2021年上海市崇明区高考数学一模试卷.pdf

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1、2021年上海市崇明区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4 分，7-12每 题 5 分，共 54分）1.（4 分）已知集合4=1,2,3 ,集合 8=3,4,则 A B=.2.（4 分）不 等 式 七 1 080）的两条渐近线分a-b别交于。、E 两点，若 AODE的面积为1,则双曲线C 的焦距的最小值为一.11.（5 分）已知函数y=/（x）,对任意x e R,都有/（x+2）f（x）=A/为 常 数），且当xe0,2时，/（x）=x2+l,则/（2021）=.12.（5 分）已知点。为圆0:9+=4 的弦MN的中点，点A 的坐标为（1,0）,且相和=1,则OA O D的

2、 最 大 值 为.二.选择题（本大题共4 题，每题5 分，共 20分）13.（5 分）若。0-B.-a b C.a2 b2 D.a3 Z?1a b14.（5 分）正方体上的点P、Q、R、S是其所在棱的中点，则直线尸。与直线RS异面的图形是（）s15.(5 分)设 q 为等比数列，则”对于任意的?w M,是“0 为递增数列”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件16.(5 分)设 函 数 y=f(x)的定义域是R,对于下列四个命题：(I)若函数y=/(x)是奇函数，则函数y=/(/()是奇函数；(2)若函数y=/(x)是周期函数，则函数y=/(/(x)

3、是周期函数：(3)若函数y=/(x)是单调减函数，则函数y=/(/(x)是单调减函数；(4)若 函 数 y=/(x)存在反函数丫 =广(幻，且 函 数 y=/(x)-_ T(x)有零点，则函数y=/(x)-x 也有零点；其中正确的命题共有()A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个三.解答题(本大题共5 题，共 14+14+14+16+18=76分)17.(14分)如 图，已 知 平 面 8C),B C LC D,AD与平面8 8 所成的角为30。，且AB=BC=2.(1)求三棱锥A-3C Z)的体积；(2)设M 为 3。的中点，求异面直线4)与 C例所成角的大小(结果用反三角函数值表示)

4、.18.(14 分)已知函数/(x)=gsin2x-6cos2x.(1)求函数y=/(x)的最小正周期；(2)在A 4 8 c中，角A、8、C的对边分别为、6、c,若锐角A满足/(A)=L史，C =,2 6c=2,求AABC的面积.19.(14分)研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示，当xe 0,16时，曲线是二次函数图象的一部分；当xe16,40时，曲线是函数y=80+log0.(x+a)图象的一部分，当学生的注意力指数不高于6 8时,称学生处于“欠佳听课状态”.(1)求函数y=/(x)的解析式；(2)在一节40分钟的网课中，学

5、生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(精确到1分钟)20.(1 6分)已知椭圆:一+丁=1的左右顶点分别为A、B,P为直线x=4上的动点,4直线P A与椭圆r的另一交点为C,直线尸3与椭圆r的另一交点为D.(1)若点C的坐标为(0,1),求点P的坐标；(2)若点尸的坐标为(4,1),求 以 为 直 径 的 圆 的 方 程；(3)求证：直线C)过定点.21.(18分)对于数列若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为P数列.(1)若数列1,2,x,8是P数列，求实数x的取值范围；(2)设数列q,%,%,，是首项为-1、公差为d的等差数列，若该数列是P数列，求”的取值范围；(3)设无穷

6、数列 4是首项为。、公比为q的等比数列，有穷数列 、,是从“中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，起所有项和分别记为工、T2,求证：当。0且7；=4时，数列 4 不是P数列.2021年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题(本大题共12题，1-6每题4 分，7-12每题5 分，共 54分)1.(4 分)已知集合 A=1,2,3 ,集合 8 =3,4 ,则 A B =_ 3【解答】解：因为集合人=1,2,3),集合3 =3,4,所以4 B =3 故答案为：3 .2.(4分)不等式上【0的解集是x+2【解答】解：3 0,x+2(X-1)(X 4-2)0,解得：-2 x )A因

7、为4=(x _ l,y),0 D=(x,y),所以(x l)?+/+/+/=5,整理得(x g)2 +y2=2,即为点。(匚y)的轨迹方程，所以。4。=若,+。=2,故O A OO的最大值为2.二.选择题(本大题共4 题，每题5 分，共 20分)1 3.(5 分)若 a0 -B.-ab C.a2 b2 D.a3 b3a b【解答解：a Q =尸。)，且 函 数 y =f(x)-广匕)有零点，则函数y=/(x)-x 也有零点；其中正确的命题共有()A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个【解答】解：若 y =/(x)是奇函数，则 f(-x)=-f(x),/(/(-x)=/(-/(x)=-/(/W

8、)则 y =f(f3)也是奇函数，故正确；若 y =/(x)是周期函数，则/(x +T)=x),/(/(x +T)=/(/(%),则 =/(/X x)也是周期函数，故正确；若y =f(x)是单调递减函数，则根据复合函数的性质，y =f(/(x)是单调递增函数，故不正确；函 数 y=f(x)-r(X)有 零 点，即 y =/(x)与 其 反 函 数 y =/T(x)的图象有交点，则y=/(x)x有交点，也就是函数y =f(x)-x 也有零点，故正确.正确的命题共有3个.故选：C.三.解答题(本大题共5 题，共 14+14+14+16+18=76分)1 7.(1 4 分)如 图，已知4 3 _ L

9、 平面8a,B C L C D,AZ)与平面8s所成的角为3 0。，且A B=B C=2.(1)求三棱锥A-3co的体积；(2)设M 为 BO的中点，求异面直线4)与CM所成角的大小(结果用反三角函数值表示).【解答】解：(1)如图，因为旗_ 1 _ 平面8a,所以 又 3C_LCE,所以 CD _L 平面ABC,因 为 他J平面BCD,4)与平面8 8所成的角为30。，故)8=30。，由 AB=3C=2,得 A D=4,AC=2 近,.BD=716-4=2/3,CD=2 厨-2,=2戊,则匕 BCD-x Sa,x AB=x BC x CD x AB=x2x 2-J2 x 23 6 64虎=-

10、.3(2)以C为原点，8 为x轴，C 8为y轴，过C作平面8 8的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则 A(0,2,2),DQ屈,0,0),C(0,0,0),B(0,2,0),M(2,l,0),AD=(2A/2,-2,-2),CM=(亚 1,0),设异面直线A D与C M所成角为0,mil Q ADCM 2 73典 CO S。=-=1=.AD C M 4V3 60 60=arccos6/.异面直线A P与C M所成角的大小为arccos/.618.(14 分)已知函数f(x)=gsin2x-/5cos2x.(1)求函数)，=/(x)的最小正周期；(2)在AABC中，角A、3、C的对边分别为a、/

11、?、c,若锐角A满足/(A)=&,C=,=2,求AABC的面积.【解答】解：(1)/(X)=g s i n Z x-G c o s?x =，s i n 2 一 +；s2)_ 1 ,0 0 石 _ .。.叫右s i n 2 x-c o s 2 x-s i n(2 x-)-,2 2 2 3 2.函数y =/(X)的最小正周期7 =,=万；(2)/(A)=s i n(2 A-)-=-/.s i n(2 A-)=,3 2 2 3 2又A为锐角，2 A 匹(匹,空)，则2 A 乙=生，得4 =生，3 3 2 3 6 4又。二三,c =2,由正弦定理得6=,s i n A s i n C即_ =二 _,解

12、 得a =20,.7 1 .7 1s i n s i n 4 6TT 7T而 s i n 8 =s i n(A+C)=s i n(十 )=4 6/6 +yfz4AABC 的面积 S=；a c s i n B =2近 X牛=1 9.（1 4分）研究表明：在一节4 0分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x （单位:分钟）之间的变化曲线如图所示，当x e 0,1 6时.，曲线是二次函数图象的一部分；当x e 1 6,4 0 时，曲线是函数y =80 +l o g s（x +a）图象的一部分，当学生的注意力指数不高于6 8时,称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数y =/（x）的解析式；（2）

13、在一节4 0分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【解答】解：(1)当x e(0,1 6时,设/(x)=b(x-1 2)2+84(1 0),/(1 6)=如 6-1 2)2+84 =80,=，4/(X)=-1(X-12)2+84.当 xe(16,40时，/(x)=log。$(x+a)+80,由 /(1 6)=log08(16+a)+80=8 0,解得 a=15,-/(-v)=logoa(x-15)+80.火口 、f-7(x-12)2+84,xe(0,16综上，f(x)=4;log0 8(x-15)+80,x G(16,40(2)当xe(0,16时，/-(X)=-(

14、X-12)2+84尸*-2)2所以以加)为直径的圆的方程为(x-2)x+y(y+l)=0,即(x l f +(y+)2=|；(3)设尸(4,f),因为 A(-2,0),3(2,0),直线 E4 的方程为 y=(x+2),6(X2 2,+y=i由1 4 得(产+9)f+4/x+4产 36=0,y=:(x +2)6由韦达定理得-2%=竺4户-产36，所以 =-2/r +18,所 以 先=(+2)=1%,同理，直线P5的方程为y=；(x-2),x2 2-by=1由.4 得(r+l)f-4/工+4产一4=0,y=(x-2)由韦达定理得2号=4/2%-4;，所以2产所一2 以%=t 3 。-2)=搭一

15、力，由椭圆的对称性知这样的定点在x 轴上，设为风川,0),则 C,E,。三点共线,所以EC=(-2 r+186t-m,/+9 *+92产 _?一 2，)3r 7?一“4共线,r-r-I U/2厂 +18 It 2t-2 6f _ i_所以(一T )=(：-机)(恒 成.t+9 r +1 t+t+9整理得(4胴-4)/+12%-12=0恒成立,所以机=1,故直线8过定点(1,0).21.(18分)对于数列 4 ,若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称 4 为 P 数列.(1)若数列1,2,x,8 是 P 数列，求实数x 的取值范围；(2)设数列4,%,%，6。是首项为-1、公差为d

16、 的等差数列，若该数列是P 数列，求d 的取值范围；(3)设无穷数列 4 是首项为、公比为q 的等比数列，有穷数列 么、q j 是从 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，起所有项和分别记为7；、T2,求证：当。0且7；=岂时,数列 4 不是尸数列.【解答】解：(1)由题意得,所以3 V x S =4，故公差d 0,S“-4+1=4 2 一(+3江+1 0 对满足=,2,3，9 的所有都成立,则4 92-9(1 +3 1)+10,解得2 2 2 7所以的取值范围是(0,2)；2 7证明：(3)若 ,是 P数列，则“=$0,所以ql,又 由%+5“对所有都成立，得咐”“心1 恒成立，即2-q 0,l im(L)=0,故2-%0,q T8 q所以q.2 ,若 ,中的每一项都在%中，则由这两数列是不同数列可知Tt 岂,若 勿 中至少有一项不在%中，且匕,中至少有一项不在 2 中，设 ，c：是将他,q j 中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列，它们的所有项之和分别为T；,T2,不妨设 ,c：中的最大项在 中，设为勺(利.2),则 今 飙+出+4 i 4,I，故总有看片邛与=看 矛盾，故假设错误，原命题正确.