2021届高考数学（理）全真模拟卷02（理新课标Ⅲ卷）（解析版）.pdf

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1、新高考全真模拟卷02(新课标in卷)理科数学本卷满分1 5 0 分，考试时间1 2 0 分钟。一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A=x|-lx l,B=X|X-X2 0 ,则 A C 3=()。|-lx 0 B、无|一 1 v x W O 或x =lC、x|0 x l)D、x|0 x l【答案】A【解析】x-x2 0,解得x Nl 或x 4 0,故 N=x|x WO 或x Nl,则 405=工|一 1 v x W O ,故选 Ac2.已知复数2 =一+上 史 的实部与虚部之和为1,则实数a的值为()02-i

2、 5A、1B、2C、3D、4【答案】Br 广 ,0 P-rZ0 q(2 +i)3 4 i (2 a +3)+(。4)i【解析】由题意可得：z=-+-=-5 5 5.实部与虚部之和为1,史+巴 吆=1,解得a =2,故选B。5 53.函数/(x)=粤 学 卢二的图像大致为()。【答案】A【解析】V 7t-x2 0 A -V n X Ji r-x)1 4 x|+x4f(_ x)=-f(x),/(x)是奇函数，故排除 CD,又/(l)=0,故排除B,故选A。4.射线测厚技术原理公式为/=/o-e-P”，其中/。、/分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，为被测物厚度，p 为被测物的密度

3、，口是被测物对射线的吸收系数。工业上通常用铜-2 4 1(2 卬 4 )低能Y 射线测量钢板的厚度。若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8,钢板的密度为7.6,则钢板对这种射线的吸收系数为()。(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，In2 0.6 9 3 1,结果精确到0.0 0 1)A、0.1 1 0B、0.1 1 2C、0.1 1 4D、0.1 1 6【答案】C【解析】由题意可知p =7.6、f =0.8,代入/=/。6 叩.得：-=e-7-6 x 0 8 p,/。2 -2EP-7.6 x O.8|i =ln-=-ln2,BP|=2 0，6 9 3 1 0.1 1 4

4、,故选 C。2 7.6 x 0.8 6.0 82 25.已知双曲线C：-2 L =I(6 ZO,80)的一个焦点坐标为(2,0),且两条渐近线的夹角为四，则双曲a2 b23线 C 的标准方程为()oA、2 2 2-=1 或-y =13 3 3B、2 2 2 2-=lg K-=13 3 3 3C、2 2 2匕 二=1 或2 一 上=13 3 3D、2 2X 2 1 T 2 y i-y=1 或 X -=13 3【答案】D【解析】两条渐近线的夹角为巴，；3 =V 3 =-,乂 c =2,c2=a2+b2,a 3解得_ rz 2 2”=.双曲线C 的标准方程为f 一 匕=1 或 土 y 2=1,故选D

5、。b=l 33a=厂或b=V 3.，*,26.在 A A 8 C 中，A B=A C=2,点满足 8W+2cM=0,B C A M=-,则 N E 4 c 的值为()。AA 一兀6B、-4C、-3D、-2【答案】C【解析】取 BC的中点为。，连接AO,则0=丽次，A B C AM=f i C (d M-O i 4)H B C|x|d M|=|,设|比|=x,则x-(2 x-x)=2 ,解得x =2,；.A 4 B C 是等边三角形，,Z B A C =，故选C。3 2 3 37.素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想。19 世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义挛生素数猜想，

6、：对所有自然数女，存在无穷多个素数对(0,p +2。其中当=1时，称(p,p +2)为“挛生素数，=2时，称(p,p +4)为“表兄弟素数”。在不超过3 0 的素数中，任选两个不同的素数、q p q),令事件A =(，7)为挛生素数,B=(p,4)为表兄弟素数,C =(p,q)q-p P(。D、P(A)+P(S)P(C)【答案】D【解析】不超过3 0 的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、2 3、2 9 ,共 10 个，随机选取两个不同的素数p、q(p q),有 G%=4 5(种)选法，事件A发生的样本点为(3,5)、(5,7)、(11,13)、(17,19)共 4个,事件5发生的样

7、本点为(3,7)、(7,11)、(13,17),(19,2 3)共 4个，事件 C 发生的样本点为(2,3)、(2,5)、(3,5)、(3,7)、(5,7)、(7,11)、(11,13)、(13,17)、(17,19)、(19,2 3),共 10 个,A P(A)=P(B)=-,P(C)=-=-,故 P(A)+P(B)0）的展开项中的常数项为1 5,则+心氏=（）。XA 九 1A-+e-l4B、二十 2e-24C、-+e-l2D、-+2e-22【答案】D【解析】原二项式的通项公式为C（X2）6-r.（-）r=3，X则常数项为C 3 Q 4=1 5,则4=1,则匚（71-x2+/）dx=fl,y

8、j-x2dx+匕（卅）dx=+2J；exdx=-+2e-2,故选 D。9 .函数/（x）=2cosgx+q）（co0）的图像关于x=5对称，且在（/，兀）上单调递增，则函数/（外 在区间-捐上的最小值为（）A、2B、V2C、一 1D叵2【答案】B【解析】由题意得：二3 +二=2 2兀+兀（ZEZ）,解得co=4攵+3（Z e Z）,且二之三，2 42（D 2故Ovco 2,0）=,KP/（x）=2cos-x+）,V x s A x+8面积之和为gx y+gx z+gyz,故gx y+gx z+g y z 的最大值为3 2,9 2 21X+Z一 +-+又7g2 2 2 2 22V +z22当且仅

9、当x =y=z时等号成立，B|1(x2+y2+z2)=3 2,B|Jx2+y2+z2=64,；A、B、C、。四点所在的同一个球即以A B、AC.4。为邻边的长方体的外接球,该球的直径2 R =JY +JZ +Z?=8,则该球的表面 积%=4 兀/?2 =64兀，故选B。_ Y+X ln(m n)9满足/(帆)=/()，则一根的取值范围为()。A、(0,e2+3)B、5-2 I n 2,4C、5-2 1n 2,e2-lD、4,e2-l【答案】C 1 3 八X-I-丫 ;存在实数次、n(m n)f满足/(=/(),根据函数图像可得一 3V m 1,1 3m+=I n n ,即 相=2 1n-3 ,

10、一根=2 1n +3,2 2构造函数 g()=-2 1n +3 ,n e(l,e2,2 n-2则 g()=l =-,令 g()=0,解得=2,n n当lv 2 时，g 5)0,则g(九)在(2,上单调递增,当=2时 g()取极小值也是最小值，g(%m =g(2)=5 2 1n 2 ,V g(e2)=e2-l,g=4,e2-l 4,：.g(n)e5-2 1n 2,e2-l ,，一 一的取值范围为5 2 1n 2,e2-l,故选 C。二、填空题：本题共4 小题，每小题5分，共 2 0分。1 3.己知s i n a +co s a =，,则s i n 2 a=。2【答案】-2解析】丁 s i n a

11、 +co s a =23 1 i(s i n a +co s a)2=,贝 U 2 s i n a co s a =,由正弦二倍角公式得s i n 2 a =。2 2 2x+2 y 01 4.已知实数x、y 满足约束条件J x-y O ，且目标函数z=x+y 的最大值为6,则 上 的 取 值 范 围八 ，x +30y300级别III1山皿IV,IV2V状况优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染(150,200,(200,250、(250,300 进行分组，得到频率分布直方图如图。(1)求直方图中x 的值；(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；(3)求该城市某一周至少有2 天

12、的空气质量为良或轻微污染的概率。(结果用分数表示，己知5=78125,27=128,1825 365 1825 1825 91251239125,3 6 5 =73x5)【解析】由图可知50 x=l *12-3x 5 0,解得x=1-1Q-；3 分9125 1825011Q 2(2)365x(x50+x50)=219；6 分18250 3651 io?3(3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为：-L -X50+x50=-,8 分18250 365 53 2则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为=10分一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为:.a一 第 针.中=常12分18.(

13、12 分)已知数列%的前项和为 S“，”=1,2=3，且 S”+=3S,-2s+(22,N.)。(1)设2=。“+1,求证：数 列 色 为等比数列；(2)求数歹ij 坎 的前项和7；。【解析】由已知得S+-=2S-2 S,I+，BPan U=2atJ+n(n 2)f 2 分.如=为+i+2=2%+2”+2=2(“N2),3 分bn an+n+an+n+又.殳=2,且优=q+l+l=3,故数列出,是首项为3、公比为2的等比数列；4分由(1)知%+1 =3X2T,则 4=3 x 2 T-l,；.亲=(+1).夕，5 分设4 =2、(3)1+3*(；)2+4*W)3+.+5_ 1 弓)-2+“8弓)

14、1+5+1)*0),6 分|A =2 x(l)2+3 x(i)3+4 x(l)4+-+(W-l)x(l)n-|+H X(|r +(H-(-l)x(l)n+l(7 分两式相减得：A=1 +(；)+(g)-I-(5)T+()1(耳)+|=q一()(,9 分解得 A=3-(+3)-g)”,10 分.数列 矍 的前,项 和(g)。12分19.(12 分)如图所示，四棱锥 P A 3。中，2 4,底面 A5 C,A D A B,C D/A B,P A=1,A B=2,PD=BC=42.(1)求证：平面PA D _L平面PC。；(2)若棱P B上存在一点E,使得二面角E-A C-P的 余 弦 值 为 求

15、直 线A E与平面A 5 C D所成角的正3弦值。【解析】(1)证明：AD，AB,CDIIAB,：.A D YC D,1 分,/P4_L底面 ABCD,CQu 平面 ABCD,2 分A PAX CD,乂 仞 Pl 抬=A,；.C_L 平面 PAD,3 分,/C D u 平面尸 CD,.平面平面PC。；4 分(2)解：以A 为坐标原点，以A。、A 3、AP所在射线分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系A-型 如图所示，则 A=由2_%2=,由点C 向4 3 作线C”,贝不=(阳，必，z,)AC=(1,1,0),A(O,O,O)、P(0,0,l)、8(0 2 0)、C(l,l,0),5 分设 E(

16、x,y,z),在棱 PB 匕 A PE=XPB(0 X l).又 而=(x,y,z-1),Pfi=(0,2,-l),(0,2X,l-X),6 分设平面4 2 尸的向量1=(不 加 z j,AC=(1,1,0),Q =(0,0,1),.a-AC=0.Jx+y=0a-AP=0 4=0取%|=1,则 y=-l、Z 1 =0 a=(1,-1,0),8 分设平面 ACE的向量各=(如 力，Z2)，AC=(1,1,0).AE=(0,2X,l-X),.a-AC=0.他 +%=0)族=0 l2 2 +(1-入”2=0取巧=1,贝z2=2九,.二 1 二(1,1,2),10 分1 X 1 一九.-7 a b 1

17、 +1 cos=-=，.闻旧.+(含2 31 I 1 解得九=5,E(0,l,-),AE=(0,1,-),又平面 ABCO的法向量为 m=(0,0,1),设直线A E与平面A3CO所成角的平面角为9,.0=4?函-行m-AE 512分20.(12 分)已知抛物线C：/=2 y,过点Q(l,l)的动直线与抛物线C 交于不同的两点A、B,分别以A、8 为切点作抛物线的切线/1、，2,直线4、12交于点(1)求动点P 的轨迹方程；(2)求APAB面积的最小值，并求出此时直线A B的方程。【解析】(1)设A(x，f),8区,日)，22以A为切点的切线为-=百 -再)，整理得：y=xx-x-,1分2同理

18、：以5为切点的切线为：y=&x 5-，2分联立方程组：2 解得p(五 三,3),3分焉 2 2y=x2x-设直线4 5的方程为：y-=k(x-)fy-l=A(%1)联立方程组 1 9 得：x2-2 k x+2 k-2 =0f 5分I 2，玉+工2=2 2，xx2=2 k-2,:P(k,攵 一 1),J点2的轨迹方程为-丁一1 =0：6分(2)由(1)知：|AB=+k2-7(Xj+)2-4XX2=2y1+k2-ylk2-2 k +2,8 分又P(k,女-1)到直线A B的距离为：9分：.S=A B-d =yl(k2-2 k +2)3=7(-l)2+l3,11 分，Z=1时，S取得最小值1 ,此时

19、直线A B的方程为丁=%。12分21.(12 分)已知函数 f(x)=x3-3 x2-axa(1)讨论了(力的单调性；(2)求 证:当”(-3,-1)时，对V xe(l,2)都有|/(西)-/(尤2)1|3再-3巧|。(1)V/(X)=X3-3X2-OV,其定义域为 R,A f(x)=3x2-6 x-a,A=36+12,1 分当()时，即a ()时，即。一3时，/(x)=0有两个根为:3，9+34 3+J9+3aXj 、%2=，再 0,/(X)单调递增,4分当 XEG-.,-二)时，/(x)0,/(%)在A 上单调递增，对 V x e (1,2)有|/(西)-/(%2 )1 1 3%一 3 I

20、，不妨设X ，=/(x)在 R 二单调递增，/(再)/()，则原式可以转化为3 内一3X2 f(x)-f(x2)3X2-3 x,u n七/*1)-/(犬 2)3 x2-3 2 fxx)+3%/(x2)+3X2即有 ,即Ur,*，3 X -3X2 /(X 1)-/(X2)|/5 2)-3 x2 -a,V a e(-3,-1),二 g(x)0,1 0 分当xw(l,2)时，g(x)单调递增，.g(X )g*2)，即/(X )+3 X h(x2)即)-3%2 /(X 1 )-3%,则原不等式得证。1 2 分请考生在第2 2、2 3 两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第

21、一个题目计分。2 2.选修4-4：坐标系与参数方程(1 0 分)在直角坐标系x O y 中，曲线C的方程为x=2 c os 0,八(0 为参数)，直线/的方程为x+y =l。以。为极点，Xy =si n 9轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。(1)求曲线C和直线/的极坐标方程;(2)已 知 射 线 的 极 坐 标 方 程 是。=方，且与曲线C和直线/在第一条限的交点分别为P、Q,求|P Q|的长。r2【解析】(1)曲线C：+/=1,化为极坐标方程为：P44l+3 si n2022分直线/的极坐标方程为p.8 s0 +p-si n 6 =l,4分(2)设点P(pp 0,),则有24P i =-l +

22、3 sn r 0 ,解得0 i =二3=4 耳P 1 3.即尸(答7 i 1 3 30.=-36分设点。(p2,02)-p2=7 3-1。小兀,即 8 分3p2-c os 02+p2-si n 02=1则有|兀 ，解得.i pe i=iPl-p2 i=+i-V3 1 0 分2 3.选修4-5：不等式选讲(1 0 分)己知函数 f(x)=|2 元 一。|,g(x)=bx+lo(1)当8 =1 时，若g.f(x)+g(x)的最小值为3,求实数a 的值；当 b =-1 时，若不等式/(x)+g(x)|x-1-x-l|=|-+l|.2 分彳/(普+8*)的最小值为3，二 号+1|=3,解得a=-8 或。=4；4分(2)当人=一1 时，f(x)+g(x)l 即|2 x-a|+|x 1|1 ,5 分当时，原式等同于|2 x-|x,即 三%，7分.不等式/(x)+g(x)l 且即 9 分故实数a 的取值范围是1 0 分