考点36 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系 (4).docx

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1、 考点36 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1.(2019全国卷理科T4)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:M1(R+r)2+M2r2=(R+r)M1R3.设=rR,由于的值很小,因此在近似计算中33+34

2、+5(1+)233,则r的近似值为()A.M2M1R B.M22M1R C.33M2M1RD.3M23M1R【命题意图】本题主要考查函数模型及其应用.【解析】选D.由题可知11+2rR+r2R2M1+R2r2M2=1+rRM1,把=rR代入得:11+2M1+12M2=1+M1,M22=1+-11+2M1=1+3-11+2M1=2+3+31+2M1,由题中给出的33+34+51+233,所以M2M13r3R3,r3M23M1R3,r3M23M1R.二、填空题2.(2019浙江高考T12)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆相切于点A(-2,-1),则m=,r=.

3、【命题意图】本题主要考查圆的方程,直线与圆的位置关系.【解析】设圆的标准方程为x2+(y-m)2=r2,由题意可得(-2)2+(-1-m)2=r2,|-m+3|22+(-1)2=r,解得m=-2,r=5.答案:-253.(2019江苏高考T10)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.【命题意图】主要考查基本不等式的运用,通过点到直线距离公式表示出距离,然后运用基本不等式求解即可.【解析】方法一:设Px0,x0+4x0(x00),由点到直线距离公式得d=x0+x0+4x02282=4,当且仅当2x0=4x0时,即x0=2时,取

4、“=”号.方法二:当直线x+y=0平移到与曲线y=x+4x相切位置时,切点Q即为到直线x+y=0的距离最小的点P.由y=1-4x2=-1,得x=2(-2舍),y=32,即切点Q(2,32),则切点Q到直线x+y=0的距离为2+3212+12=4.答案:4三、解答题4.(2019全国卷文科T21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上,求M的半径.(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.【命题意图】本题考查圆的方程的求解问题,圆锥曲线中的定点定值类问题.【解题指南】解决本定点定值问题的关键

5、是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程,进而根据抛物线的定义得到定值,进而验证定值符合所有情况,使得问题得解.【解析】(1)因为M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).因为M与直线x+2=0相切,所以M的半径为r=|a+2|.由已知得|AO|=2,又,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故M的半径r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.理由如下:设M(x,y),由已知得M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.由于,故可得x2+y2+4=(

6、x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.5.(2019江苏高考T18)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA.规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(

7、1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长.(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由.(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米).求当d最小时,P,Q两点间的距离.【命题意图】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.【解析】方法一:(1)过A作AEBD,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE为矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因为PBAB,所以cosPBD=sinABE=810=45.所以PB=BDcosPBD=1245=15.因此道路PB的长为15百米.(2)若P在

8、D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E外)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处,连接AD,由(1)知AD=AE2+ED2=10,从而cosBAD=AD2+AB2-BD22ADAB=7250,所以BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此,Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ=QA2-AC2=152-62=3

9、21.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当PBAB,点Q位于点C右侧,且CQ=321时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+321)百米.方法二:(1)如图,过O作OHl,垂足为H.以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为34.因为PBAB,所以直线PB的斜率为-43,直

10、线PB的方程为y=-43x-253.所以P(-13,9),PB=(-13+4)2+(9+3)2=15.因此道路PB的长为15百米.(2)若P在D处,取线段BD上一点M(-4,0),则MO=45,所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),所以线段AD:y=-34x+6(-4x4).在线段AD上取点M3,154,因为OM=32+154232+42=5,所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d15.

11、再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ=(a-4)2+(9-3)2=15(a4),得a=4+321,所以Q(4+321,9),此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当P(-13,9),Q(4+321,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+321-(-13)=17+321.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+321)百米.【题后反思】方法一:(1)过A作AEBD,垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长;(2)分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.(3)先讨论点P的位置,然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时,P,Q两点间的距离.方法二:(1)建立平面直角坐标系,分别确定点P和点B的坐标,然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长;(2)分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.(3)先讨论点P的位置,然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时,P,Q两点间的距离.