2021届湖南省衡阳市高考数学联考试卷(二)(二模)(含答案解析).pdf

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1、2021届湖南省衡阳市高考数学联考试卷（二）（二模）一、单 选 题（本大题共8 小题，共 40.0分）1.已知复数加均在复平面内对应的点分别为施独阪蹒A K，则 至=（）%A.-1 B.TT C.D.2 .已知时（与,为）是 双 曲 线 心 马 一 马=1上的一点，半焦距为c,若|M O|c（其中。为坐标原点）,a/则犬的取值范围是（）A.0,且 B.0,-C.,+c o）D.营,+8）3 .某部门计划对某路段进行限速，为调查限速6 0 k m/i是否合理，对通过该路段的3 0 0 辆汽车的车速进行检测,将所得数据按Z 4 0,0 0 3 50.0 3 05 0）,f SO，6 0）,广 6

2、0，7 0）,70,8 0 _ 7 分组，绘制成如图所 0 0 2 50.0 10示的频率分布直方图，则这3 0 0 辆汽车中车速低于限速的汽车有OA.7 5 辆 B.12 0 辆 C.18 0 辆D.2 7 0 辆4 .设同“是等差数列隰*的前密项和，已知:,叫=生叫=蝌，则圜等于A.13 B.3 5 C.4 9 D.6 35 .当0%1 时，4*0 且a#1）,则 a的取值范围是（）A.（0 号 B.4,1）C.（1,V2）D.（V2,2）6 .某平台为一次活动设计了“a”、“人”、“c”三种不同的卡片，活动规定：每人可以依次点击3次，每次都会获得三种卡片的一种，若集齐三张相同的卡片，则为

3、一等奖；连续集齐两张相同的卡片，如：“以防”，则为二等奖；其余均视为不中奖.假设活动中每张卡片每次被点中的可能性是相同的，若小赵按规定依次点击了3 次，则他获奖的概率是（）A.-B.；C.I D.：27 3 9 97 .动点P 在曲线y =s in 2 x 上移动，动点Q（x,y）满足巨。（）,则动点0的轨迹方程为（）A.y:s in（2 B.y-s n i（2 x -o O8.C.?/下列判断错误的是D.!/=SM(2H-)4A.命 题“若am?b a 2,则a b 是假命题B.直线j =+8不能作为函数pAq图象的切线C.“若 =1，则直线x+y=0和直线x-q p =O互相垂直”的逆否命

4、题为真命题D./(为)=0”是“函数/(x)在凡 处取得极值”的充分不必要条件二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)9.如图所示，已知平面四边形A8CZ),AB=BC=3,AD=1,CD=ADC=p沿直线4c将力BC翻折成AABC,下列说法正确的是()A.丽 前=-2B.WC-AD=1C.直线AC与BD成角余弦的最大值为由6D.点C到平面ABD的距离的最大值为回710.已知函数f(x)=sinx|cosx,下列结论正确的是()A.f(x)的最小正周期为27rB.f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x)在(后会上单调递增D.若不等式kx+a /(x)l,则a +二7 的最小值是_ _ _

5、_ _ _ .a-11 4 .O石 一 3 5 的 展 开 式 中 的 常 数 项 为 .1 5 .在平面直角坐标系中，过点M(2,2)且与圆/+)/2-2=0相 切 的 直 线 方 程 为 .1 6 .以棱长为1 的正方体的各个面的中心为顶点的几何体的体积为_.四、解答题(本大题共6 小题，共 70.0分)1 7 .已知函数/(x)=s i n2x+y/3sinxcosx-1(1)求函数/(x)的最小正周期.(2)已知a,b,c 分别为 4 B C 的内角A、B、C的对边，其中4为锐角，a =26，c =4 且/(A)=1,求 b 及 A B C 的面积.1 8 .已知圆锥母线长为5,底面圆

6、半径长为4,点 M是母线P A 的中点，A 8 是底面圆的直径，点 C是弧AB的中点；(1)求三棱锥P -4 c。的体积；(2)求异面直线MC与 P。所成的角的余弦值.1 9 .学校在高二开设了当代战争风云、投资理财、汽车模拟驾驶与保养、硬笔书法共4门选修课,每个学生必须且只需选修1 门选修课，对于该年级的甲、乙、丙 3 名学生.(I )求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；(n)求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；(H I)求投资理财选修课被这3 名学生选择的人数的数学期望.2 0.函数f(x)=7 工，数列 a j满足%=1,an+1=/(an),n e N*,(/)求证：数列6

7、是等差数列;an()令%=an_x-an(n 2),瓦=3,sn=br+b2+-+bn,若无 b 0)的右顶点和上顶点分别为A,B,O A+O B=3,。4 8的面积为1.(1)求C的方程；(2)若M,N是椭圆C上的两点，且M N 4 8,记直线8 M,A N的斜率分别为的，k2*水2丰0)，证明：比 为 定 值.2 2 .已知函数/(%)=署.(1)证明：/(乃在定义域内为减函数；(2)当a 0时，/(x)求a的取值范围.【答案与解析】1.答案：C2 J1 孽；一 7 1 L 讨 一 蹄解析：试题分析：均=一：1*甯，则4=/J 二 二?%,=等 普 小。故选。领 S 式碘考点：复数的运算点

8、评：对于复数的除法，先将分子和分母都乘以分母的共朝复数，再进行运算。2.答案：A解析：解：|M 0|4 c,即Jx.+%W 7口2+炉,即就+据 a2+b2,又*居=1,消去晶可得0 公益4，故选：A.由两点的距离公式和点用满足双曲线方程，化简变形，即可得到所求范围.本题考查双曲线的方程和运用，考查化简变形能力和运算能力，属于基础题.3.答案：C解析：根据图可知组距为1 0,则车速在M 0.5 0)、/5 0，6 0)的频率分别是0.2 5、0.35,因此车速低于限速的汽车共有(0.2 5 +0.35)X 300=1 8 0(辆).4.答案：C解析：本题考查等差数列的性质及前n项和公式，解决该

9、题的关键是根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等，叼+的=%+与，求出a i +a 7 的值，然后利用等差数列的前项和的公式表示出S 7,将 i +a 7的值代入即可求出.解：因为+%=.+勺=9 +5 =1 4,/c 一 7(ai+a?)7&g)_4 9那么，出-qy,故选c.5.答案：B解析：解：当时，函数y =4 乂 的图象如右图所示：若不等式4”l o g M 恒成立，则y =l o g a 久的图象恒在y =4%的图象的上方（如图中虚线所示）y=l o g。的图象与y =4”的图象交于（；,2）点时，Q=立，N2故虚线所示的y =l o g a X 的图象对应的底数a应满足

10、曰 a 1故选：B.当0 x W ：时，作出函数y =4*的图象，由不等式4*l o g M 恒成立，知y =l o g M 的图象恒在y =4X的图象的上方，由此利用数形结合思想能求出。的取值范围.本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用.6.答案：C解析：解：小赵按规定依次点击了 3 次，基本事件总数n =3x3x3=2 7,他获奖的情况有三种：集齐三张相同的卡片一等奖，有废种可能；连续集齐两张相同的卡片获二等奖，第一张和第二张相同或第二张和第三张相同，有盘程6+0废盘种可能，.他获奖包含的基本事件个数：m=+C 3 2+废 废 盘=1 5，.他

11、获奖的概率是p =71 N 7 9故选：C.基本事件总数律=3 x 3 x 3 =2 7,他获奖包含的基本事件个数m=禺+的 禺 禺+废6盘=1 5,由此能求出他获奖的概率.本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.7.答案：D解析：本题主要考查曲线方程和相关点法求轨迹，基础题设出点尸，Q,根据题中条件找出P,。坐标关系，再根据点P在曲线y=s in 2 x,即可转换出点。轨迹设P(a.b).风 一 .动点Q(x,y),则工-a=J ,y-b =(),可得0b=y由题意，动点P在函数y=sin2x的图象上移动即动点Q的轨迹方程为V 疝1(21一：)8.答

12、案：D解析：本题考查命题真假的判断以及充分条件必要条件的判断，根据所学知识逐项判断即可，属中档题.解：4命 题“若am2 则a S b”当m=0时不成立，是假命题，对；Bf(x)=.l C D)=1 I sirZ-AC D =-.J 5取方=瓦?范=南 片=加 为 基 底 向 量，由已知得|小=|不|=渔,|方|=回，=,cose=2 2 z|,(0 =),设a =.结合图形以及诱导公式可知：一?W c o s a?(当半平面A CD与半平面A C B 反向时取最小值，同向时取最大值).故 丽 前 =C-B).(-五五)=一 2 有1 +2乞不=-2 xf *袅|+0 =-2,故 A对；BC

13、AD=(a K)-(c a)=a-c +a2-K-c +a-K=XYX|+()2 等 x xc o s a +0 =1-3属。s a,故 B错；2AC =BD =c-b=J c2-2 c-K +d2=y/9-sVScosa,设直线 A C与 成 角 余 弦 为 6，则C S0 =鼻嬴,当c o s a =当时,分母最小,故C O S0 的 值最大为同F=W,故 C正确；当 3点绕着4c转到C D 1 BD,即B D =值工/=2时，C点到平面A B D 的距离小于或等于C D =V 5,结合C O 1.4。，可知C O _L平面4 8 。，而此时，有4 8 =8。+4 0 =3,故平面49。不

14、存在，故。选项错误.故选：AC.设 AC的中点为O,然后求出乙4。的余弦值，易知。A _ L O B,然后以函，砺，而为基底，将涉及的问题转化为向量的运算问题求解.本题考查空间向量基本定理的应用，以及学生的直观想象、逻辑推理等核心素养.属于中档题.10.答案：ABD解析：解：函数/(x)=sinx|c o s x|,如图所示：对于B：函 数 的 图 象 关 于 对 称，故 B正确；对 于 C：函数f(x)在 上 单 调 递 增，故 C错误；对于。：当k=0时，a W/(x)W b,即6-a 的最小值为1,当 k取其他值时，无法判定不等式kx+a /(x)1,则a +言=(a -1)+言 +1

15、2 2-1)x 言 +1=2&+1,当且仅当a =1+a 时取等号.故答案为：2 鱼+1.变形利用基本不等式的性质即可得出.本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.14.答案：80解析：解：,展开式的通项为4+1 =(-2)rCs%i S?r,令1 1 5 -5r)=0,解得r =3,展开式中的常数项为-8a=-80,故答案为：80.在二项展开式的通项公式中，令 x的事指数等于0,求出厂 的值，即可求得常数项.本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题.15.答案：x 2 或 3%-4y +2 =0解析：解：根据题意，圆/+y2-

16、2 x =o 可化为(x i)2+y 2 =i,其圆心为(1,0),半径为1,当过点P(2,2)的直线的斜率不存在时，直线方程为 =2,与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y-2 =k(x 2),即k x y +2 2 k =0,有解可得k=(,此时直线的方程为y 2 =：(刀一2),即3 x 4y +2 =0练上可得切线方程为x =2 或3 x -4y +2 =0；故答案为：%=2 或3 一 4y +2 =0.根据题意，由圆的方程分析圆的圆心和半径，分要求直线的斜率是否存在两种情况讨论，求出直线的方程，综合可得答案.本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础

17、题.116.答案：觞解析：试题分析：由题意可得：以正方体的各个面的中心为顶点的几何体可以看成是由两个完全相同的正四棱锥组成的，此四棱锥的底面边长为史，高为工，所以该几何体的体积为乐意一潟 点一=-著 鬟 暑 翼 眼考点：空间几何体的体积.17.答案：解：(l)/(x)=sin2x+y/3sinxcosx-=1-cos2x+sin2x -=sin(2x-)2 2 2 2 6,周期T=y =7 T;(2)f(A)=sin(2)=1,n n*2A =7?4 2/C T T,k E Z6 271 4=+kn,k E Z力为锐角-4=W，又由得空奈=,sinA stnC sm-sinC解得c=p ABC

18、为Rt:.b=y/c2 a2=2 *,=5 ab=2V3.解析：(1)由三角函数中的恒等变换应用化筒函数解析式可得f(x)=s in(2 x-5，由周期公式即可求解.(2)由/=sin(241)=l,又 4 为锐角，即可解得A,从而由正弦定理解得。=壬可得 ABC为R t&即可求得匕，由三角形面积公式即可得解.本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，正弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查.18.答案：解：(1)、圆锥母线长为5,底面圆半径长为4,:.AB=8,0C=4,PO=yJPA2-A O2=V25-16=3.4B是底面圆的直径，

19、点 C是弧A 3的中点，0C 1 AB,三棱锥P-H C。的体积为：1P-ACO=W X SAOC X OP=2 x 4 x 4 x 3 =8.3 2(2)以。为原点，0C 为 x 轴，。8 为 y 轴，0P 为 z轴，建立空间直角坐标系，X0(0,0,0),4(0,-4,0),P(0,0,3),M(0,-2,|),C(4,0,0),MC=(4,2,-|),PO=(0,0,-3),设异面直线MC与 PO所成的角为。，nMCPO I 3A/89cosd=_ =-MC-PO 胆 召 89 故异面直线MC与 PO所成的角的余弦值为迹.89解析：本题考查柱、锥、台体的体积的求法，考查异面直线所成角的求

20、法，考查空间想象能力与计算能力，是基础题.(1)由已知得48=8,0C =4,O C LAB,P0=3,由此能出三棱锥P -4c。的体积.(2)以。为原点，0 C为x轴，0 B为y轴，0 P为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MC与 尸。所成的角.19.答案：解:(I)这3名学生选择的选修课的基本事件总数n =43,这3名学生选择的选修课互不相同包含的基本事件个数巾=Al，.这3名学生选择的选修课互不相同的概率p i =*，(II)这3名学生选择的选修课的基本事件总数n =4 3,恰有2门选修课没有被这3名学生选择包含的基本事件个数m =底(2 3 -2),恰有2门选修课没有被

21、这3名学生选择的概率0 2 =笔/=卷.(皿)设投资理财选修课被这3名学生选择的人数为，则猾0,1,2,3,P =O)=圻 第(4=1)=蒙=第P(4 =2)=*P(4 =3)=:=*ll 分)X的分布列为2）=2丁 小）=式 百 一 寸 7），当？1 =1 时，上式同样成立.S n =瓦+电+%=2 （1 一 工 +工 一三 +-）=-（1 -n 1 2 n 2 v 3 3 5 2 n-l 2n+l7 2 2n+l7.sn 叱 箸 对一切7 1 6 N*成立，即5（1 熹）b 0,解得a =2,6 =1,故 C的方程为 +y2=1.（2）证明：由（1）得4（2,0）,5（0,1）,直线A B

22、 的斜率为一也（方法一）因为A B M N,故可设MN的方程为y =-1+八 设/V（x2,y2）,Iy=x+mY2 2 消去 y，得/-2mx+2 m2-2 =0,e=i所以/+x2=2m,从而冷=2 m -xr.直线B M的斜率的=也二=与i i,直线A N的斜率卜=上=:闻,%X1%22%2 -2所以的.七=宜 空 J 文 汇 二1 2 孙-2%1 1 、1 2 1)%2 -2m xi +m(m-1)(X2-2)XX1 1 14 X6 2-2m(xi +x2)+2%2 +m(巾 一 1)%1%2 一 2%i1 1 1 2m 27n+2 Q771 一%i)+m(m 1)xrx2-2 勺=邑

23、 二 邑=士故七七=;为定值.x1x2-2 x1 4 4(方法二)设M(&,y o),学+据=1.因为M N A B，所以M N 的方程为y =（x -&）+y（）,_（y =一 沁 一 而）+y。，-联消去y,得/一（与+2 y o）x +2 殉旷0 =0,“2 =1解得x =&（舍去）或 =2y0,所以点N 的坐标为（2、0 1 右），则 心.伍=&也 二=匕 即 自 心为定值;.1 2 2 y 0-2 X0 4 4解析：（1）利用已知条件列出。，匕的方程组，求出“，人即可得到椭圆方程.（2）求出直线A B的斜率为-（方法一）设 M N 的方程为y =+设M（X i，），W（x2,y2）,

24、联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，推出直线的斜率关系，然后证明结果即可.（方法二）设M（x o，y o），彳+据=1.7的方程为丫=一1%殉）+%,利用韦达定理，转 化 求 解 心为定值.本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题.22.答案：解：f(x)的定义域为(0,l)U(l,+8),fW=-xln(x)+x-lx3-2x2+x令g Q)=i -x,则=妥一；詈，当0%0,g(%)单调递增；当%1时，g(x)0,g(x)单调递减，所以g(x)与。=0,/(%)0,因此八町在(0,1)和(1,+8)内分别单调递减.由g(x)4 0 得1工 工

25、,等号当且仅当 =1 时成立，所 以)等 号 当 且 仅 当 x =1 时成立.令 1 e (0,1),x2 e (l,4-o o),于是7-1,lnx2 V&-1，又 1 1 0，从 而 箸 1，署八%2)，故/(乃在定义域内单调递减.(2)/(%)-=-=I nx-2 5 1)，x+a x-1 x+a x-1 L x+a J令仪”)=，n x-斗 会，则九)士甯=它舞士当M a4 0,即0 0,所以九(%)0,于是h(x)在(0,+8)上单调递增，又九(1)=0,所以0 x l时，/i(x)0；x l时，h(x)0,从而f(x)-卫 =2/i(x)0,因此，0 -v 4-n.当a?a 4 V 0,即a l时，若 1 V%Q2,x2 2a2x+a2 0,所以/(%)V 0,于是九(%)在(1,Q2)上单调递减，又九(1)=0,所以 1 V x a?时，九(%)0,从而 f(%)=-2?h(x)1不满足题设.综上，”的取值范围是(0,1 .解析：(1)先求出/(X)的定义域，再对f(x)求导，然后判断/(X)的单调性即可；(2)f(x)-岩=止 彳 一与等，令八与 等，然后判断九。)的单调性，进一步得到0 a l时，a 1不满足题设，从而得到的取值范围.本题考查了利用导数研究函数的单调性和利用不等式恒成立求参数的范围，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题.