圆锥曲线知识点整理中学教育高考中学教育高考.pdf

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1、高二数学圆锥曲线知识整理 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：0e,ed|PF|P，其中F为定点，d 为 P到定直线的距离，F，如图。因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。当 0e1 时，点 P 轨迹是双曲线；当 e=1 时，点 P 轨迹是抛物线。（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：P|PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|0，F1、F2为定点，双曲线P|PF1|-|PF2|=2a，|F1F2|2a0，F1，F2为定点。（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。定性：焦点

2、在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。定量：椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 焦 距 2c 长轴长 2a 实轴长 2a 短轴长 2b 焦点到对应 准线距离 P=2cb2 p 通径长 2ab2 2p 离心率 ace 1 基本量关系 a2=b2+c2 C2=a2+b2 （4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）举焦点在 x 轴上的方程如下：椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 标准方程 1byax2222（ab0）1byax2222（a0，b0）y2=2px（p0）顶 点（a，0）（0，b）

3、（a，0）（0，0）焦 点（c，0）（2p，0）准 线 X=ca2 x=2p 中 心（0，0）有界性|x|a|y|b|x|a x0 焦半径 P(x0，y0)为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点|PF1|=a+ex0|PF2|=a-ex0 P在右支时：|PF1|=a+ex0|PF2|=-a+ex0 P在左支时：|PF1|=-a-ex0|PF2|=a-ex0|PF|=x0+2p 2、直线和圆锥曲线位置关系（1）位置关系判断：法（适用对象是二次方程，二次项系数不为 0）。其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于 x 或 y

4、方程的二次项系数为 0。直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于 x 或 y 方程的二次项系数为 0。（2）直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。例题研究 例1、根据下列条件，求双曲线方程。（1）与双曲线116y9x22有共同渐近线，且过点（-3，32）；（2）与双曲线14y16x22有公共焦点，且过点（23，2）。分析：（1）设双曲线方程为16y9x22（0）16)32(9)3(22 41 双曲线方程为14y49x22（3）设双曲线方程为1k4yk16x

5、220k40k16 1k42k16)23(22 解之得：k=4 双曲线方程为18y12x22 评注：与双曲线1byax2222共渐近线的双曲线方程为2222byax（0），当0时，焦点在 x 轴上；当0，b2-k0）。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。例 2、设 F1、F2为椭圆14y9x22的两个焦点，P为椭圆上一点，已知 P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，求|PF|PF|21的值。解题思路分析：当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。法一：当PF2F1=

6、900时，由5c)c2(|PF|PF|6|PF|PF|22222121得：314|PF|1，34|PF|2 27|PF|PF|21 当F1PF2=900时，同理求得|PF1|=4，|PF2|=2 2|PF|PF|21 法二：当PF2F1=900，5xP 34yP P（34,5）又 F2（5，0）|PF2|=34|PF1|=2a-|PF2|=314 当F1PF2=900，由14y9x)5(yx22222得：P（554,553）。下略。评注：由|PF1|PF2|的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。例 4、已知 x2+y2=1，双曲线(x-1)2-y2=1，直线同时满足下列两个条件：与双曲线交

7、于不同两点；与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线方程。分析：选择适当的直线方程形式，把条件“是圆的切线”“切点 M是弦 AB中点”翻译为关于参数的方程组。法一：当斜率不存在时，x=-1 满足；当斜率存在时，设：y=kx+b 与O相切，设切点为 M，则|OM|=1 11k|b|2 b2=k2+1 由1y)1x(bkxy22得：(1-k2)x2-2(1+kb)x-b2=0 当 k1 且0 时，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则中点 M（x0，y0），20221k1kb1x,k1)kb1(2xx y0=kx0+b=2k1bk M 在O上 x02+y02=1 (1+kb)2+

8、(k+b)2=(1-k2)2 由得：332b33k 或 332b33k ：332x33y或33233y 评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件（“相切”和“中点”）转化为关于参数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。例 5、A、B是抛物线 y2=2px（p0）上的两点，且 OA OB，（1）求 A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；（2）求证：直线 AB过定点；（3）求弦 AB中点 P的轨迹方程；（4）求AOB面积的最小值；（5）O在 AB上的射影 M轨迹方程。分析：设 A（x1,y1），B（x2,y2），中点 P（x0,y0）（1）22OB11OA

9、xyk,xyk OAOB kOAkOB=-1 x1x2+y1y2=0 y12=2px1，y22=2px2 0yyp2yp2y212221 y10，y20 y1y2=-4p2 x1x2=4p2 （2）y12=2px1，y22=2px2 （y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2)212121yyp2xxyy 21AByyp2k 直线 AB：)xx(yyp2yy1211 211121yypx2yyypx2y 212112121yyyypx2yyypx2y 221121p4yy,px2y 21221yyp4yypx2y )p2x(yyp2y21 AB过定点（2p，0），设 M（2p，0）（3）设

10、 OA y=kx，代入 y2=2px 得：x=0，x=2kp2 A（kp2,kp22）同理，以k1代 k 得 B（2pk2，-2pk）)kk1(Py)k1k(px0220 2)kkk1(k1k222 2)py(px200 即 y02=px0-2p2 中点 M轨迹方程 y2=px-2p2 （4）|)y|y(|p|)y|y(|OM|21SSS2121BOMAOMAOB 221p4|yy|p2 当且仅当|y1|=|y2|=2p 时，等号成立 评注：充分利用（1）的结论。（5）法一：设 H（x3,y3），则33OHxyk 33AByxk AB：)xx(yxyy3333 即3333x)yy(xyx代入

11、y2=2p 得0px2xp2yxpy2y3323332 由（1）知，y1y2=-4p2 23323p4px2xpy2 整理得：x32+y32-2px3=0 点 H轨迹方程为 x2+y2-4x=0（去掉（0，0）法二：OHM=900，又由（2）知 OM为定线段 H 在以 OM为直径的圆上 点 H轨迹方程为(x-p)2+y2=p2，去掉（0，0）例 6、设双曲线12yx22上两点 A、B，AB中点 M（1，2）（1）求直线 AB方程；（2）如果线段 AB的垂直平分线与双曲线交于 C、D两点，那么 A、B、C、D是否共圆，为什么？分析：（1）法一：显然 AB斜率存在 设 AB：y-2=k(x-1)由

12、12yxk2kxy22得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0 当0 时，设 A（x1,y1），B（x2,y2）则221k2)k2(k2xx k=1，满足0 直线 AB：y=x+1 法二：设 A（x1,y1），B（x2,y2）则12yx12yx22222121 两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)=21(y1-y2)(y1+y2)x1x2 21212121yy)xx(2xxyy 1212kAB AB：y=x+1 代入12yx22得：0 评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件0 是否成立。（2）此类探索性

13、命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件。本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心 设 A、B、C、D共圆于OM，因 AB为弦，故 M在 AB垂直平分线即 CD上；又 CD为弦，故圆心 M为 CD中点。因此只需证 CD中点 M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由12yx1xy22得：A（-1，0），B（3，4）又 CD方程：y=-x+3 由12yx3xy22得：x2+6x-11=0 设 C（x3,y3），D（x4,y4），CD中点 M（x0,y0）则63xy,32xxx00430 M（-3，6）|MC|=|MD|=21|CD|=102 又|MA|=|MB|=102|MA|=|MB|=|MC|=|MD|A、B、C、D在以 CD中点，M（-3，6）为圆心，102为半径的圆上 评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视。