高等数学同济第七版(上册)_知识点总结.pdf

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1、高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一.函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim,0)(limxgxf且lxgxf)()(lim（1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0)(xg，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l 0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。（3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)g(x)2.常见的等价无穷小 当x 0时 sin x x，tan x x，xarcsin x，xarccos x，1 cos x 2/2x，xe1 x，)1ln(x x，1)1(x x 二求极限的方法 1两个准则 准则

2、1.单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g(x)f(x)h(x)若AxhAxg)(lim,)(lim，则Axf)(lim 2两个重要公式 公式 11sinlim0 xxx 公式 2exxx/10)1(lim 3用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4用泰勒公式 当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(.!5!3sin)(!.!3!2112125332nnnnnxxonxxxxxxonxxxxe)(!2)1(.!4!21cos2242nnnxonxxxx)()1(.32)1ln(132nnnxonxxxxx)(!)1().(1(.!2)1(1)1(2nnxox

3、nnxxx)(12)1(.53arctan1212153nnnxonxxxxx 5洛必达法则 定理 1 设函数)(xf、)(xF满足下列条件：（1）0)(lim0 xfxx，0)(lim0 xFxx；（2）)(xf与)(xF在0 x的某一去心邻域内可导，且0)(xF；（3）)()(lim0 xFxfxx存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim0 xFxfxx存在时，)()(lim0 xFxfxx也存在且等于)()(lim0 xFxfxx；当)()(lim0 xFxfxx为无穷大时，)()(lim0 xFxfxx也是无穷大 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的

4、极限值的方法称为洛必达（HLospital）法则.型未定式)()(lim)()(lim00 xFxfxFxfxxxx定理 2 设函数)(xf、)(xF满足下列条件：（1）)(lim0 xfxx，)(lim0 xFxx；（2）)(xf与)(xF在0 x的某一去心邻域内可导，且0)(xF；（3）)()(lim0 xFxfxx存在（或为无穷大），则 注：上述关于0 xx 时未定式型的洛必达法则，对于x时未定式型同样适用 使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达

5、法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在 6利用导数定义求极限 基本公式)()()(lim0000 xfxxfxxfx(如果存在）7.利用定积分定义求极限 基本格式101)()(1limdxxfnkfnnkn（如果存在）三函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点 设0 x 是函数y=f(x)的间断点。如果f(x)在间断点0 x处的左、右极限都存在，则称0 x是f(x)的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点。左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点)()(

6、lim)()(lim00 xFxfxFxfxxxx第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。四闭区间上连续函数的性质 在闭区间a,b上连续的函数f(x)，有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。定理1（有界定理）如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)必在a,b上有界。定理2（最大值和最小值定理）如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m。定理3（介值定理）如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，且其最大值和最小值分别为M 和m，则对于介于m和M 之间的任何实数c，在a,b上至少存在一个，使得f()

7、=c 推论：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号，则在(a,b)内至少存在一个点，使得f()=0这个推论也称为零点定理 第二章 导数与微分 一基本概念 1可微和可导等价，都可以推出连续，但是连续不能推出可微和可导。二求导公式 三常见求导 1.复合函数运算法则 2.由参数方程确定函数的运算法则 设x=(t)，y=)(t确定函数y=y(x)，其中)(),(tt存在，且)(t 0，则)()(ttdxdy 3.反函数求导法则 设y=f(x)的反函数x=g(y)，两者皆可导，且f(x)0 则)0)()(1)(1)(xfygfxfyg 4.隐函数运算法则 设y=y(x)是由方程F

8、(x,y)=0所确定，求y的方法如下：把F(x,y)=0两边的各项对x求导，把y 看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y 的表达式（允许出现y 变量）5.对数求导法则 （指数类型 如xxysin）先两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y。对数求导法主要用于：幂指函数求导数多个函数连乘除或开方求导数（注意定义域。关于幂指函数y=f(x)g(x)常用的一种方法,y=)(ln)(xfxge这样就可以直接用复合函数运算法则进行。6.求n阶导数（n 2，正整数）先求出 y,y,总结出规律性，然后写出y(n)，最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的n 阶导数公式（1）xnxeyey)(

9、,（2）nxnxaayay)(ln,)(（3）xysin,)2sin()(nxyn（4）xycos,)2cos()(nxyn (5)xyln,nnnxny)!1()1(1)(第三章 微分中值定理与导数应用 一.罗尔定理 设 函 数 f (x)满 足 （1）在 闭 区 间a,b上 连 续；（2）在 开 区 间(a,b)内 可 导；（3）f (a)=f (b)则 存 在 (a,b)，使 得f ()=0 二 拉格朗日中值定理 设函数 f(x)满足（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；则存在(a,b)，使得)()()(fabafbf 推论1若f(x)在(a,b)内可导，且f(x)

10、0，则f(x)在(a,b)内为常数。推论2若f(x),g(x)在(a,b)内皆可导，且f(x)g(x)，则在(a,b)内f(x)=g(x)+c，其中c为一个常数。三.柯西中值定理 设函数f(x)和g(x)满足：（1）在闭区间a,b上皆连续；（2）在开区间(a,b)内皆可导；且g(x)0则存在(a,b)使得)()()()()()(gfagbgafbf)(ba（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g(x)=x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）四.泰勒公式（估值 求极限（麦克劳林）定理 1（皮亚诺余项的n 阶泰勒公式）设f(x)在0 x 处有n 阶导数，则有公式，称为皮亚诺余项

11、 定理2（拉格朗日余项的n 阶泰勒公式）设f(x)在包含0 x 的区间(a,b)内有n+1阶导数，在a,b上有n阶连续导数，则对xa,b，有公式 ，,称为拉格朗日余项 上面展开式称为以0(x)为中心的n 阶泰勒公式。当0 x=0 时，也称为n阶麦克劳林公式。常用公式(前8个)五导数的应用 一基本知识 设函数f(x)在0 x处可导，且0 x为f(x)的一个极值点，则0)(0 xf。我们称x 满足0)(0 xf的0 x 称为)(xf的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。极值点判断方法 1.第一充分条件 )(xf在0 x的 邻 域

12、 内 可 导，且0)(0 xf，则 若 当0 xx 时,0)(xf，当0 xx 时，0)(xf，则0 x为极大值点；若当0 xx 时，0)(xf，当0 xx 时，0)(xf，则0 x为极小值点；若在0 x的两侧)(xf 不变号，则0 x不是极值点.2.第二充分条件)(xf在0 x处二阶可导，且0)(0 xf，0)(0 xf，则若0)(0 xf，则0 x为极大值点；若0)(0 xf，则0 x为极小值点.3.泰勒公式判别法（用的比较少，可以自行百度）二.凹凸性与拐点 1凹凸的定义 设f(x)在区间I 上连续，若对任意不同的两点1 2 x,x，恒有 则称f(x)在I 上是凸（凹）的。在几何上，曲线y

13、=f(x)上任意两点的割线在曲线下（上）面，则 y=f(x)是凸（凹）的。如果曲线y=f(x)有切线的话，每一点的切线都在曲线之上（下）则y=f(x)是凸（凹）的。2拐点的定义 曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。3凹凸性的判别和拐点的求法 设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数)(xf，如果在(a,b)内的每一点x，恒有)(xf 0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的；如果在(a,b)内的每一点x，恒有)(xf 0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的。求曲线y=f(x)的拐点的方法步骤是：第一步：求出二阶导数)(xf；第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点kxxx,.2

14、,1；第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标；第四步：求出拐点的纵坐标。三渐近线的求法 四曲率 第四章 不定积分 一基本积分表：二换元积分法和分部积分法 换元积分法（1）第一类换元法（凑微分）：)()(d)()(xuduufxxxf（2）第二类换元法（变量代换）：)(1d)()()(xttttfdxxf 分部积分法 vduuvudv 使用分部积分法时被积函数中谁看作)(xu谁看作)(xv有一定规律。CaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)l

15、n(lncsccscsecseccscsinseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020记住口诀，反对幂指三为)(xu，靠前就为)(xu，例如xdxexarcsin，应该是xar

16、csin为)(xu，因为反三角函数排在指数函数之前，同理可以推出其他。三有理函数积分 有理函数：)()()(xQxPxf，其中)()(xQxP和是多项式。简单有理函数：21)()(,1)()(xxPxfxxPxf )()()(bxaxxPxf baxxPxf2)()()(1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.第五章 定积分 一概念与性质 1、定义：niiibaxfdxxf10)(lim)(2、性质：（10 条）(3)3.基本定理 变 上 限 积 分：设xadttfx)()(，则)()(xfx 推 广：)()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxx N L公 式：

17、若)(xF为)(xf的 一 个 原 函 数，则)()()(aFbFdxxfba 4.定积分的换元积分法和分部积分法 二定积分的特殊性质 第六章 定积分的应用 一 平面图形的面积 1.直角坐标：badxxfxfA)()(12 2.极坐标：dA)()(212122 二 体积 1.旋转体体积：a)曲边梯形xbxaxxfy,),(轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积：baxdxxfV)(2 b)曲边梯形xbxaxxfy,),(轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体积：baydxxxfV)(2 （柱壳法）三.弧长 1.直角坐标：badxxfs2)(1 2.参数方程：dttts22)()(极坐标：ds22)()(第七

18、章 微分方程 一 概念 1.微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2.解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.(1).变量可分离的方程 dxxfdyyg)()(，两边积分dxxfdyyg)()(2).齐次型方程)(xydxdy，设xyu，则dxduxudxdy；或)(yxdydx，设yxv，则dydvyvdydx(3).一阶线性微分方程)()(xQyxPdxdy 用常数变易法或用公式：CdxexQeydxxPdxxP)()(

19、)(4).可降阶的高阶微分方程 1、)()(xfyn，两边积分n次；2、),(yxfy（不显含有y），令py，则py；3、),(yyfy（不显含有x），令py，则dydppy （一）线性微分方程解的结构 1、21,yy是齐次线性方程的解，则2211yCyC也是；2、21,yy是齐次线性方程的线性无关的特解，则2211yCyC是方程的通解；3、*2211yyCyCy为非齐次方程的通解，其中21,yy为对应齐次方程的线性无关的解，*y非齐次方程的特解.（二）常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性方程：0 qyypy 特征方程：02qprr，特征根：21,rr 特征根 通 解 实根 21rr xrxreCeCy2121 221prr xrexCCy1)(21 ir,21)sincos(21xCxCeyx （三）常系数非齐次线性微分方程 )(xfqyypy 1、)()(xPexfmx 设特解)(*xQexymxk，其中 是重根是一个单根不是特征根,k210 2、xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(设特解xxRxxRexymmxksin)(cos)()2()1(*，其中 ,maxnlm，是特征根不是特征根iik ,1 ,0