例谈立体几何中的转化中学教育高考中学教育教学研究.pdf

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1、例谈立体几何中的转化 立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿立体几何 教学的始终，在立体几何教学中占有很重要的地位。立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化,具体从以下几个方面入手。1、位置关系的转化 线线、线面、面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容，其精髓就是平行与垂直位 置关系的相互依存及转化，平行与垂直问题不但能横向转化，而且可以纵向转化。例 1 已知三棱锥 S ABC 中，/ABC=90侧棱 SA 丄底面 ABC，点 A 在棱 SB 和 SC 上的射影分别是 点 E、F。求证 EF 丄 SC。分析：A、E、F 三点不共线，AF

2、 丄 SC,要证EF 丄 SC,只要证 SC 丄平面 AEF,只要证 SC AE（如图 1）。又 BC 丄 AB,BC 丄 SA,BC 丄平面 SAB,SB 是 SC 在平面 SAB 上的射影。只要证 AE 丄 SB（已知），EF 丄 SC。例 2 设矩形 ABCD,E、F 分别为 AB、CD 的中点，以 EF 为棱将矩形 折成二面角A EF 6（如图2）。求证：平面 ABiE/平面 CiDF。分析一（纵向转化）：/AE/DF,AE 二平面 CiDF,AE/平面 CiDF.同理，BiE/平面 CiDF,又 AEAB iE=E,平面 ABiE/平面 CiDF。分析二（横向转化）：AE/EF,Bi

3、E 丄 EF，且 AEAB iE=E,.EF 丄平面 CiDF。同理，EF 丄平面 CiDF。平面 ABiE/平面 CiDF。2、降维转化 由三维空间向二维平面转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一。降维转化的目的是把空间 的基本元素转化到某一个平面中去，用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题。如线面垂直的判定定 理的证明就是转化为三角形全等的平面问题。例 3 如图-3，在直三棱柱 ABC AiBiCi 中，AB=BC=2,BBi=2，乙 ABC=90,E、F 分别为 AAi、CiBi的中点，沿棱柱的表面从 E 至U F 两点的最短路径的长度 为 _.3,2 2 分析：这类问题通常都是将

4、几何体的侧面展开成平面图形来解决。又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两 相交直线成的角来进行的。例 4 如图-4直四棱柱 ABC AiBiCi Di中，AAi=2,底面 ABCD 是直角梯形，/A 是直角，AB|CD,AB=4,AD=2,DC=i，求异面直线 BCi与 DC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）解：由题意 AB/CD,-Ci BA是异面直线 BCi与 DC 所成的角 连结 ACi与 AC,在 Rt ADC 中，可得 AC=5,又在 Rt ACCi中，可得 ACi=3.在梯形 ABCD 中，过 C 作 CH/AD 交 AB 于 H,得.CHB=90

5、,CH=2,HB=3,CB=13 图-4 又在RtCBG中，可得BC,=17,几何教学中占有很重要的地位立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化具体从以下几个方面入例谈立体几何中的转化手位置关系的转化线线线面面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容其精髓就是平行与在棱和上的射影分别是点求证丄分析三点不共线丄要证丄只要证丄平面只要证如图又丄丄丄平面是在平面上的射影只要证丄已知丄例设矩形分别为的中点以为棱将矩形折成二面角如图求证平面平面分析一纵向转化二平面平面同理平问题的重要数学方法之一维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题如线面

6、垂直的判定定理的证明就是转化为三角形全等的平面问题例如图在直三棱柱中乙分别为的中点沿AB2 BC；-AC；在.ABC3、17 17 ABG 3.17 arccos.17 异而直线BC1与 DC 所成角的大小为。实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。3、割补转化 割形”与补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过割 或补”可化复杂图形为已熟知的简单 几何体，从而较快地找到解决问题的突破口。例 5 如图 5,三棱锥 P ABC 中，已知 PA 丄 BC,PA=BC=n,PA 与 BC 的公垂线 ED=h,1 求证：三棱锥 P ABC 的体积 V=

7、匚 n2h 6 此题证法很多，下面用割补法证明如下：分析一：如图 5,连结 AD、PD,v BC 丄 DE,BC 丄 AB,BC 丄平面 APD，又 DE 丄 AP,V P ABC=V B APD+VCAPD=3 BC APD=6 丄n2h 分析二：如图 6,以三棱锥 P ABC 的底面为底面，侧棱 PA 为 侧棱，补成三棱拄 PB1C1 ABC，连结 EC、EB,则易证 AP 丄平面 EBC,V三棱拄=APSEBC=2 n2h。1 V P ABC=3 V 三棱拄 4、等积转化 等积法”在初中平面几何中就已经有所应用，是一种很实用的数学方法与技巧。立体几何中的 等积 转化”（或称等积变换）是以

8、面积、体积（尤其是四面体的体积）作为媒介，来沟通有关元素之间的联系，从而使问题得到解决。例 6 如图 7,已知 ABCD A1B1C1D1是棱长为 a 的正方体，E、F 分别 为棱AA1与 CC1的中点，求四棱锥 A1 EBFD1的体积。略解：易证四边形 EBFD1是菱形，连结 A1C1、EC1、AC 1、AD 1,则 V A1-EBFD1=2V A-EFD=2V F-A1ED1=2V C1-A1ED1 图一 6 几何教学中占有很重要的地位立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化具体从以下几个方面入例谈立体几何中的转化手位置关系的转化线线线面面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点

9、内容其精髓就是平行与在棱和上的射影分别是点求证丄分析三点不共线丄要证丄只要证丄平面只要证如图又丄丄丄平面是在平面上的射影只要证丄已知丄例设矩形分别为的中点以为棱将矩形折成二面角如图求证平面平面分析一纵向转化二平面平面同理平问题的重要数学方法之一维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题如线面垂直的判定定理的证明就是转化为三角形全等的平面问题例如图在直三棱柱中乙分别为的中点沿(A)、10 5.15(B)5 4(C)5(D)3=2V E-A1C1D1=V A-A1C1D1=6V 正方体AC1=6 a3。5、抽象向具体转化 例 7 A、B、C 是球 O

10、 面上三点，弧 AB、AC、BC 的度数分别 是 90 90 60求球 O 夹在二面角 B AO C 间部分的体 积。分析：此题难点在于空间想象，即较抽象。教师引导学生读题：条件即/AOB=Z AOC=90/BOC=60然后给出图形（如 图 8）,则可想象此题意即为用刀沿 60。二面角，以直径为棱 2兀r3 将一个西瓜切下一块，求这一块西瓜的体积，（答：9）。问题于是变得直观具体多了。例 8 三条直线两两垂直，现有一条直线与其中两条直线都成 60角，求此直线与另外一条直线所成的角。分析：由条件想象到长方体的三条棱也两两垂直，于是问题可以转化为如下问题：长方体一条对角线与同 一顶点上的三条棱所成

11、的角分别是 60 60 a,求a的大小。根据长方体的性质，有 COS a+cos60+cos60=1，可求得 a=45 立体几何的教学，关键是要调动学生的学习兴趣，让他们学会联想与转化。立体几何的许多定理、结论源自生活实际，源自平面几何，要教会学生联想实际模型，联想平面几何中已经熟悉的东西，借助可 取之材来建立空间想象，加强直观教学，这样就容易让学生接受，让他们喜欢上这一门学科，从而更有效 地培养他们的空间想象力，提高他们解决立体几何问题的能力。立方体在高考题中 立方体是高中课本里空间图形中的最基本、最常用、最重要的几何体 首先：其本身中的点、线、面 的位置关系包涵了空间图形中的所有的位置关系

12、 其次：它与代数（如：不等式、函数与数列、排列组合 等）、三角、解析几何有着密切联系 因而是高考命题的热点 下面从数学思想方法方面探究其重要性 一体现数形结合思想 1.2004 年天津卷 如图，在棱长为 2 的正方体ABCD-AB1C1D1中，O 是底面 ABCD 的中心，E、F 分别是CC1、AD 的中点 那么异面直线 OE 和FD1所成的角二的余弦值等于 分析：可建立空间直角坐标系（如图）,转化为空间向量的 数量关系 运用数量积来求解，可得OE=(1,1,1),FD1=(1,0,2)OE=J3,FD1 5,有 OE FD1=(1,1,1)(-1,0,2)=3 又 OE FD1=3 5 co

13、s-:3 5cos71=3图一 8 几何教学中占有很重要的地位立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化具体从以下几个方面入例谈立体几何中的转化手位置关系的转化线线线面面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容其精髓就是平行与在棱和上的射影分别是点求证丄分析三点不共线丄要证丄只要证丄平面只要证如图又丄丄丄平面是在平面上的射影只要证丄已知丄例设矩形分别为的中点以为棱将矩形折成二面角如图求证平面平面分析一纵向转化二平面平面同理平问题的重要数学方法之一维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题如线面垂直的判定定理的证明就是转化为三角形全等的

14、平面问题例如图在直三棱柱中乙分别为的中点沿-15 即 cos v=.故选（B）5 注：立方体具有的直观性特点从垂直联想到运用向量法求解(将形和数很好地结合起来)是个好方法 2.2003 年全国卷(一个四面体的所有棱长都为 、2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为(A)3二(B)4 二(C)3 3(D)6 二 分析：本题中没有立方体，可充分挖掘是正四面体特点补形成立方体.如图，与其外接球的球心共一点.因为正四面体的棱长为 2,所以正方体棱长为 1,从而外接球半径 R=，得 S球=3二.故选(A).2 注：补形割体”构造模型，进行适当的变形为熟悉的模型从而很方便地进行计算使问题得到顺利的解决，

15、是 处理空间图形中惯用的手段.二体现转化与化归思想 3.2003 年全国(理)(16).下列 5 个正方体图形中，I是正方体的一条对角线，点 M、N、P 分别为其所在 棱的中点，能得出丨面 MNP 的图形的序号是 _ (写出所有符合要求的图形序号)n IM.尤P-4.2004 年北京卷(4)如图，在正方体 BC与直线 C1D1的距离相等，则动点 P 到直线 分析：易知是合要求的，由于五个图形中的 丨在同一位置，只要观察图 中的平面 MNP 哪一个 和中的平面 MNP 平行(转化为面面平行)即可.故为：注：本题中选中平面 MNP 作为 参照系”可清淅解题思路，明确解题目标 ABCD-A 1B1C

16、1D1中，P 是侧面 BB1C1C 内一动点，若 P 的轨迹所在的曲线是(A)直线(B)圆(C)双曲线(D)抛物线 分析：易知 P 到直线 C1D1的距离为：PC1.由 C1是定点，BC 是定直线.条件即动点P 到定点C1的距离等于到定直线 线的定义，化归为抛物线问题.故选(D)注：立几中的解几问题是近年来才露脸的题型 B A C N N 几何教学中占有很重要的地位立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化具体从以下几个方面入例谈立体几何中的转化手位置关系的转化线线线面面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容其精髓就是平行与在棱和上的射影分别是点求证丄分析三点不共线丄要证丄只要证

17、丄平面只要证如图又丄丄丄平面是在平面上的射影只要证丄已知丄例设矩形分别为的中点以为棱将矩形折成二面角如图求证平面平面分析一纵向转化二平面平面同理平问题的重要数学方法之一维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题如线面垂直的判定定理的证明就是转化为三角形全等的平面问题例如图在直三棱柱中乙分别为的中点沿和解析几何所有知识内容，更要有跳跃的思维，较强的转换能力 三体现分类讨论思想 5.2000 年全国卷(16)如图，E、F 分别为正方体的面 ADD1A、面BCC1B1的中心，则四边形 BFD1E在该正方体的面上的射 影可能是 _。(要求：把可能的图的序

18、号都填上)分析：因正方体是由三对平行面所组成，所以只要将四边形 BFD1E在三个方向上作投影即可，因而可 分为 三类情况讨论.在面 ABCD 上作投影可得(平行四边形).在面ADD1A 上作投影可得(线段).在面ABB1A 上作投影可得(平行四边形).故可填为：注：截面、射影的问题是空间图形和平面问题间变换的一种重要题型，象本题一样的定性分析题一定要抓 住图形的特性(平行、垂直等)进行分析 6.2004 年湖南卷(10)从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为(A)56(B)52(C)48(D)40 分析：可将合条件的直角三角形 分为两类：第一类：三个顶点在正方体的

19、同一个面上时有：6C：=24 个.第二类：三个顶点在正方体的相对的两个面上时，直角三角形所在的平面一定是正方体的对角面，因而 有：6X4=24 个.故共有：24+24=48 个.从而选(C)注：以几何体为载体考查排列与组合的有关问题是高考的传统题型，要做到不重复不遗漏地分类并且注意 几何体的结构特点去求解.四体现函数与方程思想 7.2002 全国卷(18)如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是 1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直 点M在AC上移动，点N在BF上移动，若 CM 二 BN=a(0：a 2).(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小；分析：将图形补成为正方体(如图)运

20、用函数思想 求解.(1)作 MK 丄 AB 于 K,连 KN.由面 ABCD 丄面 ABEF 得 MK 丄 KN.从而MN=JMK2+KN2A F 几何教学中占有很重要的地位立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化具体从以下几个方面入例谈立体几何中的转化手位置关系的转化线线线面面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容其精髓就是平行与在棱和上的射影分别是点求证丄分析三点不共线丄要证丄只要证丄平面只要证如图又丄丄丄平面是在平面上的射影只要证丄已知丄例设矩形分别为的中点以为棱将矩形折成二面角如图求证平面平面分析一纵向转化二平面平面同理平问题的重要数学方法之一维转化的目的是把空间的基本

21、元素转化到某一个平面中去用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题如线面垂直的判定定理的证明就是转化为三角形全等的平面问题例如图在直三棱柱中乙分别为的中点沿又由BK KA CM J得 KN AF.MA NF 从而KN J2=BK=-|BN=2 a 2 MK 将代入有 MN=(J2 a)?+a=a?_2a+1 为所求.(2)运用函数(I)知 MN=Ja2-忑a+1.配方有州=店_*2+扌有 即当 MN取最小值 注：对空间图形中含有一些 动态”因素(象距离、角度等)的问题，可考虑能否把这一动源作为自变量，构造 目标函数，用函数的思想来处理 8.2004 年湖北(18)如图，在棱长为 1 的正方体 A

22、BCD A1B1C1D1中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F 是 棱 CD 上的动点 试确定点 F 的 使得 D1E 丄平面 AB1F.分析：以 A 为坐标标原点，建立如图所未的空间直角坐标系 运用方程思想(借助向量的数量积)求解 设 DF=x，则 A(0,0,0),B1(1,0,1),D1(0,1,1),E 1,1,0；,F(X,1,0)m分别相交 于点 A、B、C 和点 D、E、F（图 1）,求证：二匹.解答此题时学生很容易误将 BC EF 通过对立方体及空间图形的研究可培养学生的认识空间图形的能力 熟练运用概念、性质、公理、定理进行判断、推理与转化（如：线线、线面、面面垂直关系的转化及

23、 平行关系的转化，把空间距离和角向平面距和平面角的转化，文字语言、符号语言、图形语言三者的 相互转化.）等 2 加强立方体与其它内容的渗透的研究：立方体与排列组合的结合，象染色问题，计数问题；立方体与解析 几何的结合，象轨迹问题；立方体与函数方程的结合，象最值问题；立方体与代数三角的结合，象角度距离 问题；立方体与其它学科的结合，象化学晶体问题等 这样有助于对正方体的深刻认识与实际应用 3 通过对立方体及空间图形的研究挖究高考解答题的模式 高考解答题往往是要解决两大问题：一是证明题，二是计算题 处理方式有两种：在证明中要以典型 的三段论的形式，严格按照演绎推理的步骤完成推理的论证；计算时并非单

24、纯的数字计算，而是与作图与证 明相结合的，立体几何计算题的主要步骤可归纳为：画一证一算”三步 画”是画图，添加必要的辅助线，或画 出所要求的几何量，或进行必要的转换化，证”是证明，证明所画的几何量即为所求，然后进行最后一步计算 这三步几何教学中占有很重要的地位立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化具体从以下几个方面入例谈立体几何中的转化手位置关系的转化线线线面面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容其精髓就是平行与在棱和上的射影分别是点求证丄分析三点不共线丄要证丄只要证丄平面只要证如图又丄丄丄平面是在平面上的射影只要证丄已知丄例设矩形分别为的中点以为棱将矩形折成二面角如图求证

25、平面平面分析一纵向转化二平面平面同理平问题的重要数学方法之一维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题如线面垂直的判定定理的证明就是转化为三角形全等的平面问题例如图在直三棱柱中乙分别为的中点沿之间紧密相连，环环相扣，相互制约，是解决立体几何题的思维程序 由垂直关系建立空间直角坐标 系，运用向量处理即可 几何教学中占有很重要的地位立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化具体从以下几个方面入例谈立体几何中的转化手位置关系的转化线线线面面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容其精髓就是平行与在棱和上的射影分别是点求证丄分析三点不共线丄要证丄只要证丄平面只要证如图又丄丄丄平面是在平面上的射影只要证丄已知丄例设矩形分别为的中点以为棱将矩形折成二面角如图求证平面平面分析一纵向转化二平面平面同理平问题的重要数学方法之一维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题如线面垂直的判定定理的证明就是转化为三角形全等的平面问题例如图在直三棱柱中乙分别为的中点沿