考点41 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用 (3).docx

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1、 考点41 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、 选择题1.(2020新高考全国卷)（多选题）已知曲线C:mx2+ny2=1()A.若mn0,则C是椭圆,其焦点在y轴上B.若m=n0,则C是圆,其半径为nC.若mn0,则C是两条直线【命题意图】本题考查椭圆、双曲线和圆的方程,考查分类讨论思想,体现了数学抽象和逻辑推理等核心素养.【解析】选ACD. 因为mn0,则1n1m0,所以x21m+y21n=1表示焦点在y轴上的椭圆,故A项正确;当m=n0时,x2+y2=1n表示半径为1n的圆,故B项错误;当mn0时,由y2=1n,得y=1n,所以曲线表示两条直线,故D项正确.二、 填空题 无三、 解答题2

2、.(2020全国卷高考理科T20)已知A,B分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a1)的左、右顶点,G为E的上顶点,=8,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.【命题意图】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想,还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力,属于难题.【解题指南】(1)由已知可得:A-a,0,Ba,0,G0,1,即可求得=a2-1,结合已知即可求得:a2=9,问题得解.(2)设P6,y0,可得直线AP的方程为:y=y09x+3,联立直线AP的方程与椭圆方程即可求得点C的坐标,同理可得点D的坐标,即可表示出

3、直线CD的方程,命题得证.【解析】(1)依据题意作图如图所示:由题设得A(-a,0),B(a,0),G(0,1).则=(a,1),=(a,-1).由=8得a2-1=8,即a=3.所以E的方程为x29+y2=1.(2)设P6,y0,则直线AP的方程为:y=y0-06-(-3)x+3,即:y=y09x+3,联立直线AP的方程与椭圆方程可得:x29+y2=1,y=y09x+3,整理得:y02+9x2+6y02x+9y02-81=0,解得:x=-3或x=-3y02+27y02+9,将x=-3y02+27y02+9代入直线y=y09x+3可得:y=6y0y02+9,所以点C的坐标为-3y02+27y02

4、+9,6y0y02+9.同理可得:点D的坐标为3y02-3y02+1,-2y0y02+1,所以直线CD的方程为:y-2y0y02+1=6y0y02+9-2y0y02+1-3y02+27y02+9-3y02-3y02+1x-3y02-3y02+1,整理可得:y+2y0y02+1=8y0y02+369-y04x-3y02-3y02+1=8y063-y02x-3y02-3y02+1,整理得:y=4y033-y02x+2y0y02-3=4y033-y02x-32故直线CD过定点32,0.3.(2020新高考全国卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,且过点A(2,1).(1)求

5、C的方程;(2)点M,N在C上,且AMAN,ADMN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.【命题意图】本题主要考查椭圆方程及性质,直线与圆锥曲线的位置关系,定点问题等,意在考查数形结合思想与基本运算能力,体现了逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.【解析】(1)由题意得4a2+1b2=1,a2-b2a2=12,解得a2=6,b2=3.所以C的方程为x26+y23=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,代入x26+y23=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.于是x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=

6、2m2-61+2k2.由AMAN知=0,故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.将代入上式可得(k2+1)2m2-61+2k2-(km-k-2)4km1+2k2+(m-1)2+4=0.整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.因为A(2,1)不在直线MN上,所以2k+m-10,故2k+3m+1=0,k1(A(2,1)不在直线MN上).于是MN的方程为y=kx-23-13(k1).所以直线MN过点P23,-13.若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,-y1).由=0得(x1-2)(x1-2)+(y

7、1-1)(-y1-1)=0.又x126+y123=1,可得3x12-8x1+4=0.解得x1=2(舍去),x1=23.此时直线MN过点P23,-13.令Q为AP的中点,即Q43,13.若D与P不重合,则由题设知AP是RtADP的斜边,故|DQ|=12|AP|=223.若D与P重合,则|DQ|=12|AP|.综上,存在点Q43,13,使得|DQ|为定值.【方法技巧】定点问题的常见解法(1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点.(2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.4.(2

8、020江苏高考T18)在平面直角坐标系xOy中,若椭圆E:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2F1F2,直线AF1与椭圆E相交于另一点B.(1)求AF1F2的周长;(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求的最小值;(3)设点M在椭圆E上,记OAB与MAB的面积分别是S1,S2,若S2=3S1,求M的坐标.【命题意图】本题考查了(1)利用椭圆的定义求焦点三角形的周长;(2)求平面向量数量积最值问题;(3)面积比值转化为高之比,从而转化为平行线间的距离求出直线方程.考查数学运算、直观想象的核心素养.【解析】(1)AF1F2的周

9、长=2a+2c=6.(2)由椭圆方程得A1,32,设点P(t,0),则直线AP方程为y=321-t(x-t),令x=a2c=4得yQ=6-32t1-t=12-3t2(1-t),即Q4,12-3t2-2t,=t-4,12-3t2t-2,=t2-4t=(t-2)2-4-4,即的最小值为-4.(3)设O到直线AB的距离为d1,M到直线AB的距离为d2,若S2=3S1,则12|AB|d2=12|AB|d13,即d2=3d1,由题意可得直线AB的方程为y=34(x+1),即3x-4y+3=0,所以d1=35,d2=95.由题意得,M点应为与直线AB平行且距离为95的直线与椭圆的交点,设平行于AB的直线l为3x-4y+m=0,与直线AB的距离为95,所以|m-3|9+16=95,即m=-6或12.当m=-6时,直线l为3x-4y-6=0,即y=34(x-2),联立y=34(x-2)x24+y23=1,可得(x-2)(7x+2)=0,即xM=2yM=0,或xM=-27yM=-127,所以M(2,0)或-27,-127.当m=12时,直线l为3x-4y+12=0,即y=34(x+4),联立y=34(x+4)x24+y23=1,可得214x2+18x+24=0,0,所以无解.综上所述,M点坐标为(2,0)或-27,-127.