高等数学知识点总结中学教育中考中学教育中考.pdf

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1、高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：22222zbyax 2）椭球面：1222222czbyax 旋转椭球面：1222222czayax 3）单叶双曲面：1222222czbyax 双叶双曲面：1222222czbyax 4）椭圆抛物面：zbyax2222 双曲抛物面（马鞍面）：zbyax2222 5）椭圆柱面：12222byax 双曲柱面：12222byax 6）抛物柱面：ayx2（二）平面及其方程 1、点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA 法向量：),(CBAn，过点),(000zyx 2、一般式方程：0DCzByA

2、x 截距式方程：1czbyax 3、两平面的夹角：),(1111CBAn，),(2222CBAn，222222212121212121cosCBACBACCBBAA 21 0212121CCBBAA ；21/212121CCBBAA 4、点),(0000zyxP到平面0DCzByAx的距离：222000CBADCzByAxd（三）空间直线及其方程 1、一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA 2、对称式（点向式）方程：pzznyymxx000 方向向量：),(pnms，过点),(000zyx 3、两直线的夹角：),(1111pnms，),(2222pnms，22222221

3、2121212121cospnmpnmppnnmm 21LL 0212121ppnnmm ；21/LL 212121ppnnmm 4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sinpnmCBACpBnAm/L 0CpBnAm ；L pCnBmA 第九章 多元函数微分法及其应用 1、连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 2、偏导数：xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000 ；yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000 3、方向导数：coscosyfxflf其中,为l的方向角。4、梯度：),(yxfz，则

4、jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000000。5、全微分：设),(yxfz，则dddzzzxyxy（一）性质 1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面二平面及其方程点法式方程法向量过点一般式方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离三空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点两直线中为的方向角梯度则全微分设则一性质函数可微偏导连续偏导存在函数连续等概念之间的关系微分法复合函数求导链式法则若则二应用求函数的极值解方程组求出所有驻点对于每一个驻点令若函数有极小值若函数有极大值若函数没与法线

5、曲面则上一点处的切平面方程为偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义法线方程为第十章重积分一二重积分几何意义曲顶柱体的体积定义计算直角坐标极坐标二三重积分定义计算直角坐标先一后二先 2、微分法 1）复合函数求导：链式法则 若(,),(,),(,)zf u v uu x y vv x y，则 zzuzvxuxvx ，zzuzvyuyvy （二）应用 1）求函数),(yxfz 的极值 解方程组 00yxff 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00yx，令),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy，若02 BAC，0A，函数有极小值，若02 BAC，0A，

6、函数有极大值；若02 BAC，函数没有极值；若02 BAC，不定。2、几何应用 1）曲线的切线与法平面 曲线)()()(:tzztyytxx，则上一点),(000zyxM（对应参数为0t）处的 切线方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx 法平面方程为：0)()()(000000zztzyytyxxtx 2）曲面的切平面与法线 曲面0),(:zyxF，则上一点),(000zyxM处的切平面方程为：偏导数存在 函数可微 函数连续 偏导数连续 充分条件 必要条件 定义 1 2 2 3 4 双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面二平面及其方程点法式方程法向量过点

7、一般式方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离三空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点两直线中为的方向角梯度则全微分设则一性质函数可微偏导连续偏导存在函数连续等概念之间的关系微分法复合函数求导链式法则若则二应用求函数的极值解方程组求出所有驻点对于每一个驻点令若函数有极小值若函数有极大值若函数没与法线曲面则上一点处的切平面方程为偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义法线方程为第十章重积分一二重积分几何意义曲顶柱体的体积定义计算直角坐标极坐标二三重积分定义计算直角坐标先一后二先0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFz

8、yx 法线方程为：),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 第十章 重积分（一）二重积分 ：几何意义：曲顶柱体的体积 1、定义：nkkkkDfyxf10),(limd),(2、计算：1）直角坐标 bxaxyxyxD)()(),(21，21()()(,)d dd(,)dbxaxDf x yx yxf x yy dycyxyyxD)()(),(21，21()()(,)d dd(,)ddycyDf x yx yyf x yx 2）极坐标)()(),(21D，21()()(,)d d(cos,sin)dDf x yx ydf （二）三重积分 1、定义：nkk

9、kkkvfvzyxf10),(limd),(2、计算：1）直角坐标 Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),(ddd),(-“先一后二”ZDbayxzyxfzvzyxfdd),(dd),(-“先二后一”2）柱面坐标 zzyxsincos，(,)d(cos,sin,)d d df x y zvfzz 3）球面坐标 cossinsincossinrzryrx 双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面二平面及其方程点法式方程法向量过点一般式方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离三空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点两直线中为的方向角梯度则全

10、微分设则一性质函数可微偏导连续偏导存在函数连续等概念之间的关系微分法复合函数求导链式法则若则二应用求函数的极值解方程组求出所有驻点对于每一个驻点令若函数有极小值若函数有极大值若函数没与法线曲面则上一点处的切平面方程为偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义法线方程为第十章重积分一二重积分几何意义曲顶柱体的体积定义计算直角坐标极坐标二三重积分定义计算直角坐标先一后二先2(,)d(sin cos,sin sin,cos)sin d d df x y zvf rrrrr （三）应用 曲面DyxyxfzS),(,),(:的面积：yxyzxzADdd)()(122 第十一章 曲线积分与曲

11、面积分（一）对弧长的曲线积分 1、定义：01(,)dlim(,)niiiLif x ysfs 2、计算：设),(yxf在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为)(),(),(ttytx，其中)(),(tt在,上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则 22(,)d(),()()()d ,()Lf x ysfttttt （二）对坐标的曲线积分 1、定义：设 L 为xoy面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数),(yxP，),(yxQ在 L 上有界，定义nkkkkLxPxyxP10),(limd),(，nkkkkLyQyyxQ10),(limd),(.向量形式：LLyyxQxyxPrFd),(

12、d),(d 2、计算：设),(,),(yxQyxP在有向光滑弧L上有定义且连续,L的参数方程为 ):(),(),(ttytx，其中)(),(tt在,上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则(,)d(,)d(),()()(),()()d LP x yxQ x yyPtttQtttt 3、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为)()(tytxL：，L上点),(yx处的切向量的方向角为：,，)()()(cos22ttt，)()()(cos22ttt，则dd(coscos)dLLP xQ yPQs.双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面二平面及其方程点法式方程法向量过点一

13、般式方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离三空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点两直线中为的方向角梯度则全微分设则一性质函数可微偏导连续偏导存在函数连续等概念之间的关系微分法复合函数求导链式法则若则二应用求函数的极值解方程组求出所有驻点对于每一个驻点令若函数有极小值若函数有极大值若函数没与法线曲面则上一点处的切平面方程为偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义法线方程为第十章重积分一二重积分几何意义曲顶柱体的体积定义计算直角坐标极坐标二三重积分定义计算直角坐标先一后二先（三）格林公式 1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数),(,),

14、(yxQyxP在D 上具有连续一阶偏导数,则有LDyQxPyxyPxQdddd 2、G为一个单连通区域，函数),(,),(yxQyxP在G上具有连续一阶偏导数，则yPxQ 曲线积分 ddLP xQ y在G内与路径无关 （四）对面积的曲面积分 1、定义：设为光滑曲面，函数),(zyxf是定义在上的一个有界函数，定义 iiiiniSfSzyxf),(limd),(10 2、计算：“一单二投三代入”),(:yxzz，xyDyx),(，则 yxyxzyxzyxzyxfSzyxfyxDyxdd),(),(1),(,d),(22（五）对坐标的曲面积分 1、定义：设为 有 向 光 滑 曲 面，函 数),()

15、,(),(zyxRzyxQzyxP是 定 义 在上 的 有 界 函 数，定 义 01(,)d dlim(,)()niiiixyiR x y zx yRS 同理，01(,)d dlim(,)()niiiiyziP x y zy zPS ；01(,)d dlim(,)()niiiiz xiQ x y zz xRS 2、性质：1）21，则 12d dd dd dd dd dd dd dd dd dP y zQ z xR x yP y zQ z xR x yP y zQ z xR x y 计算：“一投二代三定号”),(:yxzz，xyDyx),(，),(yxzz 在xyD上 具 有 一 阶 连 续 偏

16、 导 数，),(zyxR在上 连 续，则(,)d d,(,)d dx yDR x y zx yR x y z x yx y,为上侧取“+”，为下侧取“-”.双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面二平面及其方程点法式方程法向量过点一般式方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离三空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点两直线中为的方向角梯度则全微分设则一性质函数可微偏导连续偏导存在函数连续等概念之间的关系微分法复合函数求导链式法则若则二应用求函数的极值解方程组求出所有驻点对于每一个驻点令若函数有极小值若函数有极大值若函数没与法线曲面则上一点处的切平面方程为偏导数

17、存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义法线方程为第十章重积分一二重积分几何意义曲顶柱体的体积定义计算直角坐标极坐标二三重积分定义计算直角坐标先一后二先3、两类曲面积分之间的关系：SRQPyxRxzQzyPdcoscoscosdddddd 其中,为有向曲面在点),(zyx处的法向量的方向角。（六）高斯公式 1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,的方向取外侧,函数,P Q R在上有连续的一阶偏导数,则有 yxRxzQzyPzyxzRyQxPdddddd ddd 或SRQPzyxzRyQxPdcoscoscos ddd 2、通量与散度 通量：向量场),(RQPA通过曲面指定

18、侧的通量为：yxRxzQzyPdddddd 散度：zRyQxPAdiv（七）斯托克斯公式 1、斯 托 克 斯 公 式：设 光 滑 曲 面 的 边 界 是 分 段 光 滑 曲 线,的 侧 与 的 正 向 符 合 右 手 法 则,),(),(),(zyxRzyxQzyxP在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有 zRyQxPyxyPxQxzxRzPzyzQyRddd dddddd 为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:zRyQxPRQPzyxyxxzzyddddddddd 2、环流量与旋度 环流量：向量场),(RQPA沿着有向闭曲线的环流量为zRyQxPddd 旋度：yPxQxRzPzQyR

19、Arot ,第十二章 无穷级数（一）常数项级数 1、定义：1）无穷级数：nnnuuuuu3211 双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面二平面及其方程点法式方程法向量过点一般式方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离三空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点两直线中为的方向角梯度则全微分设则一性质函数可微偏导连续偏导存在函数连续等概念之间的关系微分法复合函数求导链式法则若则二应用求函数的极值解方程组求出所有驻点对于每一个驻点令若函数有极小值若函数有极大值若函数没与法线曲面则上一点处的切平面方程为偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义法线方程

20、为第十章重积分一二重积分几何意义曲顶柱体的体积定义计算直角坐标极坐标二三重积分定义计算直角坐标先一后二先部分和：nnkknuuuuuS3211，正项级数：1nnu，0nu 交错级数：1)1(nnnu，0nu 2）级数收敛：若SSnnlim存在，则称级数 1nnu收敛，否则称级数 1nnu发散 3）条件收敛：1nnu收敛，而 1nnu发散；绝对收敛：1nnu收敛。2、性质：1）改变有限项不影响级数的收敛性；2）级数 1nna，1nnb收敛，则1)(nnnba收敛；3）级数 1nna收敛，则任意加括号后仍然收敛；4）必要条件：级数 1nnu收敛0limnnu.（注意：不是充分条件！）3、审敛法 正

21、项级数：1nnu，0nu 1）定义：SSnnlim存在；2）1nnu收敛nS有界；3）比较审敛法：1nnu，1nnv为正项级数，且),3,2,1(nvunn 若 1nnv收敛，则 1nnu收敛；若 1nnu发散，则 1nnv发散.4）比较法的推论：1nnu，1nnv为正项级数，若存在正整数m，当mn 时，nnkvu，而 1nnv收敛，则 1nnu收敛；若存在正整数m，当mn 时，nnkvu，而 1nnv发散，则 1nnu发散.双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面二平面及其方程点法式方程法向量过点一般式方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离三空间直线及其方程一般式方程对

22、称式点向式方程方向向量过点两直线中为的方向角梯度则全微分设则一性质函数可微偏导连续偏导存在函数连续等概念之间的关系微分法复合函数求导链式法则若则二应用求函数的极值解方程组求出所有驻点对于每一个驻点令若函数有极小值若函数有极大值若函数没与法线曲面则上一点处的切平面方程为偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义法线方程为第十章重积分一二重积分几何意义曲顶柱体的体积定义计算直角坐标极坐标二三重积分定义计算直角坐标先一后二先5）比较法的极限形式：1nnu，1nnv为正项级数，若)0(limllvunnn，而 1nnv收敛，则 1nnu收敛；若0limnnnvu或nnnvulim，而 1

23、nnv发散，则 1nnu发散.6）比值法：1nnu为正项级数，设luunnn1lim，则当1l时，级数 1nnu收敛；则当1l时，级数 1nnu发散；当1l时，级数 1nnu可能收敛也可能发散.7）根值法：1nnu为正项级数，设lunnnlim，则当1l时，级数 1nnu收敛；则当1l时，级数 1nnu发散；当1l时，级数 1nnu可能收敛也可能发散.8）极限审敛法：1nnu为正项级数，若0limnnun或nnunlim，则级数 1nnu发散；若存在1p，使得)0(limllunnpn，则级数 1nnu收敛.交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：1)1(nnnu，0nu满足：),3,2,1(1n

24、uunn，且0limnnu，则级数1)1(nnnu收敛。任意项级数：1nnu绝对收敛，则 1nnu收敛。常见典型级数：几何级数：1 1 0qqaqnn发散，收敛，；p-级数：1p 1 11发散，收敛，pnnp（二）函数项级数 1、定义：函数项级数 1)(nnxu，收敛域，收敛半径，和函数；2、幂级数：0nnnxa 3、收敛半径的求法：nnnaa1lim，则收敛半径 0 ,00 ,1R 4、泰勒级数 nnnxxnxfxf)(!)()(000)(0)(!)1()(lim)(lim10)1(nnnnnxxnfxR 展开步骤：（直接展开法）双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面二

25、平面及其方程点法式方程法向量过点一般式方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离三空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点两直线中为的方向角梯度则全微分设则一性质函数可微偏导连续偏导存在函数连续等概念之间的关系微分法复合函数求导链式法则若则二应用求函数的极值解方程组求出所有驻点对于每一个驻点令若函数有极小值若函数有极大值若函数没与法线曲面则上一点处的切平面方程为偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义法线方程为第十章重积分一二重积分几何意义曲顶柱体的体积定义计算直角坐标极坐标二三重积分定义计算直角坐标先一后二先1）求出,3,2,1 ),()(nxfn；2）求出,2,

26、1,0 ),(0)(nxfn；3）写出nnnxxnxf)(!)(000)(；4）验证0)(!)1()(lim)(lim10)1(nnnnnxxnfxR是否成立。间接展开法：（利用已知函数的展开式）1）),(,!10 xxnennx；2）),(,!)12(1)1(sin0121xxnxnnn；3）),(,)!2(1)1(cos021xxnxnnn；4）)1 ,1(,110 xxxnn；5）)1 ,1(,)1(110 xxxnnn 6）1 ,1(,1)1()1ln(01xxnxnnn 7）)1 ,1(,)1(11022xxxnnn 8）)1 ,1(,!)1()1(1)1(1xxnnmmmxnnm

27、5、傅里叶级数 1）定义：正交系：nxnxxxxxcos,sin,2cos,2sin,cos,sin,1函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间 ,上积分为零。傅里叶级数：)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn 系数：),3,2,1(dsin)(1),2,1,0(dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann 2）收敛定理：(展开定理)设 f(x)是周期为 2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则 f(x)的傅里叶级数收敛,且有 双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱

28、面二平面及其方程点法式方程法向量过点一般式方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离三空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点两直线中为的方向角梯度则全微分设则一性质函数可微偏导连续偏导存在函数连续等概念之间的关系微分法复合函数求导链式法则若则二应用求函数的极值解方程组求出所有驻点对于每一个驻点令若函数有极小值若函数有极大值若函数没与法线曲面则上一点处的切平面方程为偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义法线方程为第十章重积分一二重积分几何意义曲顶柱体的体积定义计算直角坐标极坐标二三重积分定义计算直角坐标先一后二先为间断点为连续点xxfxfxxfnxbnxaannn

29、 ,2)()(),(sincos210 3）傅里叶展开：求出系数：),3,2,1(dsin)(1),2,1,0(dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann；写出傅里叶级数)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn；根据收敛定理判定收敛性。精心搜集整理，请按实际需求再行修改编辑，因文档各种差异排版需调整字体属性及大小 双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面二平面及其方程点法式方程法向量过点一般式方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离三空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点两直线中为的方向角梯度则全微分设则一性质函数可微偏导连续偏导存在函数连续等概念之间的关系微分法复合函数求导链式法则若则二应用求函数的极值解方程组求出所有驻点对于每一个驻点令若函数有极小值若函数有极大值若函数没与法线曲面则上一点处的切平面方程为偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义法线方程为第十章重积分一二重积分几何意义曲顶柱体的体积定义计算直角坐标极坐标二三重积分定义计算直角坐标先一后二先