2021届新高考数学考前最后模拟02（解析版）-2021年新高考数学考前压轴冲刺（新高考地区专用）.pdf

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1、2021届新高考数学考前最后模拟02本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 A=x6N|xV4,B=xx(x-4)0|,则 A U 8=()A.1,2,3 B.x|0

2、 x4)C._r|0Wx4 D.x|x4)【答案】C【分析】分别求出集合A,B,求出A,8 的并集即可.【解答】解：集合 A=.rN|x4=0,1,2,3),“木(x-4)0)=x|0 x4,则 AUB=x|0Wx*1 0 1 0#故 EF=EC+CF 若 DC q CB 若 AB-AD.故选：D.【知识点】平面向量的基本定理3.由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字的五位数，且是奇数，其中恰有两个数字是偶数，则这样的五位数的个数为（）A.7200 B.6480 C.4320 D.5040【答案】B【分析】根据题意，分 2 种情况讨论：，选出的2 个偶数中没有0,，选出的2

3、 个偶数中含有0,由加法原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，需要在0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 选出2 个偶数，3 个奇数组成五位数，分 2 种情况讨论：，选出的2 个偶数中没有0,有C5JC42A3IA44=4320种情况，即有4320个符合题意的五位数，选出的2 个偶数中含有0,有 C53C/A?A?A33=2160种情况，即有2160个符合题意的五位数，则一共有4320+2160=6480个符合题意的五位数，故选：B.【知识点】排列、组合及简单计数问题4.如图，圆柱的轴截面是边长为4 的正方形ABCC,点 E 为上底圆弧上一个动点，当三棱锥B-A C E 的体积最大时，三棱

4、锥B-A C E外接球的表面积为（)A.2衣 兀 B.西 返T T C.32n D.她 冗3 3【答案】C【分析】当三棱锥P-4 8 C 体积最大时，点尸为圆弧CO的中点，根据。A =O 8=O C=O E=2加,即可求解结论.【解答】解：当三棱锥B-A C E 的体积最大时，即三棱锥E-A B C 体积最大时，也就是点E 到平面ABC的距离最大，此时点E为上底圆弧C D的中点，取 AC的中点为O,则 OA=O 8=O C=O E=2我，即三棱锥B-A C E的外接球的半径为2圾，二三棱锥B-A C E外接球的表面积为4n（2圾）占 32m故选：C.【知识点】球的体积和表面积5.已知复数z=x

5、+yi（x,yGR）满 足|7|-GR）满 足 Iz|4 1，它的几何意义是以（0,0）为圆心，1 为半径的圆以及 内 部 部 分.1 的图形是除去图形中阴影部分，如图：.71 1 、_兀一(1 x ix i)复数z=x+yi(x,yWR)满 足|z|1，则-1的概率：-I 售故选：C.【知识点】几何概型、复数的模6.如图，在矩形A8C。中，AB=2,AO=3,点E是A。的三等分点（靠近点4）.现以EC为折痕，将CDE翻折得到 C D E,设NBEX=e,则在翻折的过程中cosG的取值范围是（）【答案】A【分析】可得/）的轨迹和线段口 的轨迹，考虑当点/）落在平面A8C力内时，设与8 c的交点

6、为凡可得N B E F W 6 W N B E D,推得四边形EDC尸是正方形，再求cos/8EF,cosNBED,可得所求范围.【解答】解：由题意可得。的轨迹是以A C为直径的圆的一部分，线段的轨迹是圆锥的侧面的一部分.当点。落在平面A B C D内时，设EZT与B C的交点为F,易得F是8 c的三等分点（靠近点8）,连接EF,可得/BEFW OW NBEQ,则 cosZBFcos0cosZB,因为 Q=CO=CF=EF=2,ZADC=90 ,所以四边形CF是正方形，则NQEF=90,因此 co s Z BEF=cos Z EBA=空55co s ZB )=co s (ZBE F+9 03)

7、=-sin Z B E F=-则co s-立织1,5 5故选：A.【知识点】三角形中的几何计算7.在三棱锥 P-A 8 C 中，已知 A B=m PA=a,P B=M a,CA=yf7a,C B=2 a,二面角 P-A B-C 的大I T小 为 飞 则三棱锥P-A B C的体积为（）3 3 3A.B.C.D.a34 3 2【答案】A【分析】由题意画出图形，由已知求解三角形可得/尸8 A=可，过点尸作A B的垂线交A B的延长线于点D,求解三角形可得C O L A D,得/P O C为是二面角P-A B-C的平面角，则/PDC=w，且证得A O _L平面P C D,再由Vp c-|vp_A C

8、D-1 4 _p cD求解三棱锥尸一 A B。的体积【解答】解：如图，在用8中，：AB=a,fl 4 =V5 a.P B=a,由余弦定理可得，co s/P BA=5+2 a 75a=_ 2 ,得/尸BA=22 L.2 a V2 a 2 4jr过点尸作A 8的垂线交A 8的延长线于点。，则N P B D=-r，故P =8 O=a,在 4 BC中，A B=a,BC=2 a,A C=J 7 a,由余弦定理可得,cosZABC-7-=-4-./ABC=m 兀，则N D B C=，2a2a 2 3 3连接C O,在BCD中，由余弦定理可得C O=Ja,：.BD2+CD2BC2,故 CO_L4O,IT又

9、POLAD,NPOC为是二面角尸-4 8-C 的平面角，则/P D C=7-o9：CD LAD,PDAD,CDCPD=D,.AO_L 平面 PCT),2贝 S/kPDC V P DCDs i爵 卷 一.：AB=BDa,，三棱锥 P-ABC 的体积为：4Vp-ACD 4VA-PCD=f Xf XX 2a故选：A.C【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积、二面角的平面角及求法8.定义在R 上的可导函数/(X)满足/(2-x)=/(x)-2x+2,记/(x)的导函数为/(x),当xW l时恒有/(x)f(m)-m(1 -2 m)-(1 -2 ni),所以构造函数 F(x)=/(x)-x,所以不等式=F(w

10、i)F (1 -2 m)；由于条件/(2 -x)f(x)-2 x+2*(2 -x)-(2 -x)f(x)-x,即 F (2 -x)F(x)所以尸(x)的对称轴为x=l；且 尸(x)=f(x)-1,还可以得出F(x)的单调性，即可解出，”的取值范围.【解答】解：由条件得：函数/(?)-/(1 -2 m)2 3，-1 /(w)-(i -2 m)-(1 -2 m),所以构造函数 F(x)f(x)x,f(m)-/(1 -2 r n)3?-(，w)尸(1 -2 m)由于/(2-x)=f(J C)-2 x+2；所以f(2-x)-(2 -x)f(x)-x,即 F(2-x)=F(x),所以F(x)的对称轴为x

11、=l；又,：F (x)=f(x)-I,当x W l时恒有/(x)0,F(x)是增函数；A-e (-8,1,P(x)|1 -2 m-1|,解得：3 n l 2+2*I WO,/.w -1,y|.故选：D.【知识点】利用导数研究函数的单调性二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选对得分，错选或漏选不得分。9.已知圆C：点A是直线)，=丘-3上任意一点，若以点A为圆心，半径为1的圆4与 圆C没有公共点，则整数%的值可能为()A.-2 B.-1 C.0 D.1【答案】ABC【分析】由题意可得圆心(I,0)到 直 线)=履-3(K Z)的距离

12、大于或等于2,利用点到直线的距离公式求得k 的范围，可得结论.【解答】解：圆 C 的方程为/+产-2%=0,即(x-l)2+)2=i,半径为1,由题意可得，圆 心(1,0)到直线)，=依-3 a e z)的距离大于或等于2,即匕31.2,求得二收 近 w收二A 2 近,.%=-2 或-1或 0,V?+l 3 3故选：ABC.【知识点】直线与圆的位置关系10.如图，一个水轮的半径为6?，水轮轴心。距离水面的高度为3W，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5 圈，当水轮上点尸从水中浮现时的起始(图中点尸o)开始计时，记 为 点 尸 距 离 水 面 的 高 度关于时间t(i)的函数，则下列结论正确的

13、是()B./(1)=于(7)C.若C(f)2 6,则 f62+12k,5+12幻(髭N)D.不论r 为何值，f (r)+f(r+4)+f(r+8)是定值【答案】BD【分析】设/(/)=A sin(3x+(p)+B,根据/(f)的最大值和最小值求得力和8,利用周期求得3,当，=TT TF0 时，f (r)=0,求得p,因 此 函 数 的 解 析 式 为 力=6sin(r-)+3.由此，再 逐 判断6 6每个选项即可.【解答】解：设/（力=Asin（s+（p）+B,依题意可知了 （力的最大值为9,最小为-3,.A+8=9,且-A+8=-3,可得 A=6,8=3；。尸每秒钟内所转过的角 为 空”=:

14、，得/（力=6sin（工什牛）+3,60 6 61JT当 1=0 时，f(r)=0,得 sin(p=-,即(p=-,2 6ir K故所求的函数解析式为/(/)=6sin(/-)+3,6 6对于 Af f(3)=6sin(X3 )+3=3A/+3,即 A 错误；6 6 I I 11 11对于 B,/(1)=6sin(X 1 )+3=3,/(7)=6sin(X7 )+3=3,即 B 正确;6 6 6 6j jj 11 11对于 C,因为 f(?)6,所以 6sin(-1-)+3 2 6,即 sin(-1-)，6 6 6 6 2所以-tl丁+2k兀，+2k兀 ，解得 re2+12氏，6+12A,k

15、e N,即 C 错误；6 6 6 6TT I I TT IT IT对于 D,/(/)(Z+4)+f(Z+8)=6sin(-1-)+3+6sin-(Z+4)-+3+6sin-(f+8)6 6 6 6 6JT-T+3冗 冗、冗 冗、z n 7H=6sin(-r)+6sin(-/+-)+6sin(-r+-)+96 66 26 6TT 7T TT=6|sin(-1-)4-cos-1 -sin(6 6 6兀 兀、r c 什)+9,66 6n+cos-1-sin(-!+(sin/cos6 6 6TT.冗、4-cos-/,sin-)=0,兀、，.兀 H 71 兀、兀-)=(sin-Leos-cos-sin-

16、)+cos-因为 sin(-r-6 6K666666666所以/(f)+f(r+4)+f(z+8)=9,即 O 正确.故选：BD.【知识点】三角函数模型的应用11.已知正方体ABCO-AiBiCD，棱长为2,E 为线段S C 上的动点，。为 AC的中点，P 为棱C G 上的动点，。为棱4 4 的中点，则以下选项中正确的有（）A.AELBiCB.直线B|OJ_平面4B GT TC.异面直线AO 与 O G 所成角为-D.若直线，为平面8P与平面S O P 的交线，则?平面5O Q【答案】BD【分析】根据面面平行和垂直的性质、判定，结合图形，从而可判断选项的正误.【解答】解：在正方体 ABCD-4

17、8CQ1 中,B iC lB C i，BC1AB,BC|DAB=B,.BC，平面 A8G.只有当E 运动到线段BiC的中点时，AE_LBC才成立，故 4 错误.连接8Q1，；在正方体ABC止-481C。中,。力 J_平面481G oi，：.DDLAC,VBDLAC,BDDD=D,平面 8D A8”：.ACLBD,同理可得 BG_L8|。，又4 G C B G=G，.直线平面ABCi，故选项8 正确.连接 BQ,BCi，则 AQiBG，：.Z0CiB（或其补角）即为异面直线A 2 与 0 G 所成的角.因为正方体的棱长为2,则 8c1=2a，0 B=,在 R tG O B 中，0 G=灰，:.C

18、OSN O C B=!=叵，N O C、B=上,故选项 C 错误.2圾 2 6由题意知，在正方体A B C Q-48iG。中，P 为棱CG 上的动点，。为棱A 4i的中点,直线m为平面B D P与平面BDP的交线，且BD/BD,平面 BiDiQ,平面B id。，故选项。正确.故选：BD.【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系、异面直线及其所成的角、直线与平面垂直、命题的真假判断与应用12.已知。=评 h=ylgy,c=xlgy,d=y如，且 xWl,则（）A.3x,GR+,使得 a b c,且 xW l,yWl,则 lga=lg?x,岫=晓丫，lgc=Igxlgy,lgd=igxlgy,则V

19、x,yER+,都有c=d,故 8 正确，A,C 不正确，对于 f：假设“，b,c,4 中最多有一、个大于 1,若 x10,y 1 0,则 a l,b 1,c 1 d 1.则假设不成立，故则a,b,c,4 中至少有两个大于1,。正确故选：BD.【知识点】对数值大小的比较三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.已知双曲线上一工f=l 的左顶点为A,B,C 分别为双曲线左、右两支上的点，且 BCx 轴，过 B,C9 4分别作直线A8,AC的垂线，两垂线相交于点。，若 S sa)=空 叵，则|BC|=42 2【分析】由题意设B(xo.yo)(x0 0),得为一_ 乙=1，且 州 0

20、,求 出 与 CO的方程，可得。点坐9 4标，写出三角形8c。面积的表达式，结合已知面积可得关于yo的方程，解方程即可求得答案.【解答】解：由双曲线方程/-工=1,得 A(-3,0),由题意设B(必，y0)(xo yo)2 2得 迎 -2 _=1，且/0.9 4直线AB的斜率ky。妞 XQ+3,则直线BD的方程为y-yn=-xn一+3(X-Xn).y0 同理可得直线C D的方程为y-yxn-3n=一(x+x n)，y0联立x0+3y-y(j=-7 1(x-x 0)Y_2，解得y-y/q(x+x0)y0 x=313y0，yT则 D(3,13yo),结合 16cl=2|xo|.4,1 13y n

21、D得 SBCD=7（|）2=晔）2，乂与一-9=1，yo4+4yo2-12=O 解得y02=2，则|乂。1 =,|BC|=2|xol=3.故答案为：376.【知识点】双曲线的性质14.甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为p,乙胜的概率为1-p,且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5 局 3 胜制时，甲用4 局赢得比赛的概率为告.现甲、乙进行6局比赛，则甲胜的局数X 的 数 学 期 望 为 一.【答案】4【分析】比赛采取5 局 3 胜制时，甲用4 局赢得比赛的概率为 磊.求出每局比赛中胜的概率，利用二项分布求解期望即可.【解答】解：比赛采取5 局 3 胜制时，甲用4

22、局赢得比赛的概率为 毋，所以每局比赛甲胜的概率是p,可 得 喙 2(l-p)p*，解得尸 争 所以每局比赛甲胜的概率是目，乙胜的概率为，由题意可知，随机变量X 服从二项分布B(6,3)3 39所以 (X)=n p=6 X-=4.甲胜的局数X的数学期望为4故答案为：4.【知识点】离散型随机变量的期望与方差1 5.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1 6 4 0 年提出了以下猜想F.=2 2 B+1(=o,2,)是质数.直到1 7 3 2 年才被善于计算的大数学家欧拉算出尸5=6 4 1*6 7 0 0 4 1 7,不是质数.现设斯=l o g 2 l o g 2(F -1)(M=12,

23、bn=a/a n+l)则表示数列 d 的前n项和5=【分析】利用对数运算性质可得知=1 0 g 2 k g 2(F-1)尸 ，代入为=/1八,通过裂项求和方法即a n(a n+l)可得出伯“的前项和S“.【解答】解：=I O g 2 l O g 2 (F -1)=1 0 g2l l 0 g 2 (22，：)=1 0 g22n =m il贝!I b,n=-7-1-s-=7_1 k=-1-1-an(an+l)n(n+l)n n+1二数列/“的前项和S u 1 -2+2 5+-2 2 3 n n+11 _ nn+1 n+1故答案为：n+1【知识点】数列递推式、数列的求和1 6.一个直三棱柱容器ABC

24、-A l i G 中，AB1 AC,AB=Scm,A C 6 c m,能放进容器内最大的水晶彩色实心球可放置3个，然后再向容器内注满透明液体，即可制作一个漂亮的儿童玩具，则向容器内注入的透明液体体积是_.【答案】3 2 (9 m)c m3【分析】由题意，可知球的半径等于该三棱柱底面直角三角形的内切圆的半径，由等面积法求出球的半径，可得直三棱柱的高，由棱柱的体积减去三个球的体积得结论.【解答】解：由题意知，三棱柱的底面是直角三角形，且斜边长为1057,放进去最大球即为该几何体的内切球，则球的半径等于该三棱柱底面直角三角形的内切圆的半径，设半径为，则 8X6=r(8+6+10),解得 r=2cvn

25、,:能放进去3 个这样的球，则该容器的高为(2+2)X3=12cvn.1A q.透明液体的体积为 X 6 X 8X 12苫 兀 x 2 x 3=288-32兀=32(9-ir)cm故答案为：32(9-n)cm【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积四、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。考生根据要求作答。17.己知数列 斯 的前项和为S.(I)请从2s”=3斯-3-4,ai=-3,斯+i=-an-4这两个条件中任选一个,证明数列 斯+2 是等比数列；(I I)数列 儿 为等差数列，历=5,为=9,记 品=(的+2)b,求数列 Cn 的前项和数.n=l【分析】本题第(I)题选条件

26、的情况下根据”=1 和2 2 两种情况并结合公式小=,Sn-Sn-l,廿2进一步进行计算即可判断出数列 斯+2 是等比数列，选条件的情况下将题干中的递推公式进行转化即可判断出数列 a+2)是等比数列；第(H)题先计算出等差数列 儿 的通项公式，然后条件的情况下计算出等比数列 斯+2 的通项公式，进一步计算出数列.的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出前项和7“，选条件的情况下计算出等比数列 斯+2 的通项公式，进一步计算出数列.的通项公式，然后分n为偶数和奇数两种情况并结合分组求和法即可计算出前n项和T.【解答】(I)证明：方案一：选条件当”=1 时，2ai=2Si=3“i-3-4,解得 m

27、=7,/c i+2=7+2=9,当 时，由 2S=3%3-4，可得2Sn-1 3an-1 -3 4(n-1),两式相减，可得2。=3。-3a,t-1 -4,即 a=3a-1+4,“+2=3a-+4+2=3(-1 +2),数列 斯+2 是以9 为首项，3 为公比的等比数列，方案二：选条件当”=1 时，41+2=-3+2=-1,当”22 时，tZn+i+2-an-4+2-(斯+2),二数列 如+2 是以-1为首项，-1为公比的等比数列，(I I)解：由题意，设等差数列 瓦,的公差为d,则a,-_-b-5-b-3-_-9-5-_-29,5-3 26=3 3-2 d=5-2 X 2=l,.O“=1+2

28、X(n-1)=2-1,N*,方案一：选条件由(I)，可得 m+2=937=3+i,则 5=(斯+2)b=(2-1)3小，/.7；=ci+c2+c3+-+Cn=l,32+333+534+-+(2n-l)*3n+1,37；=l*33+3*34+(2”-3)3m+(2n-l)3n+2,两式相减，可得-2Tn=I 32+2*33+234+-+2-3n+l-(2M-1)-3,+2n3 _ Q n+2=9+2 W-(2n-1)3,+21-3=-1 8 -2 (n -l)*3n+2,：.Tn=(-l 3 +2+9,6 N*,方案二：选条件由(I ),可得 a”+2=-!(-1),r =(-1),则 C n=

29、3+2)b=(2 n-1)(-1)n,T,=C|+C 2+C 3+C n=-1+3 -5+(2 -1)(-1),当为偶数时，7；=-1+3 -5+(2 -1)=2+2+2=2xZ=，2当为奇数时，7；=7+3-5+-(2-1)=2+2+2 -(2 -I)=2 X|-(2 n -1)=一 ,.J-n,n 为 奇 数.n,n 为 偶 数.【知识点】数列的求和1 8.如图，在三棱柱A8C-4 8 i G 中，平面4/C G _ L 平面A B C,A B C 和 4 4 C 都是正三角形，。是 A B的中点(1)求证：B G 平面4DC；(2)求直线AB与平面DCG所成角的正切值.【分析】（1）连接

30、AG，交 4c于 E,连接CE,由中位线的性质知O E 8 C”再由线面平行的判定定理得证;(2)取 AC的中点0,连接4 0,B O,先证得AiOL平面A 8 C,从而有4 0 _ L 8 0,故以。为原点，O B、0C、0 4 所在直线分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，设直线4 8 与平面OCG所成的角为。，求得平面D C G 的法向量后，由 sin8=|cos|，即可得解.【解答】(1)证明：连接AC”交 4 c 于 E,连接OE,V 四边形4 4 C G 是平行四边形，是 A G 的中点，,.力是 AB 的中点，：.DE/BC,.)Eu平面 AQC,BGC平面 AQC,平面 At

31、 DC.(2)解：取 AC的中点0,连接4 0,BO,.4 次7和4 4 4(：都是正三角形，4。_1 _ 月(?，HO1.AC,平面 AACG _L平面 A B C,平面 AiACG C 1 平面 ABC=AC,平面 ABC,：.AOA.BO,以。为原点，O B、OC、OAi所在直线分别为x、y、z 轴建立如图所示的空间宜角坐标系，设 A C=2,则 A(0,-1,0),B(V3-0,0),C(0,1,0),D(返，,，0),C1(0,2,2 2A B=(V3 1 0),C D=V，0)D C j=(o )设平面OCG的法向量为n(x,y9 z),贝!b n CD=0n,D C=0V3 3T

32、 xy-y-x-*-y+V3z=0令 x=3,则丫=夷，z=-1,A n=(3,-1),设直线A8与平面D C C i 所成的角为。，则 si n0 =|cos|=|L 3 V lsI AB I-In I 2 X9+3+1AB,n,_2V3/.tan0=24,故直线A8与平面DCC所成角的正切值为2 T.【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角兀 K 119.已知函数/(X)=si nx si n(x+)+cos2(x -)-g6 12 2(1)求函数/(x)的最小正周期及单调递减区间;(2)已知锐角 A B C 的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且b=3,求 acosB -6 co

33、sc的取值范围.【分析】(1)利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得/(X)=si n2x+.2返，利用正弦函数的性质即可4求解.(2)由(1)及已知可得si n8=Yl_,结合范围8 62(0,与),可得8 =可TT，由正弦定理，三J T角函数恒等变换的应用可求acosB-&cosC=cos(-6+A),由2 nA+=于兀 A U，r 4旦 T+田 兀 /A2 可得氾围一V A60 C 2TT色，利用余弦函数的性质即可求解其范围.【解答】解：(1)由题意可得/(x)=si nx si n(x+-)+cos2(x-6 12 2si nr/(V上 工3 si nj v.+1 cosx)+,-1

34、cos s-兀-)、2 2 2 6_Am/3-(-1-C-O-S-2-X-)+,1 si.no2 x+,V-S-cos2Ox+,1 si.n2or4 4 4 4=-si n2r+-,2 4所以函数/G)的最小正周期丁=等=mIO 11 I O J I令-+2H i W2x W+2Zm,k W Z,解得 1 t IZTTTWXW-+K r,kEZ,2 2 4 4j r O TT故函数F c o 的单调递减区间为-+内 1,牛+内1,任z.4 4(2)由(1)知/(旦)=si n8+2Zl=1,2 2 4 2解得 si nB=Ya,2j r J r因为86(0,),所以8=K，2 3由正弦定理可

35、知 箕 小|贵=2,2则 a=2 sinA,c=2si nC,所以 4 cos5 -hcosC=-V3 cosC=si rh4 -V3 cos(I T-A-)=si rb4+V3 cos(A+-)=si nA+2 3 3返cosA -si n/1=cosA -si n/A=cos(2 2 2 2 6M),在锐角 A B C 中，可得2元A+O-0 A 2o c =2可 得 看*，因 此 二 7,8 8,50 X 50 X 45 X 55 11所以有9 9.5%的把握认为线上学习与线下学习的效果与性别有关.(I I)根据分层抽样方法得到抽取男同学 有 毁 x 1 0=6 人，女生有4人,50由题

36、意可得X的所有可能取值为0,1,2,3,3p 2 p 1则 P (X=0)=J-=工，p(X=l)=_1=上，3 6 3 2 1 0 1 0所以X的分布列为:C1 C 2则 P(X=2)h 6 _=,P(X=3)1c310c33010J o：.E(X)=0 X +1 X+2X-+3X-A-=A6 2 10 10 5X0123p_1312Io30【知识点】离散型随机变量的期望与方差、独立性检验2 22 1.双曲线r:二 一 匚=1 的左、右焦点分别为尸 卜 尸 2,直线/经过0且与r的两条渐近线中的一条平行,16 9与另一条相交且交点在第一象限.(1)设P为r右支上的任意一点，求F Q I的最小

37、值；(2)设0为坐标原点，求。到/的距离，并求/与的交点坐标.【分析】(1)由双曲线方程求得焦点坐标，设？(沏，州)，其中颂4,再由两点间的距离公式写出I P Q I，利用配方法求最值；(2)求出右焦点的坐标，得到直线/的方程，由得到直线的距离公算求。到直线/的距离，联立直线方程与双曲线方程可得交点坐标.2 2 _ _ _ _ _ _【解答】解：(1)由双曲线：二 一 二=1，得 标=1 6,=9,则，=，2+卜2 =5,1 6 9 v a +b bF(-5,0),设尸(如 yo)!其中 x o 2 4,且y0 忆 */-9，I P 川=J(X o+5)2+yo 2=J x Q 2 +i O

38、x 0+2 5 *x/-9=届。+4 ，当 沏=4 时，|P E|加“=9；(2)Fi(5,0),的渐近线方程为y=1x，由题设可知，直线/的方程为3 x+4 y-1 5=0.O到直线/的距离d=l3 X；+：X：-1 5|石V 32+42 3 x+4 y-1 5=0 4 1联立 0 9,得1 0 x=4 1,即=黑，9 x -1 6 y=1 4 4 1 09 7代入 3 x+4 y-1 5=0,得 旷=0-.与 的交点坐标 为 令，磊 ).【知识点】直线与双曲线的综合2 2.已知函数/(X)=ax+x1lnx.(1)证明：当。WO时，函数/(x)有唯一的极值点；(2)设。为正整数，若不等式/

39、(x)V/在(0,+8)内恒成立，求的最大值._ 2【分析】(1)由 于/(x)=4+X+2X/J2X,设 g(x)=a+x+2 xlnx,则 g1(x)=2/x+3,分(e 2,+_ 28)与 xw (0,e-万)两类讨论，可证得当aWO时，函数f(x)有唯一的极值点；X X(2)当 在(0,+8)时，不等式/(X)0,设力(x)=-7 -InxXAXn 2利用导数，可 求 得(x)mm=h(2)-/2-1 0,从而可求得a的最大值.x 4【解答】(1)证明：函数/(x)的定义域为(0,+8),f(x)=a+x+2 xlnx,设 g(%)=a+x+2 xlnxf贝 U g (x)=2/nx+

40、3,2 分 当 在(e 2,+8)时，因 为 屋(x)0,_ 2所以g(x)在(:万，+8)内单调递增，3 3 3 3 3又因为 g(a 2)=+2+2 2 In 2 =a-2 2 0,所以存在 xo W (广万，晨 )，_3 _使 g(xo)=0,对于 xW (e 2,xo),都有 g(x)0；-4 分当 xE (0,e 2)时，g(x)=a+x(1+2/H X)V -2%V 0,5 分因为 g (x)0,_3 _所以g(X)在(J 万，+8)内单调递增，3 3 3 3 3又因为 g(0 2)=+2+2 2 In 2 =a-2 2 0,综上可得，/(沏)=0,当e(0,x o)时，f (x)

41、0,因此，当 W 0时，函数f(x)有唯一的极值点；6 分X(2)解：当X6(0,+8)时，不等式f(X)等价于号-阮 旦0,x2 x令 x=1 )得又因为a 为正整数,所以。=1 或 2,当以=2,7 分ex 9不 等 式/(X)0,x2 x、ex 9设 h(x)=-Inx-,x2 xn.i,/z X _ X2e-2xex 1 2 _ (x-2)(ex-x)八贝 ij/?(x)-1-1-z-,8 分XX X X设及(x)=b-x,则/(X)=d-1,因为当x 0 时，N (X)0,所以函数k(X)在 0,+8)上单调递增，又因为A (0)=1 0,所以当x 0 时，k(x)0,即 -x 0,9 分令(x)=0,得 x=2,因为 e、,-x0,所以当(0,2)时，h(x)0,时，2所以 h(x)mi=h(2)=-In2-,4又因为(2)0,所以6(x)0,因此，当x 0 时，h(x)0 恒成立.也就是说当“=2 时，不等式f (x)e.在(0,+8)内恒成立I I 分故的最大值为212分【知识点】利用导数研究函数的极值、利用导数研究函数的最值