2021年山东省淄博市高考数学模拟试卷（一模）（解析版）.pdf

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1、2021年山东省淄博市高考数学模拟试卷（一模）一、单项选择题（共 8 小题）.1.已知集合 A=x|0W x W 2,集合 B=x|x 2 0,b 0）是黄金双曲线，则%等 于b()A V 5-1 R 3-A/5C.V 5-2D.9-4 2 2246.若等差数列%的前项和为s“，则“S2020 0,S2021 B.aabl C.lgbulgah D.a b三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.已 知 某 圆 锥 底 面 圆 的 半 径 r=l,侧 面 展 开 图 是 一 个 半 圆，则此圆锥的体积为.1 4 .若抛物线V=2 p x (p 0)上的点A (x o,-2)到

2、焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，则p等于.1 5 .已知等比数列 a”中，首项“1=2,公比4 1,ai,。3是函数/(无)=J。-6/+3 2 的O两个极值点，则数列 斯 的前9项和是.1 6 .已知函数f(x)=旧+2 +3在 1,2 上的最大值是6,则实数。的值是.四、解答题：本题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7 .在a s i n C=cco s (A-,J s i n 匕=s i n A,co s 2 A+3 co s 4=1 这三个条件中6 2任选一个，补充在下面问题中，若问题中的 A B C存在，求出其面积；若不存在，说明理由.问题：是否存

3、在 A B C,它的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2、/,b+c=4，-？其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且各列的公比都相等，若a u =,31,。13。234 3 3=1，432+433+434=.2(1 )求 ain；(2)设 S,=a 1 1+02 2+03 3+ann,求 S,.1 9.已知在三棱柱A B C-4 B 1 G中，4 B=8C=B 8i=4,N A B C=1 2 0。，侧棱与底面垂直,点M,N分别是棱C C”4功的中点.(1)求三棱柱A B C-外接球的表面积；(2)设平面A B C截三棱柱ABC-。的外接球面所得小圆的圆心为O,求直线

4、0以与平面B M N所成角的正弦值.2 0.某市会展公司计划在未来一周组织5天广场会展.若会展期间有风雨天气，则暂停该天会展.根据该市气象台预报得知，未来一周从周一到周五的5天时间内出现风雨天气情况的概率是：前 3天均为，后 2天均为金（假设每一天出现风雨天气与否是相互独立的）.（1）求未来一周从周一到周五5天中至少有一天暂停会展的概率；（2）求这次会展活动展出的平均天数.（结果精确到0.1）2 22 1.已知4,A 2 是椭圆E：七百=1 （Q Q 0）长轴的两个端点，点 M（1,2）在椭圆E 上，直线M 4 2 的斜率之积等于-4.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设 m0,直线/的方程为

5、y=-7,若过点尸（0,机）的直线与椭圆E 相交于A,B 两 点,直线M A,MB与/的交点分别为H,G,线段G H的中点为N.判断是否存在正（1）证明：a 0)成立，求实数。的最大值.参考答案一、单项选择题（共8小题）.1 .己知集合4=0 0 W 忘2 ,集合8=居 刈，则AC8=()A.(1,2 B.(0,1)C.0,1)D.(1,2)解：；A=x|0W x W 2 ,B=x|0。，/a b260）是黄金双曲线，则 三 等 于（）A.2Z L1 B.C.2 2 2解：由 题 意 可 知 区 避 土，2c 2.c _ 遥+1 -=-,a 2即3星,9-血LJ.-4.卫。遥+1 a，一代-b

6、2 丁故选：A.6.若等差数列 为 的前项和为 S?,则“S 2 0 2 0 X）,S 2 0 2!0 是 0 0 1 0 4 1 0 1 1 0,S 2 0 2 1 V 0,等差数列 如 的前项和为S,一（a 1 ）*20 20 （a 1 +a n n oi）X 20 21所*以-1 _ _ 20 20-Q,_ 1 _ _ 20 21-0,。1+2021=2 1 0 1 1 O,a i o u V O,且。1010|。10川,所以 4101041011 V 0,当 10 1M0 11 VO 时，得 41O 1O O,410 11 V O,或 Qi oi oV O,1 0 1 1 0；故 S

7、2 0 2 0 X）,S 20 21V 0”可以推出“410 310 11 VO”，但“410 310 11 V O 不能推出 S 2 0 2 0 0，S 2 0 21V 0”，所 以“S20 20 0,S20 2 1 V 0是 I03 1 01 1 V0”的充分不必要条件.故选：B.7.已知等边三角形ABC的边长为6,点尸满足直+2强-&则|还|=（）A.零 B.2 y c.373 D.蚯解：因 为 而+2而-五=备所以笆+2（PA+A B）-（血 +菽）=3，,1 1 整理得，PA=yAC-AB.由等边三角形ABC的边长为6,得 瓦 菽=6 X 6X/=1 8,n 1 上时，四棱锥S-AB

8、C。的体积最大值是2D.存在a 的值使得点B 到面SFC的距离为退解：对于 4,取 SC 中点 P,取 SB 中点 Q,连接 P。、PD、QFD,PQ/BC,P Q B C,因为A8CQ为矩形，F 为 AQ 中点，所以。尸8C,D F=*B C,所以PQ。尸且 PQ=DF,所以尸 QF,又因为。Fu平面BSF,平面8 S F,所以PO平面B S F,所以A 对；对 于 8,当，落在4。上时，点与点尸重合，此时为RTASEF的一直角 边,斜边S E=J,所以E F 的取值范围是(0,、/与)，不 是(0,所以B 错；对 于 C,当 H 落在AD 上时，点 H与点、F 重合，此时EF=a,SF=V

9、 s E2-E F 2=7 3-a2-所 以 四 棱 锥 S ABCD 的 体 积 为V-SA B C D S F=y 2-a-7 3-a2 4 a2+l3a 2 =1,所以四棱锥S-ABC。的体积最大值是1,不是2,所以C 错；对于。，方 法 1：取 SC中点P,PB1.SC,P B=M，当 SFLSE时，又因为SF_L2C,所以SF_L平面SBC,因为8Pu平面S B C,所以8 P L S F,又因为8PLSC,又因为S C C S F=S,所 以 平 面 S F C,于是PB长为点B 到平面SFC的距离，因为所以存在。的值使得点B 到面SFC的 距 离 为 所 以。对.方法2：建立如图

10、所示的空间直角坐标系，设NSEF=6,0e(0,n),S(0,0,F(0,-a+yf2c o s 0),C(-1,yf2cosQ,0),B Cl,A/COS。，0),FQ (-1,a,0),在=(1,-Jocose,-/3sin9),前=(-2,0,0),设平面FSC的法向量为1=(x,y,z),z _:X ，令 y=s in 0,1=(y sin8,“sinO,C S *n=x-V 3C 0 S 8 y+V 3 s in0 z=0百cos 0 -a)，箴|所以点B到平面SFC的距离为n2百as in 87 a2(3 sin26+1)-2V3acos6+3化简得：a2 c o s 2 8-2

11、j5 a c o s 8 +3=0，即 cosO=，此时 S/USE,a所以存在a的值使得点B到面S F C的 距 离 为 即D对.10.快递行业作为邮政业的重要组成部分，具有带动产业领域广、吸纳就业人数多、经济附加值高、技术特征显著等特点.它将信息传递、物品递送、资金流通和文化传播等多种功能融合在一起，关联生产、流通、消费、投资和金融等多个领域，是现代社会不可替代的基础产业.如图是国家统计局公布的2020年下半年快递运输量情况，请根据图中信息选出正确的选项（）A.2020年下半年，每个月的异地快递量都是同城快递量的6倍以上B.2020年10月份异地快递增长率小于9月份的异地快递增长率C.20

12、20年下半年，异地快递量与月份呈正相关关系D.2020年下半年，同城和异地快递量最高均出现在11月解：A选项：2 0 2 0年下半年，每个月的异地快递量都是同城快递量的6倍以上，而7月份异地快递量都是同城快递量的型当光5.5 4.3%,599604.62 0 2 0年1 0月份异地快递增长率小于9月份的异地快递增长率，故选项B正确；选 项C：由图可知随着月份的增长，异地快递量在7月 到1 1月都是增长，而1 2月开始下降，不是正相关，故选项C不正确；选 项。：由图可知，2 0 2 0年下半年，同城和异地快递量最高均出现在1 1月，故选项。正确.故选：BD.1 1.己知函数/(x)=2，+2,则

13、下列结论正确的是()A.f(j c)是偶函数 B.f(x)是增函数C./(x)最小值是2 D./(x)最大值是4解：函数/(X)=2*+2、的定义域为R,且/(-x)=f(x),则函数为偶函数，故A正确；V/(l)=/(-1)=,.函 数 不 是 单 调 函 数，故8错误；/(%)=2，+2。2后 二 三=2，当且仅当2，=2汽 即x=0时等号成立，.V(%)最小值是2,故C正确；当x f+8时，f(x)2A+2 +错误.故选：A C.1 2.已知a,bER,且0 a l B.aabh C.lgbalgab D.口+2a b解：由 a,b e R,且 0 q，故4正确；a b1对于8,公 济不

14、成立，例如#,：.lgbIga。,故 C正确;对于。，+A/2不一定成立，例如故。错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分.1 3 .已知某圆锥底面圆的半径r=l,侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为 返工.一 3 一解：.圆锥的侧面展开图是一个半圆，圆锥的底面周长为：2 ir,即侧面展开图半圆的弧长是2m半圆的半径就是圆锥的母线：2,圆锥的高为：如2 _、2=炳,，圆锥的体积=1兀-12.=，Z L.3 3故答案为：返 汉.31 4 .若抛物线)2=2 p x (p 0)上的点A (皿-2)到焦点的距离是点A到 y轴距离的3 倍,则p 等于，我解：抛物线的准

15、线方程为x=-由抛物线的性质可得=3xo所以九 0=看(。，而 A 在抛物线上，即 4=2 p%o ，由可得：=2 加,故答案为：2 2-1 5.已知等比数列 中，首项0=2,公比夕 1,。2,。3 是函数f(x)=4 3 -6 N+3 2 x 的两个极值点，则数列 斯 的前9项 和 是 1 0 2 2 .解：函数/(x)=x3-6x2+32x,则/(x)=x2-12x+32,3因为欧，。3是函数/(x)=g 3 一 6N+32%的两个极值点，所以6,。3是方程N-12r+32=0的两个根，则Va+a q=12，解得a2a3=32a；,=4或，a3=8a2=8a3=4又等比数列伍”中，公比41

16、,所以2=4 a、,所以 4=3=2,a3=8 a2又首项m=2,所以 59=.2(1-29)-022.1-2故答案为：1022.1 6.已知函数/(X)=b3+2叶川在 1,2 上的最大值是6,则实数a 的 值 是-9 或-6.解：令 g(x)=x3+2-v+a,得 g，(x)=3x2+2xln20,则函数g(x)在 1,2 上是增函数，可得g(1)Wg(x)Wg(2),即 a+3Wg 即)Wa+12,当。2-3 时，g(x)2a+320,/(%)=g(x)=g(x)Wa+12,由 a+12=6,解得 a=-6V-3,舍去；当。V-3 时，若 g(x)2 0,则 0|g(x)|W+12,若

17、g(x)0,则 0V|g(x)|W-。-3,故。+12=6 或-3=6,解得 a=-6 或 a=-9.当。=-6 时，|a+3|=3V+1 2=6,当。=-9 时，。+12=3V9-3=6,故。=-6 或。=-9 均符合题意.故答案为：-9 或-6.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.jr R+C1 7.在asinC=ccos(4 ),=sin A,cos2A+3cosA=1 这三个条件中6 2任选一个，补充在下面问题中，若问题中的AB C存在，求出其面积；若不存在，说明理由.问题：是否存在A BC,它的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且 a=

18、2 ,6+c=4 加，-？j r解：若选择条件，t zs i nC=c c os (A-彳),J T由正弦定理可得s i nA s i nC=s i nG c os (4-),6由于 s i n。关0,可得 s i nA=c os (A -)=Y c os A+工s i nA,化简可得s i nA=Y c os A,6 2 2 2 2即 t a nA =F，j r因为A C(0,n),可得A=，3由余弦定理 2=+/-儿=(b+c)2 -3 bc,解得bc=1 2,从而解答b=c=?M，所以 SBC=hcsinA=3/3.若选择条件，因为J s i n告 siM 即 c os ，=s i M利

19、用二倍角的正弦公式可得：由于c o s A#0,可得Si n&=返，2 2 2因为A W (0,7 1),可得金A =1K1，即人=97 T一，2 3 3由余弦定理 a2=b2+c2+bc=(b+c)2-be,解得 bc=3 6,由 b+c=4,可得一 4 扬+3 6=0,由 解得 4 2 3=1，3 1所以的2+。33+。34=3仍3=，解得 03 3 =,2 2则qa33a2312由 a2 3=ayq(a u+2 d)q=(1+2 J)=1,解得 d=2 2因此 4 i=ii+(-1)d+(n -1).2 2 2(2)为=0/r=()1=(r t+1)()”,2 2 2可得 5“=2 工3

20、()2+(M+1)(A),2 2 2两边同时乘以可得；2S“=2()2+3()3+(+1).(A)/I,2 2 2 2上述两式相减得：s =i+()2+()3+(A)-(+)2 2 2 2()n+l2(1-()n)2 工、2，1-+-(M+1)()+|2,1 2=L 1-()n-(t t+1)(工)-I2 2 23 1 1=(+3)()，2 2 2因此 S“=3-(n+3)()21 9.已知在三棱柱AB C-4B G中，A B=BC=BB,=4,ZABC=2 0,侧棱与底面垂直,点M,N分别是棱CC”的中点.(1)求三棱柱A BC-AIBIG外接球的表面积；(2)设平面A B C截三棱柱A B

21、C -的外接球面所得小圆的圆心为0,求直线OBy与平面8 M N所成角的正弦值.解：(1)在平面A B C作N A B C的角分线B 0,交4 c于尸点，使8 O=A B=4,连接4 0、co,在平面ABC 作NAIBICI的角分线31 01,交AG于 Q 点，使5。=4,连接A。、C。,取O i O中点E,E点即为三棱柱AB C-48 G中外接球的球心，设半径为R,因为 EA=EB=EC=EAi=EBi=EC i,R2=42+22=2 0,所以外接球的表面为4 nR2=80m(2)平面A 8C截三棱柱A BC-A l l。的外接球面所得小圆即为A A B C外接圆，其圆心为点。，建立如图所示

22、的空间直角坐标系，各点坐标如下：4(0,-2西 4),Bi (-2,0,4),N (-1,-4),Ci (0,2西 4),C(0,2 y,0),M(0,2 y,2),O(2,0,0),8(-2,0,0),丽=(-4,0,4),g j j j=(2,2 ,2),加=(1，-，4),设平面8 M N的法向量为=(x,y,z),BM -n=2x+2V3y+2z=0BN*n=x-V3y+4z=0令，z=2,1=(-5,2),所以直线OBi与平面B M N所成角的正弦值为lO B/n llO B7IInl28 _ 74V2*W 2 8Tz20.某市会展公司计划在未来一周组织5天广场会展.若会展期间有风雨

23、天气，则暂停该天会展.根据该市气象台预报得知，未来一周从周一到周五的5天时间内出现风雨天气情况的概率是：前3天均为，后2天均为金（假设每一天出现风雨天气与否是相互独立2 5的）.（1）求未来一周从周一到周五5天中至少有一天暂停会展的概率；（2）求这次会展活动展出的平均天数.（结果精确到0.1）解：（1）记“未来一周从周一到周五5天中至少有一天暂停会展”为事件A,则未来一周5天展出会展的概率为2=肃，：.P(A)=1 -。=卫 区200(2)设随机变量X表示会展展出的天数，则X=0,1,2,3,4,5,2=。)=4)3电2=奈P(X=D=C J(1)3以*)2+a/)3塌X导奈P (X=2)=C

24、2 (1)3X (1)2+CJ (1)3 X C J x|X-|H-(1)3 X (j-)2嚼,P (X=3)=(-1)3 X C 1)2+C (1)3 X C J X-|X-|C J (1)3 X (1)2嚼,P(X=4)=4)3C X C 4)3X R)2=蒜，N 乙b 3 0 N b ZUUP(X=5)200所以 E(X)=lX +2X -+3 X-+4 X25 200 20011200+5 X 高=1.9,200即这次会展活动展出的平均天数为L 9天.2 22 1.已知4,4是椭圆E：2 5 f=1 (匕0)长轴的两个端点，点M(1,2)在椭圆E上，直线M 4i,M A2的斜率之积等于

25、-4.(1)求椭圆E的标准方程;(2)设，0,直 线/的 方 程 为 =-机，若过点尸(0,m)的直线与椭圆E相交于A,B两点，直线M A,MB与/的交点分别为“，G,线段GH的中点为N.判断是否存在正数，使直线MN的斜率为定值，并说明理由.解：(1)由已知4 (0,-a),A2 (0,a),因为点M(1,2)在椭圆上,直线M4,肠42的斜率之积等于-4,所以MN AA】*nkMH AA=:r-X=4,解得。2=8,z1-Q 1-04 1又-y F=l,所以 6=2,a b2 2所以椭圆的标准方程为，上=1；8 2(2)设A(xi,yi),B(及，”)为过点厂的直线与椭圆E的交点,若直线的斜率

26、存在，设直线的方程为丫=丘+，y=k x+m联立方程，y2 x2 ,消去y整理可得:(4+庐)x1+2 mkx+m2-8=0,-2 mk -8帆以x 1+x/-7,x4+k2 4+k2设，(X3,-m)，G(X4,m),因为M,A,”三点共线，即 位I I M H-所 以(0-1)(yi -2)=(-/H-2)(xi -1),由已知可得，点 M 不在直线y=f c v+加上，且=履 1+，(m+2)(xi-l)所 以XQ二-二 一+1，同理可得必3 k X j+m-2 4(m+2)(x2-l)k x 2+i n-2+1 所以九3 +X4二(m+2)(x j -1)k x i +m-2(m+2)

27、(x2-l)-+2k x2+m-2(m+2)2 k X X2+(m-2-k)(x +、2)+4-2 mk 2 X x2+k(m-2)(x+x2)+(m-2)2将 +x；=N 吗,x 代入上式化简可得：4+k2 4+k2*/乂 4=谛+2)(f 2)所以点N的坐标为(*)4 2)+1，-曲，3 4 k-m+2 2(k-m+2)当 k-2 W 0 时，直线 M N 的斜率 41m=/1一1+2,)二 )_呱 k-2 k-2因为直线MN的斜率与k的取值无关，所以加-4=0,则机=4,此时。，=_ 2,若果点尸的直线的斜率不存在，此时A,B为幡圆E 的长轴端点，不妨设A(0,2 2)-B(0,-2&)

28、,因为M,A,，三点共线，”的坐标为(2 2+1)-加)，同理G 的坐标为(-+1此时线段G H的中点为N (耳 生，-i r),-m-2所以 M N m+4T-1二 一 2也满足要求,综合可知：存在m=4 使得直线MN的斜率为定值-2.2 2.已 知 数 列 斯=(1+)(n e N*).n(1)证明：(止N*,e 是自然对数的底数)(2)若不等式(1+工)(W N*,a 0)成立，求实数。的最大值.n解：(1)证明：要 证(1+工)，ye(吒N*)成立，两边取对数，只需证明/(1+-)工成立，n n可令x=2，0 x W l,n构造函数/(x)=ln(1+x)-x (0 x W l),即只

29、需证明/(x)在(0,1 小于0,由于/(x)=-1=-在 区 间(0,1 上，/(x)0,f (x)递减,x+1 x+1且/(0)=0,所以在区间(0,1 ,f(x)0,所以不等式(1+)0)两边取对数，只需不等式/(1+-)W 一成立，n n+a可令尢=1，O V x W l,构造函数 g (x)=ln(l+x)-(O V x W l),n ax+1(l+工)”+“W e (”e N*,a 0)成立，等价于在区间(0,1 上g (x)WO恒成立.n廿/z、x(2 a-1)x其中 g (x)二 -(1+x)(ax+1)*i-2a由分子21 2+(2。-1)x=0,得其两个实数根为川=0,X2 =二，a当 时，X 2 0,在 区 间(0,1 上，g (x)0,g(x)递增，由于 g (x)g(0)=0,不等式不成立.当0-时，2 (0,1),在 区 间(0,X 2)上，g (x)0,g(X)递增，且 g (0)=0,只需 g (1)=ln2 -0,a+1可得-1反士-1时不等式成立.l n 2当 O V a W j-1 时，X 22l,在 区 间(0,1)上，g(x)W O,g(x)递减，且g (x)W g (0)=0,不等式恒成立.综上，不 等 式(1+工)W e (MGN*,a 0)成立，实数。的 最 大 值 为 二-I.n l n 2