高中平面解析几何知识点总结中学教育高考中学教育高中教育.pdf

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1、高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0,90斜率不存在.（2）直线的斜率：tan),(211212kxxxxyyk两点坐标为111(,)P x y、222(,)P xy.2直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11xxkyy(直线l过点),(111yxP，且斜率为k)注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0 xx （2）斜截式：bkxy (b 为直线l在 y 轴上的截距).（3）两点式：1

2、21121xxxxyyyy(12yy，12xx).注：不能表示与x轴和y轴垂直的直线；方程形式为：0)()(112112xxyyyyxx时，方程可以表示任意直线 （4）截距式：1byax （ba,分别为x轴y轴上的截距，且0,0 ba）注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线（5）一般式：0CByAx (其中 A、B 不同时为0)一般式化为斜截式：BCxBAy，即，直线的斜率：BAk 注：（1）已知直线纵截距b，常设其方程为ykxb或0 x 已知直线横截距0 x，常设其方程为0 xmyx(直线斜率 k 存在时，m为 k 的倒数)或0y 已知直线过点0

3、0(,)xy，常设其方程为00()yk xxy或0 xx（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合 3直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为 0.（1）直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点（2）直线两截距互为相反数直线的斜率为 1 或直线过原点（3）直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点 4两条直线的平行和垂直：（1）若111:lyk xb，222:lyk xb，有 212121,/bbkkll；12121llk k .（2）若0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl，有 1221122121/CACABABAll

4、且；0212121BBAAll 5平面两点距离公式：（1）已知两点坐标111(,)P x y、222(,)P xy，则两点间距离22122121)()(yyxxPP（2）x轴上两点间距离：ABxxAB（3）线段21PP的中点是),(00yxM，则22210210yyyxxx 6点到直线的距离公式：点),(00yxP到直线0CByAxl：的距离：2200BACByAxd 交的直线如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角倾斜角斜率不存在直线的斜率两点坐标为直线方程的五种形式点斜式直线过点且斜率为注当直线斜率不存在时不能用点斜式表示此截距式分别为轴轴上的截距且

5、注不能表示与轴垂直的直线也不能表示与轴垂直的直线特别是不能表示过原点的直线一般式其中不同时为一般式化为斜截式即直线的斜率注已知直线纵截距常设其方程为或已知直线横截距常设其方程为合立体几何中两条直线一般不重合直线在坐标轴上的截矩可正可负也可为直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为或直线过原点直线两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点7两平行直线间的距离公式：两条平行直线002211CByAxlCByAxl：，：的距离：2221BACCd 8直线系方程：（1）平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程 与直线:0l AxB

6、yC 平行的直线可表示为10AxByC 过点00(,)P xy与直线:0l AxByC 平行的直线可表示为：00()()0A xxB yy （2）垂直直线系方程：与直线:0l AxByC 垂直的直线可表示为10BxAyC 过点00(,)P xy与直线:0l AxByC 垂直的直线可表示为：00()()0B xxA yy （3）定点直线系方程：经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()yyk xx(除直线0 xx),其中k是待定的系数 经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()()0A xxB yy,其中,A B是待定的系数（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111Cy

7、BxAlCyBxAl：，：交点的直线系方程为0)(222111CyBxACyBxA(除开2l)，其中是待定的系数 9两条曲线的交点坐标：曲线1:(,)0Cf x y 与2:(,)0Cg x y 的交点坐标方程组(,)0(,)0f x yg x y的解 10.平面和空间直线参数方程：平面直线方程以向量形式给出：交的直线如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角倾斜角斜率不存在直线的斜率两点坐标为直线方程的五种形式点斜式直线过点且斜率为注当直线斜率不存在时不能用点斜式表示此截距式分别为轴轴上的截距且注不能表示与轴垂直的直线也不能表示与轴垂直的直线特别是不能表示

8、过原点的直线一般式其中不同时为一般式化为斜截式即直线的斜率注已知直线纵截距常设其方程为或已知直线横截距常设其方程为合立体几何中两条直线一般不重合直线在坐标轴上的截矩可正可负也可为直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为或直线过原点直线两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点nbynax21 方向向量为 nns21，下面推导参数方程：tnbytnaxtnbynax2121则有令：空间直线方程也以向量形式给出：nbznbynax321 方向向量为nnns321,，下面推导参数方程：tncztnbytnaxtncznbynax321321则有令：注意：只有封

9、闭曲线才会产生参数方程，对于无限曲线，例如二次函数一般不会有化为如上的参数方程。二.圆部分 1圆的方程：（1）圆的标准方程：222)()(rbyax（0r）（2）圆的一般方程：)04(02222FEDFEyDxyx（3）圆的直径式方程：若),(),(2211yxByxA，以线段AB为直径的圆的方程是：0)()(2121yyyyxxxx 注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(ED，FEDr42122（2）一般方程的特点：2x和2y的系数相同且不为零；没有xy项；0422FED 交的直线如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角倾斜角斜率不

10、存在直线的斜率两点坐标为直线方程的五种形式点斜式直线过点且斜率为注当直线斜率不存在时不能用点斜式表示此截距式分别为轴轴上的截距且注不能表示与轴垂直的直线也不能表示与轴垂直的直线特别是不能表示过原点的直线一般式其中不同时为一般式化为斜截式即直线的斜率注已知直线纵截距常设其方程为或已知直线横截距常设其方程为合立体几何中两条直线一般不重合直线在坐标轴上的截矩可正可负也可为直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为或直线过原点直线两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点（3）二元二次方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的等价条件是：0 CA；0B；0422A

11、FED 2圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则：“半弦长2+弦心距2=半径2”222)2(rdl；（2）代数法：设l的斜率为k，l与圆交点分别为),(),(2211yxByxA，则|11|1|22BABAyykxxkAB（其中|,|2121yyxx的求法是将直线和圆的方程联立消去y或x，利用韦达定理求解）3点与圆的位置关系：点),(00yxP与圆222)()(rbyax的位置关系有三种 P在在圆外22020)()(rbyaxrd P在在圆内22020)()(rbyaxrd P在在圆上22020)()(rbyaxrd 【P到圆心距离2200()()

12、daxby】4直线与圆的位置关系：直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:圆心到直线距离为d(22BACBbAad)，由直线和圆联立方程组消去x（或y）后，所得一元二次方程的判别式为 0相离rd；0相切rd；交的直线如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角倾斜角斜率不存在直线的斜率两点坐标为直线方程的五种形式点斜式直线过点且斜率为注当直线斜率不存在时不能用点斜式表示此截距式分别为轴轴上的截距且注不能表示与轴垂直的直线也不能表示与轴垂直的直线特别是不能表示过原点的直线一般式其中不同时为一般式化为斜截式即直线的斜率注已知直线纵截距常设其

13、方程为或已知直线横截距常设其方程为合立体几何中两条直线一般不重合直线在坐标轴上的截矩可正可负也可为直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为或直线过原点直线两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点0相交rd 5两圆位置关系:设两圆圆心分别为21,OO，半径分别为21,rr，dOO21 条公切线外离421rrd；无公切线内含 21rrd；条公切线外切321rrd；条公切线内切121rrd；条公切线相交22121rrdrr 6圆系方程：)04(02222FEDFEyDxyx（1）过直线0CByAxl：与圆C:022FEyDxyx的交点的圆系方程：0)(22C

14、ByAxFEyDxyx,是待定的系数 （2）过圆1C:011122FyExDyx与圆2C:022222FyExDyx的交点的圆系方程：0)(2222211122FyExDyxFyExDyx,是待定的系数 特别地，当1 时，2222111222()0 xyD xE yFxyD xE yF 就是 121212()()()0DDxEEyFF表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线 7圆的切线方程：交的直线如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角倾斜角斜率不存在直线的斜率两点坐标为直线方程的五种形式点斜式直线过点且斜率为注当直线斜率不存在时不能用点斜式

15、表示此截距式分别为轴轴上的截距且注不能表示与轴垂直的直线也不能表示与轴垂直的直线特别是不能表示过原点的直线一般式其中不同时为一般式化为斜截式即直线的斜率注已知直线纵截距常设其方程为或已知直线横截距常设其方程为合立体几何中两条直线一般不重合直线在坐标轴上的截矩可正可负也可为直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为或直线过原点直线两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点（1）过圆222ryx上的点),(00yxP的切线方程为:200ryyxx（2）过圆222)()(rbyax上的点),(00yxP的切线方程为:200)()(rbybyaxax （3）当点)

16、,(00yxP在圆外时，可设切方程为)(00 xxkyy，利用圆心到直线距离等于半径，即rd，求出k；或利用0，求出k若求得k只有一值，则还有一条斜率不存在的直线0 xx 8.圆的参数方程：圆方程参数方程源于：1cossin22 那么 1)()2222RbyRax（设：cos)sin)RbyRax（得：cossinRbyRax 9把两圆011122FyExDyx与022222FyExDyx方程相减 即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121FFyEExDD 10对称问题：（1）中心对称：点关于点对称：点),(11yxA关于),(00yxM的对称点)2,2(1010yyxxA 直线关于点

17、对称：法 1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程 法 2：求出一个对称点，在利用21/ll由点斜式得出直线方程 交的直线如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角倾斜角斜率不存在直线的斜率两点坐标为直线方程的五种形式点斜式直线过点且斜率为注当直线斜率不存在时不能用点斜式表示此截距式分别为轴轴上的截距且注不能表示与轴垂直的直线也不能表示与轴垂直的直线特别是不能表示过原点的直线一般式其中不同时为一般式化为斜截式即直线的斜率注已知直线纵截距常设其方程为或已知直线横截距常设其方程为合立体几何中两条直线一般不重合直线在坐

18、标轴上的截矩可正可负也可为直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为或直线过原点直线两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点（2）轴对称：点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上 点 AA、关于直线l对称上中点在lAAlAA 方程中点坐标满足lAAkklAA 1 直线关于直线对称：（设ba,关于l对称）法 1：若ba,相交，求出交点坐标，并在直线a上任取一点，求该点关于直线l的对称点 若la/，则lb/，且ba,与l的距离相等 法 2：求出a上两个点BA,关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程（3）其他对称：点

19、(a,b)关于 x 轴对称：(a,-b)；关于 y 轴对称：(-a,b)；关于原点对称：(-a,-b)；点(a,b)关于直线 y=x 对称：(b,a)；关于 y=-x 对称：(-b,-a)；关于 y=x+m对称：(b-m、a+m)；关于 y=-x+m对称：(-b+m、-a+m).11 若),(),(),(332211yxCyxByxA，则 ABC 的重心 G 的坐标是33321321yyyxxx，12各种角的范围：直线的倾斜角 1800 两条相交直线的夹角 900 两条异面线所成的角 900 交的直线如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角倾斜角斜率不存

20、在直线的斜率两点坐标为直线方程的五种形式点斜式直线过点且斜率为注当直线斜率不存在时不能用点斜式表示此截距式分别为轴轴上的截距且注不能表示与轴垂直的直线也不能表示与轴垂直的直线特别是不能表示过原点的直线一般式其中不同时为一般式化为斜截式即直线的斜率注已知直线纵截距常设其方程为或已知直线横截距常设其方程为合立体几何中两条直线一般不重合直线在坐标轴上的截矩可正可负也可为直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为或直线过原点直线两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点 三.椭圆部分 1.椭圆定义：到两定点距离之和为一常数的平面几何曲线：即 MO1 +MO2 =2

21、a 或定义：任意一条线段，在线段中任取两点（不包括两端点），将线段两端点置于这两点处，用一个钉子将线段绷直旋转一周得到的平面几何曲线即为椭圆。从椭圆定义出发得到一个基本结论：椭圆上任意一点引出的两个焦半径之和为常数 2a。2.椭圆性质：由于椭圆上任意一点到两点距离之和为常数，所以从A 点向焦点引两条焦半径 AO1+AO2=AO2+O2B=2a 这是因为 AO1 =O2B (由图形比较看出)椭圆的标准方程：12222byax 椭圆参数方程：从圆方程知：Ryx222 圆方程参数方程源于：1cossin22 所以按上面逻辑将椭圆方程 12222byax视为 设 cossinRyRx 得：cossin

22、RRyx 同理椭圆参数方程为：cossinbyax 得：cossinbayx 交的直线如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角倾斜角斜率不存在直线的斜率两点坐标为直线方程的五种形式点斜式直线过点且斜率为注当直线斜率不存在时不能用点斜式表示此截距式分别为轴轴上的截距且注不能表示与轴垂直的直线也不能表示与轴垂直的直线特别是不能表示过原点的直线一般式其中不同时为一般式化为斜截式即直线的斜率注已知直线纵截距常设其方程为或已知直线横截距常设其方程为合立体几何中两条直线一般不重合直线在坐标轴上的截矩可正可负也可为直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为或直线过原点直线

23、两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点由于两个焦半径和为 2a 所以COCOaCOCO21212 得：cCObCOaCOCO21 得：baccba22222 椭圆离心率，来源于圆的定义：圆实际上是一种特殊的椭圆，而圆不过是两个焦点与坐标圆点重合罢了。椭圆离心率为 ace 四.双曲线部分 1.双曲线定义：到两定点的距离之差的绝对值为常数的平面几何图形，即：a212MOMO 双曲线的标准方程：12222byax 由于双曲线上任意一点两个焦点之差的绝对值为常数 2a.aABAQBQABAQAQaABAQAQ22121212 双曲线的渐近线：由标准方程知：

24、axabyaxaby2222222 程。以上为渐近线的推导过为渐近线，另一条为又xabyxabyxabxabaxaby222 交的直线如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角倾斜角斜率不存在直线的斜率两点坐标为直线方程的五种形式点斜式直线过点且斜率为注当直线斜率不存在时不能用点斜式表示此截距式分别为轴轴上的截距且注不能表示与轴垂直的直线也不能表示与轴垂直的直线特别是不能表示过原点的直线一般式其中不同时为一般式化为斜截式即直线的斜率注已知直线纵截距常设其方程为或已知直线横截距常设其方程为合立体几何中两条直线一般不重合直线在坐标轴上的截矩可正可负也可为直线在

25、两坐标轴上的截距相等直线的斜率为或直线过原点直线两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点若标准方程为 12222axby，那么这时xabyybaybabybax222 注意 y 下面对应 b，x 下面对应 a.取 x=a 及 x=-a 两条直线，它们与渐近线的两个焦点的连线和 y 轴的交点称为虚焦点，该轴称为虚轴。推导 a、b、c 之间的关系：设双曲线上任意一点坐标 M（x，y）1222222222122212222)()()()(acyaxaycxycxMOMOycxMOycxMO经化简得：设：12222222byaxbac双曲线标准方程为：从而得

26、到:bac222 五.抛物线部分 1.定义：到定点与定直线距离相等的平面曲线称为抛物线。为了推导抛物线标准式，设：定直线为 x=-p，定点为 O1（p，0），（尽管这是一种特殊情况，但同样具有一般性）设：抛物线上任意一点坐标为 M(x，y)M 点到定直线 x=-p 的距离为px M 点到定点 O1（p，0）的距离为ypx22)(交的直线如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角倾斜角斜率不存在直线的斜率两点坐标为直线方程的五种形式点斜式直线过点且斜率为注当直线斜率不存在时不能用点斜式表示此截距式分别为轴轴上的截距且注不能表示与轴垂直的直线也不能表示与轴垂直

27、的直线特别是不能表示过原点的直线一般式其中不同时为一般式化为斜截式即直线的斜率注已知直线纵截距常设其方程为或已知直线横截距常设其方程为合立体几何中两条直线一般不重合直线在坐标轴上的截矩可正可负也可为直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为或直线过原点直线两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点 pxyypxpxpxpxypxpx422)(22222222 很显然与以前学习的二次函数是一致的，只不过这里自变量变成 y，函数变成 x；而二次函数自变量是 x，函数是 y，因而二次函数也是抛物线，同样具有抛物线的性质。如下：)0(2acbxxay 韦达定理：.

28、acxxabxx2121 .顶点坐标)(4422abacab，推导采用配方法：abacabxacababxabxay4422222222 求根公式：aacbbx24221，从而零点坐标为 0021，、，xx。平移。位，向右移动一个单位即图像想上移动一个单，及如何为零，不难看出和同样看、单位，即图像向左移动一个如何为零，不难看出同样看、即向下移动一个单位。时，只有在难看出怎么样才可等于零，不如何平移呢？那就要看、例如：11)1()1()1(2)1(1)1()1(2101)1(2)1(22222cb,axyxyxpyxxxpyyyypxy 注意，平移部分需要自己琢磨，根据上面三个例子.交的直线如果

29、把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角倾斜角斜率不存在直线的斜率两点坐标为直线方程的五种形式点斜式直线过点且斜率为注当直线斜率不存在时不能用点斜式表示此截距式分别为轴轴上的截距且注不能表示与轴垂直的直线也不能表示与轴垂直的直线特别是不能表示过原点的直线一般式其中不同时为一般式化为斜截式即直线的斜率注已知直线纵截距常设其方程为或已知直线横截距常设其方程为合立体几何中两条直线一般不重合直线在坐标轴上的截矩可正可负也可为直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为或直线过原点直线两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点 精心

30、搜集整理，请按实际需求再行修改编辑，因文档各种差异排版需调整字体属性及大小 交的直线如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角倾斜角斜率不存在直线的斜率两点坐标为直线方程的五种形式点斜式直线过点且斜率为注当直线斜率不存在时不能用点斜式表示此截距式分别为轴轴上的截距且注不能表示与轴垂直的直线也不能表示与轴垂直的直线特别是不能表示过原点的直线一般式其中不同时为一般式化为斜截式即直线的斜率注已知直线纵截距常设其方程为或已知直线横截距常设其方程为合立体几何中两条直线一般不重合直线在坐标轴上的截矩可正可负也可为直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为或直线过原点直线两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点