第2节 等差数列及其前n项和.doc

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1、 第2节等差数列及其前n项和考试要求1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系.知识诊断基础夯实【知识梳理】1.等差数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：an1and(nN*，d为常数).(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可知2Aab.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(

2、1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*).(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列an的前n项和，则数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列.(5)若Sn为等差数列an的前n项和，则数列也为等差数列.常用结论1.已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列，

3、且公差为p.2.在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值.3.等差数列an的单调性：当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d0时，an是常数列.4.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数).【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数.()答案(1)(2)(3)(4)解析(3)若

4、公差d0，则通项公式不是n的一次函数.(4)若公差d0，则前n项和不是n的二次函数.2.(选修二P15T4改编)已知等差数列an中，a4a820，a712，则a4_.答案6解析由题意可得解得a10，d2，故a4a13d6.3.已知等差数列an中，a1，d，Sn5，则n_.答案12解析由Snna1n(n1)d，得5nn(n1)，即n27n600，解得n12，或n5(舍去).4.在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a5_.答案90解析由a3a4a5a6a7(a3a7)(a4a6)a52a52a5a5，得5a5450，即a590.考点突破题型剖析考点一等差数列基本量的求解例1 (1)(

5、2023湖南名校联考)设等差数列an的前n项和为Sn，且2a7a114，则S5()A.15 B.20 C.25 D.30答案B解析设等差数列an的公差为d，则2(a16d)(a110d)a12d4，所以S55a1d5(a12d)5420，故选B.(2)(多选)(2023福州一模)已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，若SnS6，则()A.a10 B.d0C.a60 D.S130答案BD解析因为SnS6，所以S5S6且S7S6，即a6S6S50，a7S7S60，因为d0，即a6，a7不同时为0，所以da7a60，因为a60，即a15d0，所以a10，S1313a70，a6不一定为零，故选B

6、D.感悟提升1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.训练1 (1)(2023苏州、常熟抽测)已知等差数列an的前n项和为Sn，若a21，S612，则a8_.答案5解析设等差数列an的公差为d，则解得a1，d，所以a8a17d75.(2)(2022全国乙卷)记Sn为等差数列an的前n项和.若2S33S26，则公差d_.答案2解析由2S33S26，可得2(a1a2a3)3(a1a2)6，

7、化简得2a3a1a26，即2(a12d)2a1d6，解得d2.考点二等差数列的判定与证明例2 (2021全国甲卷)已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列an是等差数列；数列是等差数列；a23a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.解.已知an是等差数列，a23a1.设数列an的公差为d，则a23a1a1d，得d2a1，所以Snna1dn2a1.因为数列an的各项均为正数，所以n，所以(n1)n(常数)，所以数列是等差数列.已知an是等差数列，是等差数列.设数列an的公差为d，则Snna1dn2dn.因为数列是等差数列

8、，所以数列的通项公式是关于n的一次函数，则a10，即d2a1，所以a2a1d3a1.已知数列是等差数列，a23a1，所以S1a1，S2a1a24a1.设数列的公差为d，d0，则d，得a1d2，所以(n1)dnd，所以Snn2d2，所以n2时，anSnSn1n2d2(n1)2d22d2nd2，对n1也适合，所以an2d2nd2，所以an1an2d2(n1)d2(2d2nd2)2d2(常数)，所以数列an是等差数列.感悟提升1.等差数列的判定与证明的常用方法(1)定义法：对任意nN*，an1an是同一常数.(2)等差中项法：2an1anan2an为等差数列.(3)通项公式法：ananb(a，b是常

9、数)an为等差数列.(4)前n项和公式法：Snan2bn(a，b为常数)an为等差数列.2.若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项an，an1，an2，使得这三项不满足2an1anan2即可.训练2 (2021全国乙卷)记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项积，已知2.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求an的通项公式.(1)证明因为bn是数列Sn的前n项积，所以当n2时，Sn，代入2，可得2，整理可得2bn112bn，即bnbn1(n2).又2，所以b1，故bn是以为首项，为公差的等差数列.(2)解由(1)可知，bn(n1)，则2，所以Sn，当n1时，a1S1，当n2时

10、，anSnSn1.又a1不满足上式.故an考点三等差数列的性质及应用角度1项的性质例3 (1)设Sn为等差数列an的前n项和，且4a5a6a4，则S9等于()A.72 B.36 C.18 D.9答案B解析a6a42a5，a54，S99a536.(2)在等差数列an中，若a5a64，则log2(2a12a22a10)_.答案20解析由等差数列的性质知a1a10a2a9a3a8a4a7a5a64，则2a12a22a102a1a2a1025(a5a6)254，所以log2(2a12a22a10)log225420.角度2前n项和的性质例4 (1)(2023重庆一诊)已知等差数列an的前n项和为Sn，

11、且，则等于()A. B. C. D.答案D解析法一设等差数列an的公差为d，由题设，可得a1d，.法二由题意知S83S4，又S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列，且S8S42S4，故S12S83S4，故S126S4，S16S124S4，得S1610S4，所以.(2)(2023西安质检)若等差数列an和bn的前n项和分别是Sn和Tn，且，则_.答案解析因为等差数列an和bn的前n项和分别是Sn和Tn，且，所以.角度3前n项和的最值例5 等差数列an中，设Sn为其前n项和，且a10，S3S11，则当n为多少时，Sn最大？解法一设公差为d.由S3S11，可得3a1d11a1d，即da1

12、.从而Snn2n(n7)2a1，因为a10，所以0.故当n7时，Sn最大.法二易知SnAn2Bn(A0)是关于n的二次函数，由S3S11，可知SnAn2Bn的图象关于直线n7对称.由法一可知A0，故当n7时，Sn最大.法三设公差为d.由法一可知da1.要使Sn最大，则有即解得6.5n7.5，故当n7时，Sn最大.法四设公差为d.由S3S11，可得2a113d0，即(a16d)(a17d)0，故a7a80，又由a10，S3S11可知d0，所以a70，a80，所以当n7时，Sn最大.感悟提升1.项的性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.2.和的性质：在等差数

13、列an中，Sn为其前n项和，则(1)S2nn(a1a2n)n(anan1)；(2)S2n1(2n1)an.(3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列.3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)邻项变号法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)函数法，利用公差不为零的等差数列的前n项和SnAn2Bn(A0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.训练3 (1)(多选)(2023淄博调研)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2a8a11是一个定值，则下列各数也为定值的是()A.a

14、7 B.a8 C.S13 D.S15答案AC解析由题知a2a8a11a1da17da110d3a118d3(a16d)3a7，a7是定值，S1313a7是定值，故选AC.(2)(2023湖北十一校联考)已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和，若a2a5a80，S927，则数列an的公差是()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析由S9279a5，得a53，设数列an的公差为d，则a2a5a8(a53d)a5(a53d)0，解得d2.(3)(2023河南五市联考)在等差数列an中，1，且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn0时，n的最大值为_.答案13解析因为等差数列an的前n项和Sn有最小值

15、，所以d0，又1，所以a70，a80，且a7a80，又S1313a70，S147(a7a8)0，所以当Sn0时，n的最大值为13.分层精练巩固提升【A级基础巩固】1.(2023北京房山区调研)周髀算经中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则立夏当日日影长为()A.16.5尺 B.13尺 C.3.5尺 D.2.5尺答案D解析设十二节气自冬至日起的日影长构成等差数列an，则立春当日日影长为a49.5尺，春分当日日影长为a76尺，所以立夏当日日影长为a1

16、02a7a42.5尺.2.(2022开封二模)已知在公差为1的等差数列an中，aa3a6.若该数列的前n项和Sn0，则n()A.10 B.11 C.12 D.13答案D解析设等差数列an的公差为d，则d1.又因为aa3a6，所以(a14d)2(a12d)(a15d)，则a16，故Snna1d6nn2n0，解得n13.故选D.3.(2023安徽十校联盟联考)“数列an，bn都是等差数列”是“数列anbn是等差数列”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析若数列an，bn都是等差数列，设数列an，bn的公差分别为d1，d2，所以an1bn1(an

17、bn)(an1an)(bn1bn)d1d2为常数，所以数列anbn是等差数列.若数列anbn是等差数列，如anbn2n(n2n)n是等差数列，而此时an2n，bnn2n均不是等差数列，所以“数列an，bn都是等差数列”是“数列anbn是等差数列”的充分不必要条件.4.(2020全国卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3 699块 B

18、.3 474块C.3 402块 D.3 339块答案C解析设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成公差d9，a19的等差数列.由等差数列的性质知Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列，且(S3nS2n)(S2nSn)n2d，则9n2729，得n9，则三层共有扇面形石板S3nS2727993 402(块).5.(2023江西五市九校联考)设Sn是等差数列an的前n项和.若，则()A. B. C.2 D.3答案D解析3.6.(2023漳州检测)已知Sn是数列an的前n项和，a11，a22，a33，记bnanan1an2且bn1bn2，则S31()A.171 B.278 C.351 D.395

19、答案C解析由bn1bnan1an2an3(anan1an2)an3an2，得a1，a4，a7，是首项为1，公差为2的等差数列，a2，a5，a8，是首项为2，公差为2的等差数列，a3，a6，a9，是首项为3，公差为2的等差数列，所以S31(a1a4a31)(a2a5a29)(a3a6a30)111210310351.7.(多选)(2023石家庄质检)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足a54，S540，则()A.a106B.S1030C.当且仅当n6时，Sn取最小值D.a5a6a7a8a9a100答案AB解析设等差数列an的公差为d，由得解得所以an2n14，Snn213n，则a106，S1

20、030，故A，B正确；令an2n140，得n7，且a70，则n6或n7时，Sn取最小值，故C不正确；因为a5a6a7a8a95a70，所以a5a6a7a8a9a1060，故D不正确.8.设Sn为等差数列an的前n项和，若S61，S124，则S18_.答案9解析在等差数列中，S6，S12S6，S18S12成等差数列，S61，S124，1，3，S184成公差为2的等差数列，即S1845，S189.9.(2023韶关一模)设Sn为等差数列an的前n项和，a6a71，则S12_，若a70，则使得Sn0成立的最小整数n_.答案613解析根据an为等差数列，且a6a71，得S126(a6a7)6；若a70

21、，则S1313a70，又S120，所以使Sn0成立的最小整数n13.10.(2023昆明诊断)已知数列an满足a12，a24，an2an(1)n3，则数列an的前10项和为_.答案90解析由题意，当n为奇数时，an2an132，所以数列a2n1是首项为2，公差为2的等差数列，所以a2n122(n1)2n.当n为偶数时，an2an134，所以数列a2n是首项为4，公差为4的等差数列，所以a2n44(n1)4n.设数列an的前10项和为S10，则S10a1a2a10(a1a3a9)(a2a4a10)90.11.已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk110.(1)求a及k的值

22、；(2)设数列bn的通项公式bn，证明：数列bn是等差数列，并求其前n项和Tn.(1)解设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以Skka1d2k2k2k，由Sk110，得k2k1100，解得k10或k11(舍去)，故a2，k10.(2)证明由(1)得Snn(n1)，则bnn1，故bn1bn(n2)(n1)1，又b12，即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn.12.(2022全国甲卷)记Sn为数列an的前n项和.已知n2an1.(1)证明：an是等差数列；(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值.(1)证明由n2an1

23、，得2Snn22annn，所以2Sn1(n1)22an1(n1)(n1)，得2an12n12an1(n1)2ann1，化简得an1an1，所以数列an是公差为1的等差数列.(2)解由(1)知数列an的公差为1.由a4，a7，a9成等比数列，得aa4a9，即(a16)2(a13)(a18)，解得a112.所以Sn12n，所以当n12或13时，Sn取得最小值，最小值为78.【B级能力提升】13.(2023济南调研)已知等差数列an的前n项和为Sn.若1且a13，则()A.an2n1 B.ann1C.Sn2n2n D.Sn4n2n答案A解析设等差数列an的公差为d，Snna1d，a1d，即为等差数列

24、，公差为.由1知1，解得d2，故an2n1，所以Snn22n.14.(2023湖南名校联盟联考)设Sn是等差数列an的前n项和，a27，S52a1，当|Sn|取得最小值时，n()A.10 B.9 C.8 D.7答案C解析设等差数列an的公差为d，a27，S52a1，所以得所以Sn10n3，因为f(x)(3x223x)的零点为x0，x，所以|Sn|的最小值是靠近函数f(x)零点处的值，又|S1|10，|S7|7，|S8|4，所以当n8时，|Sn|取得最小值，故选C.15.(2023海口诊断)在等差数列an中，a25，a6与a8互为相反数，Sn为|an|的前n项和，TnnSn，则Tn的最小值是_.

25、答案6解析设等差数列an的公差为d.a6a80，a25，解得an6(n1)1n7.由an0得n7，由an0得1n7，当1n7时，Sn(a1a2an)；当n8时，Sn|a1|a2|an|(a1a2a7)(a8a9an)2S7(a1a2an)42.当1n7时，TnnSn.对于函数y，y，当1x7时，y0，y在1，7上单调递增，当1n7时，T16为最小值；当n8时，TnnSn42n，对于函数y42x，y42，当x8时，y0，函数y42x在8，)上单调递增，当n8时，T8176为最小值.综上所述，Tn的最小值是6.16.已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足a2a465，a1a518.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在常数k，使得数列为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由.解(1)设公差为d.an为等差数列，a1a5a2a418，又a2a465，a2，a4是方程x218x650的两个根，又公差d0，a2a4，a25，a413.an4n3.(2)由(1)知，Snn42n2n，假设存在常数k，使数列为等差数列.由2，得2，解得k1.n，当n2时，n(n1)，为常数，数列为等差数列.故存在常数k1，使得数列为等差数列.