2021年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学试题 （文科）解析版.pdf

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1、绝密启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学【试卷点评】【命题特点】2017年山东高考数学试卷，试卷结构总体保持了传统的命题风格，以能力立意，注重考查考生的基础知识、基本技能和基本数学素养，符合考试说明的各项要求，贴近中学教学实际，是一份知识与能力完美融合、传统与创新和谐统的优秀试卷.试题的顺序编排，遵循由易到难，基本符合学生由易到难的答题习惯，理科20题分两层进行分类讨论，其难度估计要大于21题的难度.从命题内容来看，既突出热点内容的年年考查,又注意了非热点内容的考查，对教学工作有较好的导向性.同以往相比，今年对直线与圆没有独立的考题，文理均在压轴题的圆锥曲线问题中有所

2、涉及直线与圆的位置关系，对基本不等式有独立考查，与往年突出考查等差数列不同，今年对此考查有所淡化.具体看还有以下特点：1.体现新课标理念，保持稳定，适度创新.试卷紧扣山东高考 考试说明，重点内容重点考查,试题注重考查高中数学的基础知识，并以重点知识为主线组织全卷，在知识网络交汇处设计试题内容，且有适度难度.而对新增内容则重点考查基本概念、基础知识，难度不大.2.关注通性通法.试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求.数学思想方法是数学的灵魂，是对数学知识最高层次的概括与提炼,也是试卷考查的核心.通过命题精心设计，较好地考查了数形结合的

3、思想、函数与方程的思想、转化与化归的数学思想.利用函数导数讨论函数的单调性、极值的过程，将分类与整合的思想挖掘得淋漓尽致.3.体现数学应用,关注社会生活.文理科均通过概率统计问题考查考生应用数学的能力，以学生都熟悉的内容为背景，体现试卷设计问题背景的公平性，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向.【命题趋势】2018年起，山东将不再自主命题，综合全国卷特点，结合山东教学实际，预测2018年应特别关注：1.函数与导数知识：以导数知识为背景的函数问题，多于单调性相关；对具体函数的基本 性 质（奇偶性、周期性、函数图象、函数与方程）、分段函数及抽象函数考查依然是重点.导数的几何意义，利用导数研

4、究函数的性质，命题变换空间较大，直接应用问题、定值问题、存在性问题、求参数问题等等，因此，其难度应会保持在中档以上.2.三角函数与向量知识：三角函数将从三角函数的图象和性质、三角变换、解三角形等三个方面进行考查，预计在未来考卷中，三方面内容依然会轮流出现在小题、大题中，大题综合化的趋势不容忽视.向量具有数与形的双重性，并具有较强的工具性，从近几年命题看,高考中向量试题的命题趋向依然是，考查平面向量的基本概念和运算律；考查平面向量的坐标运算；考查平面向量与几何、三角、代数等学科的综合性问题，其难度不会增大.3.不等式知识：突出工具性，淡化独立性，突出解不等式及不等式的应用是不等式命题的重要趋向之

5、一.不等式的性质与指数函数、对数函数、三角函数、二次函数等结合起来，考查不等式的性质、最值、函数的单调性等；证明不等式的试题，多与导数、数列、解析几何等知识为背景，在知识网络的交汇处命题，综合性往往较强，能力要求较高；解不等式的试题，往往与集合、函数图象等相结合.4 .数列知识：等差数列、等比数列的通项公式及求和公式，依然会是考查的重点.由于数列求和问题的求解策略较为模式化，因此，这方面的创新往往会在融入“和”与“通项”的关系方面，让考生从此探窕数列特征，确定应对方法.少有可能会象浙江卷，将数列与不等式综合，作为压轴难题出现.5 .立体几何知识：近几年的命题说明，通过垂直、平行位置关系的证明题

6、，二面角等角的计算问题，综合考查考生的逻辑思维能力、推理论证能力以及计算能力，在这方面文科倾向于证明，理科则倾向于证算并重，理科将更倾向于利用空间向量方法解题.7概率与统计知识：概率统计知识较为繁杂，命题的难度伸缩性也较大，其中较多考查基础知识、基本应用能力的内容应包括：古典概型、几何概型、茎叶图、平均数、中位数、变量的相关性、频率分布直方图(表)、正态分布、假设性检验、回归分析等，而对随机变量分布列、期望等的考查，则易于增大难度，在分布列的确定过程中，应用二项分布、超几何分布等.试卷解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5 分，共 50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的

7、.1 .设集合=巾“1,N =x|x 2,则 M 万 ()A.(-l,l)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)【答案】C【解析】试题分析：由|x 1|1 得 0 x2,故M 7 V=IXI OA,2)x|x 2 =x|0 x 2 ,故选 C.【考点】不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，对连续数集间的运算,借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到，对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算,可借助V enn图.2 .已知i是虚数单位,若复数z满足 z i=l+i,则z 2=

8、()A.-2 i B.2 i C.-2 D.2【答案】Ar解新】试题分析：由=1 +i得(z i)：=(1 +i)即-z =2 i,所以=-2 i，故选A.L W t/f J【考点】复数的运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(l)(li)2=2 i；(2)罟=入 号=一 13.己 知 满 足 约 束 条 件 x-2 y +5 0，则 z r+2 y 的最大值是（y2A.-3B.-1C.1D.3【解析】故 选D.【考点】线

9、性规划【名W点睛】（1）确定二元一次不等式（组）表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”,即先作直线，再取特殊点并代入不等式组.若满足不等式组，则不等式（组）表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点.（2）利用线性规划求目标函数最值的步骤：画出约束条件对应的可行域；将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最优解对应的点；将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值.34.已知 c o s x =-，则 c o s 2 x =()4【答案】D【解析】3、Ct 1试题分析：

10、由cosx=得cos2x=2cosx l=2x；二：一1=一，故选D.4 8【考点】二倍角公式【名师点睛】（1）三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则，一看角,二看名，三看式子结构与特征.（2）三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等）,寻找式子和三角函数公式之间的共同点.5.已知命题p：I r e R,X+I N O；命 题 公 若 则 下 列 命 题 为 真 命 题 的 是（）A.p 八 q B.p AC.p A q D.1/?一）夕【答案】B【解析】试题分析：由x =0时fx +l N O成立知p是真命题，由I2 2可 知q是假命题,所 以.人 4是真

11、命题，故 选B.【考点】命题真假的判断【名师点睛】判断一个命题为真命题，要给出推理证明：判断一个命题是假命题，只需举出反例.根 据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.6.执行右侧的程序框图，当 输 入 的x值 为4时,输出的y的 值 为2,则空白判断框中的条件可能为（）A.尤 3 B.x 4 C.x 4 D.x ,的选择，解答时要根据循环结构x 4，故选的类型，正确地进行选择，注意直到型循环是“先循环,后判断，条件满足时终止循环”；而当型循环则是“先判断,后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述

12、在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反.另外还要注意判断框内的条件不是唯一的，如“池 也 可 写 为“劭;i 5 ,也可写成i 2 6.7.函数y=J 5 si n 2 x+c o s2 x最小正周期为（）n 2TI 、A.B.C.7 1 D.2 7 12 3【答 案】C【解 析】试 题 分 析：因 为y=g si n 2 x+c o s 2 x=2 si n 2 x+g :所以其周期T =?=n，故 选C.【名师点睛】求三角函数周期的方法：利 用 周 期 函 数 的 定 义.利 用 公 式：y=A si n（3 x+9）和y=4 c o s（w x+9）的 最 小 正 周 期 为那y=ta

13、n（o x+9）的最小正周期为俞.对于形如y=a si n yx+O c o s yx的函数，一般 先把其化为y=J/+si n x+）的形式再求周期.8.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两 组 各5名 工 人 某 日 的 产 量 数 据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7【答案】A【解析】试题分析：由题意，甲组数据为5 6,6 2,6 5,7 0 +x,7 4,乙组数据为5 9,6 1,6 7,6 0+y,7 8.要使两组数据中位数相等，有6 5 =6 0+),所 以y=5,乂平均数相同，则5 6 +6 2

14、+6 5 +(7 0 +1)+7 4 =5 9 +6 1 +6 7 +6 5 +7 8，解得=3 .故选 A.5【考点】茎叶图、样本的数字特征59.设=若 a)=/(a +l),则 O()A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】试题分析：由X 21时“X)=2(工 一 1)是增函数可知:若4之1厕 。)H +1)，所以0 0 .则 g(x)在R上单调递增,/(x)具有例性质，故选A.【考点】导数的应用【名师点睛】(1)确定函数单调区间的步骤：确 定 函 数/)的定义域；求尸(x);解不等式八)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；解 不 等 式 解 集 在 定 义 域 内 的部分为单

15、调递减区间.(2)根据函数单调性确定参数范围的方法：利用集合间的包含关系处理：y=/(x)在(0力)上单调,则区间3 力)是相应单调区间的子集.转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则/(x)K)；若函数单调递减，则了(小0”来求解.二、填空题：本 大 题 共5小题,每小题5分，共25分1 1.已知向量=（2,6）力=（-1,4）,若Q|也 则4 =.【答 案】-3【解 析】试题分析：由 仍可得一l x 6=2 2 n/l =-3.【考 点】向量共线与向量的坐标运算【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略（1）利 用 两向 量 共 线 求参数.如果己知两向量共线，求某

16、些参数的取值时，利用“若。=（乃田）力=。2,弊）,则a/b的充要条件是用A=检力”解题比较方便.（2）利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一 个 已 知 向 量 共 线 的 向 量 时，可设所求向量为痴QWR）,然后结合其他条件列出关于的方程，求 出A的值后代入相即可得到所求的向量.（3）三 点 共 线 问 题.A,B,C三 点共线等价于油与祀共线.1 2.若直线土+工=1（。0,bQ）过 点（1,2），则2a+8的最小值为_,a b【答 案】8【解 析】试题分析：由直线二+告=130,0）过 点（1,2）可得上+：=1,所以a b a b1 2 b 4a lb 4a2a+b=（2

17、a+ZX）=-1-4+2.J-=8.a b a b y a b【考 点】基本不等式【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所 谓“一正是指正数，二定是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立 的 条 件.在 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.13.由一个长方体和两个,圆 柱 构 成 的 几 何 体 的 三 视 图 如 图,则 该 几 何 体 的 体 积 为,正 视 图（主 视 图）侧 视 图（左 视 图）7T【答 案】2+二2【解 析】试题分析：

18、由三视图可知，长方体的长宽高分别为2,1,1,圆 柱 的 高 为1,底面圆半径为1,所以_ _ c _ 7 1 X 1_ 7 TV =2 x l x l +2 x -x 1 =2 +一.4 2【考点】三视图及几何体体积的计算.【名师点睛】(1)由实物图画三视图或判断、选择三视图,此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等 的原则.(2)由三视图还原实物图，解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,再复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的；其次，要遵循以下三步：看视图，明关系；分部分，想整体；综合起来，定整体.1 4.已知兀0是定义在R上的偶函数，且 八/4)=/沁2).若当3,0 时,/(x)

19、=6：则1 9 1 9)=_L【答案】6【解析】试题分析：由4什4)或。2河知J(x)是周期函数且T=6所以“919)=6x653+1)=/(I)=/(-1)=6【考点】函数奇偶性与周期性【名师点睛】与函数奇偶性有关问题的解决方法己知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为己知区间上的函数值求解.己知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于/U)的方程(组)，从而得到人x)的解析式.己知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：利用人)与一)=0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解.应用奇

20、偶性画图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.1 5.在平面直角坐标系x O y中,双曲线二 一 二=1(。0,b Q)的右支与焦点为F的抛物a b线 =2 p y(p 0)交于A,B两点，若|Af +|8 f l=4|O f ,则该双曲线的渐近线方程为 16【答案】y=+x-2【解析】试题分析：由抛物线定义可得：|4|+|3尸|=%+5=4*=丁.+=，2 2工 匕=1因为/一 2 y 2一2/+/=0=，所以无2 =%+%=2 =p n a=A/2/J=渐近线方程为 y=+x.a2【考点】抛物线的定义与性质、双曲线的几何性质【名师点睛】若A B是抛物线

21、）2 =2。匠（。0）的焦点弦,设4（即,），1）,8（2,）2）.则（1）,V15,2=-p2,X|X2=.（2）|A 8|=x i+x 2+p=（。为 AB 的倾斜角）.（3）而j+麻i为定值;.（4）以A B为直径的圆与准线相切.（5）以A F或B F为直径的圆与y轴相切.三、解 答 题：本 大 题 共6小 题，共75分.16.（本小题满分12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家4,4,4和3个欧洲国家5,&方3中选择2个国家去旅游.（I ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（H）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括4但不包括丛的概率.【答案】（呜；

22、【解析】试题分析：利用列举法把试蛉所含的基本事件一一列举出来，然后再求出事件月中的基本事件数，利用公式P（=霁 出 事 件/的 概 率.试题解析：（1）由题意得，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：44，4 4 ，4 4 =44，4出 ,4 用，4 4 :应 ,4乌 .&3J:遥 应 ,&鸟 42 .%易 ,风型，共1 5个.所选两个国家都是亚洲的事件所包含的基本事件有：A,4、,A，A、，4，4、，共3个，所以所求事件的概率为0 =3 =31（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：44,4也 ，4鸣 ，4,4,4也 ,4,3,4，耳,

23、4也 ,4也 共9个，包含A但不包括4的事件所包含的基本事件有4,不 ，A，质 共2个，所以所求事件的概率为=*.9【考点】古典概型【名师点睛】（1）对于事件A的概率的计算，关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数机因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个;第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个.（2）如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来，然后再求出事件A中的基本事件数，利用公式尸（A）=求出事件A的概率，这是一个形象直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.17.（本小题满分

24、12分）在48C 中，角 4,8,。的对边分别为。力 c 已知b=3,A B -A C =-6 ,5A ASC=3,求 A 和 a.【答案】A=-7t,a=V29.4【解析】3c cos 4=-6试题分析：先由数量积公式及三角形面积公式得J 1 c.：由此求a 再利用余弦定理求a-x3 csin J =37试题解析：因 为 万 二=一 6,所以 be cos A =6,乂=3）所以 6c sin H=6,因此tan*=-1,又 0 且 0,解得q =2 q =2,所以4=2J（I D 由题意知 S 3 1 =（2 +1X:+JT）=（2 n+l）.晨 Is&+i=2 5 圻 屋 i工Q 所以a

25、=2 +l,则cn=277+12n因此Tn=q+q+J3 5 7 2 n-l 2 +l，=+彳 +干+2，曲一由讨俎 3 1 1 1 )2 +1两式相减得尹+H-所以7；=5-如B.2”【考点】等差数列的通项，错位相减法求和.【名师点睛】(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项0和公差&然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量斯0,”5,知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想.(2)用错位相减法求和时，应注意：在写出“S J与 S J的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出 一双的表达式；若等比数列的公比为参数,应分

26、公比等于1和不等于1两种情况求解.2 0.(本小题满分1 3分)已 知 函 数=-当斫2时，求曲线丁=/(x)在点(3,/)处的切线方程；(H)设函数g(x)=/(x)+(x a)c osx -si n尤对论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】3 x y 9 =0.(2)(I I)。=0无极值；(2)。()极大值为一a，极小值为一一a-sina.6【解析】试题分析：根据求出切线斜率,再用点斜式写出切线方程;(H)由g(x)=(x-a)(x-si n x).通过讨论确定g(x)单调性，再由单调性确定极值.试题解析：(I)由题意f(x)=/以，所以，当a =2时，/(3)=0

27、,fx)=x2-2x,所以八3)=3,因 此,曲 线y =/(x)在点(3,7(3)处的切线方程是y =3(x 3),即 3 x y -9 =0.(I I)因为 g(x)=/(x)+(x-a)c osx-si n x,所以 g(x)=f(x)+c osx (x o)si n x c osx,=x(x a)(x a)si n x=(x a)(x-si n x)令(x)=x-si n x,则力(力=1 c osx 0,所以(x)在及上单调递熠，因为(0)=0,所以，当x 0时，h(x)0,当x 0时，h(x)0,g(x)Q ,g(x)0,g(x)单调递增.所以，当X=Q时，g(x)取到极大值，极大

28、值是g(a)=/一si n a,6当x =OR寸，g(x)取到极小值，极小值是g(O)=-a.(2)当。=0时，g(x)=x(x-si n x),当工(-8,+00)时，g(x)2 0,g(x)单调递增；所以，g(x)在(-8,+8)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值.(3)当。0时，gx)=(x-a)(x-si n x),当xe(Y：0)时,x-a 0,g(x)单调递增：当 x e Q a)时，x-a Q,g(x)0 ,g(x)0,g(x)单调递增.所以，当x =0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)=-。：当x =时，g(x)取到极小值,极小值是g(4)=-：/-si n a.综上

29、所述：当4 0时,函 数g(x)在(-oo,0)和(a,+8)上单调递增,在(0,。)上单调递减，函数既有极1 a大值，又有极小值，极大值是g(O)=-a，极小值是g(a)=a-si n a.6【考点】导数的几何意义及导数的应用2 1.(本小题满分1 4分)在平面直角坐标系x O)，中，已知椭圆C:二+二=1(0)的离心率a b万为 半，椭圆C截直线尸1所得线段的长度为2 0.(1)求椭圆(？的方程；(I I)动直线/:产入+?(附0)交椭圆C于A,B两点，交y轴于点M.点N是M关于。的对称点，圆N的半径为|N0|.设。为4 8的中点,D E,。F与圆N分别相切于点E,F,求Z E D F的最

30、小值.【解析】试题分析：（1）=省 得 所。=0弧由椭圆。截直线尸1所得线段的长度为2力得,a 2=求得椭圆的方程为三+=1，（I I）（2由 户+解得V*4 2 y=k x+m（2*+1）/+4 A x +2疗一 4 =0,确定。（-y/kA+3k2+2,所以而加加=煞=2K+1 金，由此可得乙F D N的最小值为N D下的最小值为三.网2 收 百+1 2 4 2试题解析：（I）由椭圆的离心率为4，得/=2（/-丁）,2 2又当 y=l 时,x2=a2-,得/啧=2,所以a?=4力2 =2,因此椭圆方程 为 上+匕=1.4 2 H）设 A（X，x）,B（X 2，y2）1联立方程|jX=kx+

31、m+2y2=4得（2 6 +1）+4knvc+2 m2 -4 =0,由（）得 2 2 =，+1，所以 y=l-y.当 叱3时，y o,从而 =+1在 3,+8）上单调递增，t1 10因 北 匕f 4 -2 ，t 3等号当且仅当才=3时成立，此时k =0,|阿所以 J _L +3 =4,阿|由（*）得-母 ,即|2所以8得最小值为6从而Z E D产的最小值为，此时直线7的斜率时0.综上所述：当左=0,加c（r5：0）-（0.3）时，N E D F取得最小值为。.【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.常见解法：几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.