考点41 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用 (4).docx

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1、 考点41 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、选择题1.(2019北京高考理科T8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论:曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2;曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中,所有正确结论的序号是()A.B.C.D.【命题意图】考查曲线与方程,距离问题,面积问题,对称性等,意在考查知识的运用能力,推理能力,运算能力,培养学生的逻辑推理能力与运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】选C.对,令x=0得y=1,即曲线C过整点(0,

2、1);令x=1得1+y2=1+y,y=0,1,即曲线C过整点(1,0),(1,1),又由曲线关于y轴对称知,曲线C过整点(-1,0),(-1,1),结合图形知,曲线C不过其他整点,所以正确;对,只需考虑第一象限内的点,即x0,y0,设C上的点(x,y)到原点的距离为d,则x2+y2=1+|x|y=1+xy1+x2+y22,x2+y22,d2,所以正确;对,由知,SOAB=1211=12,S正方形OBCD=11=1,所以S阴影=21+12=3,所以心形区域面积大于3,错误.二、解答题2.(2019全国卷理科T21)已知曲线C:y=x22,D为直线y=-12上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为

3、A,B.(1)证明:直线AB过定点.(2)若以E0,52为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.【命题意图】本题考查直线、圆及其位置关系的应用,考查考生数学运算、逻辑推理的求解综合问题的能力.【解析】(1)设Dt,-12,A(x1,y1),则x12=2y1.由于y=x,所以切线DA的斜率为x1,故y1+12x1-t=x1.整理得2tx1-2y1+1=0.设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.所以直线AB过定点0,12.(2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+12.由y=tx+12,y=x22,可得x2-

4、2tx-1=0.于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,|AB|=1+t2|x1-x2|=1+t2(x1+x2)2-4x1x2=2(t2+1).设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,则d1=t2+1,d2=2t2+1.因此,四边形ADBE的面积S=12|AB|(d1+d2)=(t2+3)t2+1.设M为线段AB的中点,则Mt,t2+12.由于,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=1.当t=0时,S=3;当t=1时,S=42.因此,四边形ADBE的面积为3或42.3.(2019全国卷文科T21)

5、已知曲线C:y=x22,D为直线y=-12上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点.(2)若以E0,52为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程.【解题指南】(1)表示出直线AB的方程,求出直线所过的定点.(2)利用根与系数的关系及已知条件,分别表示出,利用二者的关系解出参数后求圆的方程.【解析】(1)设Dt,-12,A(x1,y1),则x12=2y1.由于y=x,所以切线DA的斜率为x1,故y1+12x1-t=x1.整理得2tx1-2y1+1=0.设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.故直线AB的方程为2tx-2y+1=

6、0.所以直线AB过定点0,12.(2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+12.由y=tx+12y=x22,可得x2-2tx-1=0.于是x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1.设M为线段AB的中点,则Mt,t2+12.由于,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=1.当t=0时,|=2,所求圆的方程为x2+y-522=4;当t=1时,|=2,所求圆的方程为x2+y-522=2.4.(2019北京高考文科T19)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程.(2)设O为

7、原点,直线l:y=kx+t(t1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若|OM|ON|=2,求证:直线l经过定点.【命题意图】本小题主要考查椭圆方程及性质,直线与圆锥曲线位置关系,定点问题等,意在考查数形结合思想与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.【解析】(1)由已知,c=1,b=1,又a2=b2+c2,所以a2=2,所以C的方程为x22+y2=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由y=kx+t,x2+2y2=2,消去y得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-2=0,因为直线与椭圆有两个交点

8、,所以必须0,x1+x2=-4kt2k2+1,x1x2=2t2-22k2+1,直线AP方程为y=y1-1x1x+1,与y=0联立得x=-x1y1-1,即M-x1y1-1,0,同理,N-x2y2-1,0,(y1-1)(y2-1)=(kx1+t-1)(kx2+t-1)=k2x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2=(t-1)22k2+1,所以|OM|ON|=-x1y1-1-x2y2-1=x1x2(y1-1)(y2-1)=2(t2-1)(t-1)2=2,所以|(t+1)(t-1)|=|t-1|2,t=1(舍去)或0,当t=0时,式0,符合题意,所以直线l方程为y=kx,所以直线l过定点(0

9、,0).5.(2019浙江高考T21)(本小题满分15分)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p0)的焦点,过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线上,使得ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F右侧.记AFG,CQG的面积为S1,S2.(1)求p的值及抛物线的标准方程.(2)求S1S2的最小值及此时点G的坐标.【命题意图】本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.【解析】(1)由题意得p2=1,即p=2.所以,抛物线的标准方程为y2=4x.(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重

10、心G(xG,yG).令yA=2t,t0,则xA=t2.由于直线AB过F,故直线AB的方程为x=t2-12ty+1,代入y2=4x,得y2-2(t2-1)ty-4=0,故2tyB=-4,即yB=-2t,所以B1t2,-2t.又由于xG=13(xA+xB+xC),yG=13(yA+yB+yC)及重心G在x轴上,故2t-2t+yC=0,得C1t-t2,21t-t,G2t4-2t2+23t2,0.所以,直线AC的方程为y-2t=2tx-t2,得Qt2-1,0.由于Q在焦点F的右侧,故t22.从而S1S2=12|FG|yA|12|QG|yC|=2t4-2t2+23t2-1|2t|t2-1-2t4-2t2

11、+23t22t-2t=2t4-t2t4-1=2-t2-2t4-1.令m=t2-2,则m0,S1S2=2-mm2+4m+3=2-1m+3m+42-12m3m+4=1+32.当且仅当m=3m,即m=3时等号成立,所以S1S2取得最小值1+32,此时G(2,0).6.(2019江苏高考T17)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1,已知DF1=52.(1)求

12、椭圆C的标准方程.(2)求点E的坐标.【命题意图】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.【解题指南】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程.(2)方法一:由题意首先确定直线AF1的方程,联立直线方程与圆的方程,确定点B的坐标,联立直线BF2与椭圆的方程即可确定点E的坐标;方法二:由题意利用几何关系确定点E的纵坐标,然后代入椭圆方程可得点E的坐标.【解析】(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.又因为DF1=52,AF2x轴,所以DF2

13、=DF12-F1F22=522-22=32,因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.因此,椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)方法一:由(1)知,椭圆C:x24+y23=1,a=2,因为AF2x轴,所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=4.因为点A在x轴上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.由y=2x+2,(x-1)2+y2=16,得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=-115.将x=-115代入y=2x+2,得y=-125,因此B-115,-125.又F2(1,0),所

14、以直线BF2:y=34(x-1).由y=34(x-1),x24+y23=1,得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=137.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1.将x=-1代入y=34(x-1),得y=-32.因此E-1,-32.方法二:由(1)知,椭圆C:x24+y23=1.如图,连接EF1.因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,从而BF1E=B.因为F2A=F2B,所以A=B,所以A=BF1E,从而EF1F2A.因为AF2x轴,所以EF1x轴.因为F1(-1,0),由x=-1,x24+y23=1,得y=32.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-32.因此E-1,-32.