2021年广东省深圳市南山学校、育才三中等中考数学一模试卷（附答案详解）.pdf

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1、2021年广东省深圳市南山学校、育才三中等中考数学一模试卷一、选 择 题（本大题共10小题，共30.0分）1.方程+2）=0的根是（）A.x =2 B.x =0C.X =0,g=-2 D.X =0,刀2=22.一组数据-2、1、1、0、2、1.这组数据的众数和中位数分别是（）A.-2、0 B.1、0 C.1、1 D.2、13.人体中成熟的红细胞的平均直径为0.000 007 7加，用科学记数法表示为（）A.7.7 x 10-5 m B.77x 10-6？C.77 x I O_ 5 in D.7.7 x 10-6 m4.使 二 次 根 式 有 意 义 的x的取值范围是（）A.%2 B.x 25.

2、如图，平行四边形AB C。的周长为20,B D交于点0,E 为 C D的中点，8。=6C.x =2 D.%。2对角线A C、-，则 D O E的/Z周长为（）A.5B.8C.10D.126.一次函数 丫 =a x +b和反比例函数y =标系中的图象如图所示，则二次函数y可能是（）二-7 c;在同一个平面直角坐 相交于点G,连接EC、EF、EG.则下列结论：QZFCF=45；AAEG的周长为（l+）a；BE?+DG2=EG2-,EAF的面积的最大值是那；当BE=：a时，G 是线段AO的中点.其中正确结论的个数是（）A.2 B.3 C.4二、填 空 题（本大题共5 小题，共 15.0分）1 1.分

3、解因式：-4a?+4a=.12.一个不透明的口袋中，装有红球6 个，白球9 个，黑球3 个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰 好 是 黑 球 的 概 率 为.13.观 察 下 列 一 组 数:昊 它 们 是 按 一 定 规 律 排 列 的，那么第7 个数是_ _ _ _ _2 5 2 17 2614.点 P,Q,R在反比例函数y=久常数k 0,x 0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x 轴、y 轴的平行线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S2,S3.若OE=ED=DC,Si+S3=2 5,则S2的值为.15.如图，矩形ABC力中，E 是 A 8上一点，连接E

4、,将力DE沿 OE翻折，恰好使点A落在8 c 边的中点尸处，在。尸上取点。，以。为圆心，O尸长为半径作半圆与CD相切于点G.若=4,则图中阴影部分的面积为三、解 答 题（本大题共7 小题，共 55.0分）16.计算：(-1)-2-2tan600-(2021-7 T)+V12.17.化简求值：爰 工+(+刀 _ 1),其中X=2.18.某市教育局非常重视学生的身体健康状况，为此在体育考试中对部分学生的立定跳远成绩进行了调查，根据测试成绩(最低分为53分)分别绘制了统计图(如图):分数59.5分以下59.5分以上69.5分以上79.5分以上89.5分以上人数34232208(1)被抽查的学生为 人

5、.(2)请补全频数分布直方图.(3)若全市参加考试的学生大约有9000人,请估计成绩优秀的学生约有多少人(80分及以上为优秀)？(4)若此次表中测试成绩的中位数为78分，请写出78.589.5之间的人数最多有多少人？第4页，共23页M数52.5 60.5 68.5 76.5 84.5 92.5 1003 湎1 9.如图所示，甲、乙两船同时由港口 A出发开往海岛B,甲船沿某一方向直航140海里的海岛B,其速度为14海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行3小时后，到达C港口接旅客，停 留1小时后再转向北偏东30。方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时.(1)求海岛8到航线AC的距离

6、；(2)甲船在航行至P处，发现乙船在其正东方向的。处，江A C问此时两船相距多少？2 0 .我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称:(2)如 图1,已知格点(小正方形的顶点)0(0,0),4(3,0),8(0,4),请你画出以格点为顶点，0 4 0 8为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形O A例B；(3)如图2,将A A B C绕顶点8按顺时针方向旋转6 0。，得至1 J A D B E,连结A。，DC,N D C B =3 0。

7、.写出线段。C,AC,B C的数量关系为I_121.如图所示，A B是。的直径，点E为线段O B上一点(不与O,3重合)，作C E J.O B,交。于点C,垂足为点E,作直径C ,过点C的切线交。B的延长线于点P,作4 F _ L P C于点尸，连接C 8.(1)求证：A C平分4凡4 B.(2)求证：BC2=CE-CP.(3)当4 8 =4百 且 箓=3时，求劣弧B C长度(结果保留兀).第 6 页，共 23页22.如 图，抛物线、=。/一 2内 一 3 61(10)与 轴交于4,8两点(点A在点8的左边),与 y 轴交于点C,且。8 =0C.(1)求抛物线的解析式；(2)如 图 1,若点尸

8、是线段B C(不与8,C重合)上一动点，过点P作 x 轴的垂线交抛物线于M点，连 接 CM,将A P C M 沿 CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；(3)如图2,若第四象限有一动点E,满足4 E =0 4 过 E作E F J.X 轴于点尸，设尸坐标为(t,0)，0 t 3,力E 尸的内心为/,连接C/,直接写出C/的最小值.图1图2答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题可根据“两式相乘值为0,这两式中至少有一式值为0”来解题.本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法,公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.【

9、解答】解：x(x+2)=0,=x=0 或x+2=0,解得X=0,x2=2.故选：C.2.【答案】C【解析】解：这组数据的众数为1,从小到大排列:-2,0,1,1,1,2,中位数是1,故选：C.根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数进行分析即可.此题主要考查了众数和中位数，关键是掌握两种数的定义.3.【答案】D【解析】解：0.000 007 7=7.7 x 10-6,故选：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a x 1 0-%与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负

10、指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的。的个数所决定.本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a x lO-%其中iw|a|0,解得久2 2,故选：B.根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可.本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键.5.【答案】B【解析】解：gABC。的周长为20,2(BC+CD)=2 0,则BC+CD=10.四边形ABC。是平行四边形，对角线AC,8。相交于点。，BD=6,1 OD=OB=-BD=3.2又:点E是CD的中点，-1OE是BCD的中位线，DE=-CD,OE=-BC,2i iDOE 的周

11、长=。+OE+DE=+CD)=5+3=8,即DOE的周长为8.故选：B.根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=0 D,又因为E点是CO的中点，可得OE是BCD的中位线，可得OE=BC,所以易求 DOE的周长.本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质.解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质.6.【答案】A【解析】解：观察函数图象可知：a0,c 0,与y轴的交点在y轴负半轴.故 选:A.根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a 0、c (),与 y 轴的交点在)，轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论.本题考查了反比例函数的

12、图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a 0、c 0 是解题的关键.7.【答案】D【解析】解：A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意.8、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意.C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，。、无法判断两直线平行，故选：D.根据平行线的判定方法一一判断即可.本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型.8.【答案】CAO/DC,乙ODC=4AOD=68,v OD=OC,：.乙ODC=乙OCD=68,乙 COD=34,乙40

13、c=112,AB=-Z.AOC=56.2故选：C.第10页，共23页连接 0 C,由4 0 DC,得出NODC=Z.AOD=70,再由OD=OC,得出ZODC=Z.OCZ)=70,求得乙COD=40,进一步得出NAOC,进一步利用圆周角定理得出4B的度数即可.此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键.9.【答案】B【解析】解：.以点。为位似中心，位似比为右而 A(4,3),4 点的对应点C 的坐标为(一发-1).故选：B.根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以-抑可.本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，

14、如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于或-k.10.【答案】B【解析】解：如 图 1,在 8 c 上截取BH=B E,连接EH.:BE=BH,Z.EBH=90,EH=yiBE,AF=yf2BE,.-.AF=EH,Z.DAM=乙EHB=45,BAD=90,4FAE=Z.EHC=135,BA=BC,BE=BH,AE=HC,FAE EHCSAS),：EF=E C,乙AEF=CECB,v LECH+乙CEB=90,4EF+4CE8=90。，乙FEC=90,Z.ECF=乙EFC=45,故正确，如 图2,延长AZ)到 使 得。H=8E,图2在正方形A8CO中，BC=C

15、D,CB=Z.CDH=90,CBE=A CDH(SAS),:.乙ECB=乙DCH,(ECH=乙BCD=90,乙ECG=乙GCH=45,v CG=CG,CE=CH,/.GCE三4 GCH(SAS),EG=GW,：GH=DG+DH,DH=BE,*EG=BE+DG；故错误，AEG 的周长=AE+EG+AG=AE+AH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a；故错误；设BE=x,则ZE=a x,AF=V2x,S&AEF=1-(a-x)-x=-i%2 4-iax=-1(x2-ax 4-ia2-ia2)=-i(x-i a)2+第12页，共23页-1 到”,使得DH=B E,则4 CBE三4

16、CDH(SAS),再证明 GCE=GCH(SAS)即可解决问题.设BE=x,则4E=a-x,AF=岳,构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.当BE=1 a时，设CG=m,则EG=7n+：a,利用勾股定理构建方程可得m=0.5a即可解决问题.本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数最值的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.11.【答案】a(a 2)2【解析】解：a3 4a2+4a,=a(a2 4a+4),a(a 2)2.故答案为：a(a 2)2.观察原式a3-4a2+4 a,找到公因式a,提出公因式后发现a?-4a+4

17、是完全平方公式,利用完全平方公式继续分解可得.本题考查了对一个多项式因式分解的能力.一般地，因式分解有两种方法,提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法(完全平方公式).要求灵活运用各种方法进行因式分解.12.【答案】:6【解析】解：根据题意可得：一袋中装有红球6 个，白球9 个，黑球3 个，共 18个，任意摸出1个，摸到黑球的概率是=ilo O故答案为：O根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.本题球的总数为6+9+3=1 8,黑球的数目为3.此题考查概率的求法：如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A

18、 出现，种结果，那么事件A 的概率P(4)=?13.【答案】1【解析】解：观察数据可知，分子是从1开始连续的奇数，分母是从1开始连续自然数的平方多1,则第个数是黑，第 7 个 数 是 舒 4故答案为：弟分子是从1开始连续的奇数，分母是从1开始连续自然数的平方多1,由此得出第个此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题.14.【答案】5【解析】解：,CC=DE=OE,二可以假设CD=DE=OE=a,则P(3 a),Q点2a),R(,a),k k kA CP=DQ=,ER=L3a 2a a2A OG=AG,OF=2FG,OF=-GAf2 S1=-S3=2s2，v S +S3=

19、25,S3=15,Si=25,$2=5.第 14页，共 23页故答案为5.设C D =D E =0 E =a,则P(33a),Q 6,2 a),a),推出C P =套 D Q =亲 ER=oo推出O G =A G,OF=2 FG,OF=-G A,推出S =$3=2 S 2,根据&+S 3=2 5,求出S ,S 3,S 2即可.本题考查反比例函数系数4的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.1 5.【答案】逗9【解析】【分析】本题考查了扇形面积的计算，切线的性质，翻折变换，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键.连接0 G,证明 D 0 G 7 D F C,

20、得 出 器=需 设。6 =0 F=%,则=一 求出圆的DF FC 4 2半径为右证明AOFQ为等边三角形，则可由扇形的面积公式和三角形的面积公式求出答案.【解答】解：连接0 G,将 4 D E沿O E翻折，恰好使点A落在B C边的中点尸处,.力。=。尸=4,BF=CF=2,矩形 A 3C O 中，Z.DCF=9 0 ,乙FDC=30 ,乙DFC=6 0 ,。与。相切于点G,：0 G 1 CD,v BC 1 CD,OG/BC,D O G s公 D F C,DO _ 0 G*DF-FC设O G =OF=%,则4 2解得：X =p即OO的半径是a连接。，作OH，F Q，乙DFC=6 0 ,OF=OQ

21、,.。尸(2 为等边人 同理A O G Q 为等边；Z-GOQ=Z-FOQ=6 0 ,O H=苧。Q =誓，S崩形OGQ=S崩 的Q F，S阴 影=矩开幻GCH _ S雇 形0GQ _ SOQG +g崩 腕QF _ S 4 0尸Q)_ c 3 c _ 4 2/3 3,1 4 2代、_ 2A/3=S 矩 的 GCH-2 S&OFQ=3X VI(2X3X =V故答案为：巫.91 6.【答案】解：原式=4一2 百 一 1 +2U=3.【解析】直接利用负整数指数幕的性质以及零指数幕的性质和特殊角的三角函数值、二次根式的性质化简得出答案.此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.1 7.【答案】解

22、:原式=/q r j _ f (X-l)(X+l(x-l)(x+l)4+1 x+1%2%2(X-1)(%+1)X +1X2 X +1(x 1)(%+1)X21x-1当x =2 时,原式二-=1.【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案.此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键.第 1 6 页，共 23页1 8.【答案】45【解析】解：(1)由表格可得，被抽查的学生为:3+42=45(人)，故答案为:45；(2)76.5 84.5的学生有：4 5-3-7-1 0-8-5 =12(人)，补全的频数分布直方图如右图所示;on(3)90

23、00=4000(人)，即估计成绩优秀的学生约有4000人;(4)由题意可得，4 5-2 3-8=14(人)，即78.589.5之间的人数最多有14人.(1)根据表格中的数据，可以写出被抽查的学生人数；(2)根据频数分布直方图中的数据，可以计算出76.584.5的学生人数，从而可以将频数分布直方图补充完整；(3)根据表格中的数据，可以计算出成绩优秀的学生约有多少人；(4)根据题意和统计图中的数据，可以计算出78.589.5之间的人数最多有多少人.本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.jh19.【答案】解：(1)过点5作BD于。，在R M

24、 B C D中，乙 BCD=60,A c设CC=x,则BD=8 x,D、在R tA B/M 中，BDA=90 A D2+B D2=A B2,得 1402=(6 0 +xy +x 2+3 0 x-4000=0,.x=50 或一80(舍弃)，BD=50V3.(2)设运动时间为 t,则4P=1 4 t,CQ=20(t-4).BC=100若点。在点尸的正东方向，则PQ4C,喘喑即假2 0(1)100得 t=8,由 B P Q s BAC,PQ _ BPAC-A B1即：黑=瑞得 PQ=12.【解析】(1)过点B 作BD 1 4E于D,在Rt BCD中，乙 BCD=6 0,设CD=x,则BD=限 在 R

25、 X B/M 中，ABDA=9 0 ,根据业+8。2=胡，W1402=(60+x)2+(遮x)2求出x 即可解决问题；(2)由PQ/4C,推出a=患，即 馈=喘得t=8,由A B P Q M BAC,推出豢=果，即 遭=焉 可 得 PQ=本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.20.【答案】矩形 正 方 形D C2+BC2=AC2【解析】解：(1)学过的特殊四边形中是勾股四边形的有矩形，正方形;故答案为：矩形，正方形;(2)如图,(3)线段。C,AC,BC的数量关系为：D C2+B C2=A C2.图2第1

26、8页，共23页由旋转得：4 A B e 34 DBE,AC=D E,BC=BE,又,：乙C BE=60。，.CBE为等边三角形，BC=C E,乙BCE=60,乙 DCB=30,乙DCE=4 DCB+乙BCE=30+60=90,：.D C2+EC2=D E2,D C2+B C2=A C2.即四边形A B C D是勾股四边形.故答案为：D C2+BC2=AC2.(1)利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可；(2)根据题意画出图形即可；(3)首先证明AABC三 B D C,得出AC=DE,BC=B E，连接C E,进一步得出 BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得

27、出/)(:1是直角三角形，问题得解.本题考查四边形综合题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题.21.【答案】(1)证明：连接AC,BC,/,OCA=Z.OAC,?是0。的切线，C E 14B,LOCP=ZF=90,:AFI IOC,Z,FAC=乙OCA,Z.FAC=Z.OAC,A CA平 分 血(2)证明：CD是直径，Z-CBD=90,乙CBP=90,v CE 1 OB,乙CEB=(CBP=90,PC切。于点C,乙PCB=乙 CAB,4B是直径，Z,ACB=90,:.Z-ABC+LCAB=9 0 ,

28、乙BCE 4-/,ABC=90,v Z.CAB=(BCE,:.Z.PCB=乙BCE,*BCEA PCB,B _ C E _二 CP=BCfA BC2=CE,CP；解：设CF=3a,CP=4a,BC2=CE-CP=3a-4a=12a2,BC=2V5a,在Rt BCE中，sinCBE=,CB 275a 2乙CBE=60,乙BCE=30,COB是等边三角形，:AB=4同 OB=BC=2V3-劣弧BC的长=也”当=27 r.180 3【解析】(1)连接AC,B C,由切线的性质得出4OCP=N尸=90。，由平行线的判定得出A F/O C,由平行线的性质得出4 凡 4c=4OC4 则可得出结论；(2)由

29、圆周角定理得出NCBD=90。，证明A BCEsA PCB,由相似三角形的性质得出号=器，则可得出结论；第20页，共23页(3)由直角三角形的性质得出NBCE=30。，证明 COB是等边三角形，求出OB=2通,由弧长公式可得出答案.本题是圆的综合题，考查切线的性质、角平分线的判定、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、弧长公式等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线.2 2.【答案】解：(1)在y=ax2 2ax 3a(Q 0)中，令y=0,得：ax2-2ax 3a=0,解得：=3,%2=1/(-1,0),B(3,0),OB=3,OB=OC,.OC=

30、3,A C(0,-3),3a=-3A a=1 抛物线解析式为：y=x2-2 x-3.(2)设直线8 c 解析式为y=kx+b,8(3,0),C(0,-3),E=。,解 得:1k=1b=3 直 线 3 c 解析式为：y=%3,设 M 点坐标为(皿62-2 m-3),v PM 1%轴,P(m,m 3),PM=m 3 (m2 2m 3)=-m2+3m,：OB=0C,Z,BOC=90,CB=或。8,CP=V2m，PCM沿 CM对折，点尸的对应点N恰好落在y 轴上,：乙 PCM=乙 NCM,PM/y 轴，乙NCM=乙PMC,乙PCM=乙PMC,:.PC=PM,y/2m=m2+3m,整理得：m2+(V2

31、3)m=0,解得：7nl=0(舍去)，m2=3 V2,当m=3 企 时，m 3=-V2 P(3(3)如图2,连接A/,Oh E I,作0 4/的外接圆O M,连 接。M,AM,MI,C M,过 M 作M H ly轴于 H,v EF 1 x轴，Z,AFE=90,/,FAE+Z.FEA=90,4E F的内心为/,.A I,E/分别平分4凡4E,Z.FEA,ZMF=-Z.FAE,UEA=-FE A,2 2 Z.1AE+Z.IEA=F A E +Z.FEA)=45,:.LM E=135,在 4/0 和!/中，OA=EAW A I=LEM.AI=AI4/0WA/1/E(S4S),Z.AIO=Z.AIE=

32、135,O M是0 4/的外接圆，.KOMA=2 x(180-Z-AIO)=90,OM=AM=O A=f2 2：.MI=OM=，2 Z.MOA=(MOH=45,MH l y轴，(HOM=乙HMO=45,OH=HM=OM=-，2 2第22页，共23页3 QA CH=0W+0C=-+3=-,2 2C M =y/HM2+C H2=,2V Cl C M-M I,当且仅当C、M、/三点共线时，C/取得最小值,C/的 最 小 值 为 母-越.2 2【解析】(1)在抛物线丫=a-2ax-3a(a 0)中，令y=0,得出点A、B 坐标，再根据OB=O C,建立方程求a 的值即可求出函数的关系式；(2)先求出直线BC解析式，设 M 点坐标为(m,m2-2 m-3),P(m,m-3),由题意：PCM沿 CM对折，点P的对应点N 恰好落在y 轴上，可得到关于m的一元二次方程，求出，“即可得到答案；(3)连接 4/,0 1,EI,作 ACM/的外接圆。M,连接 OM,AM,MI,C M,过 M 作M H ly轴 于“，根据三角形内心可证明4。三再结合三角形外接圆及等腰直角三角形性质求得：CM,M I,依据两点之间线段最短可得答案.本题考查了二次函数综合，待定系数法，三角形内心、外接圆，几何变换-对折，两点之间线段最短，全等三角形判定和性质等知识点，充分利用三角形内心，合理作辅助线是解题关键.