yx=15.已知()f x为偶函数，当0 x 时，0 x，则()ln3fxxx=又因为()f x为偶函数，所以()()ln3f xfxxx=，所以1()3fxx=，则切线斜率为(1)2f=，所以切线方程为32(1)yx+=，即21

18、yx=16.函数 f(x)ln（x1），xt1)，则 t11，t21.当 t11 时，t1f(x)有一解；当 t21 时，t2f(x)有两解.综上，当 a1 时，函数 g(x)f(f(x)a 有三个不同的零点.第7页/共11页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（10 分）求下列关于 x 的不等式的解集（1）2x5x21 （4 分）【详解】：2x5x21，即2x5x210，即x7x20，解得7x2，因此不等式的解集为(7，2

20、0；当 0a1 时，原不等式的解集为x|xa2或 xa；当 a1 时，原不等式的解集为x|x1.（不写综上所述不扣分，每两个地方不写区间或集合扣 1 分）18.(12 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2coscosacbCB=.（1）求角B大小；（2）若BC的中点为D且3AD=，=BAD,请写出a与的关系式，并求出2ac+的最大值.【小问 1 详解】因为2coscosacbCB=，所以由正弦定理得2sinsinsincoscosACBCB=，所以2sincossincossincosABBCCB=+，所以()2sincossinsinABBCA=+=，的第8页/共11

21、页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司又0A，所以sin0A，所以1cos2B=，又0B，所以3B=；(5 分)【小问 2 详解】BAD=，则在ABD中，由3B=知203，由正弦定理得22sinsinsin33BDABAD=，所以2sinBD=，22sin3AB=，又2aBD=，所以4sina=，22sin3c=，(8 分）所以224sin4sin3ac+=+24sin4sin6sin2 3cos=4 3sin36=+=+，（10 分）因为203，所以5666+，所以1sin126+，所以2 324 3ac的焦距为 2，且经过点31,2P(1)求椭圆 C 的方程；(2)经

22、过椭圆右焦点 F 且斜率为()0k k 的动直线 l与椭圆交于 A、B 两点，试问 x 轴上是否存在异于点 F 的定点 T，使AFBTBFAT=恒成立？若存在，求出 T 点坐标，若不存在，说明理由 22【详解】（1）由椭圆 C的焦距为 2，故1c=，则221ba=，（1 分）又由椭圆 C经过点31,2P，代入 C得221914ab+=，得24a=，23b=（3 分）所以椭圆C的方程为：22143xy+=（4 分）（2）【详解】：根据题意，直线l的斜率显然不为零，令1mk=由椭圆右焦点()1,0F，故可设直线 l的方程为1xmy=+，（5 分）与22:143xyC+=联立得，()2234690m

23、ymy+=，则()()()22236493414410mmm=+=+，设()11,A x y，()22,B xy，122634myym+=+，122934y ym=+，（7 分）设存在点 T，设 T点坐标为(),0t，由AFBTBFAT=，得AFATBFBT=，又因为1sinsin21sinsin2TFATFBFTATATFAFATATFSBFSBTBTFFTBTBTF=，所以sinsinATFBTF=，ATFBTF=，所以直线 TA和 TB 关于 x轴对称，其倾斜角互补，即有0ATBTkk+=，（9 分）则：12120ATBTyykkxtxt+=+=，所以()()12210yxtyxt+=，所以()()1221110y mytymyt+=，()()1212210my ytyy+=，（10 分）即()22962103434mmtmm+=+，即()223103434mmtmm+=+，解得4t=，符合题意，即存在点 T()4,0满足题意.（12 分）

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