微积分上知识点概括高等教育微积分高等教育微积分.pdf

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1、知识点 1.定义域：偶次根式内的式0 反三角函数的对应式的绝对值1 幂函数的幂 0 指数函数的底0 且1 对数函数的底0 且1 2.几个常用字母表示：总成本：C 总收益：R L（x）=R（x）-C（x）总利润：L 需求量：dQ 供给量：sQ 3.夹逼准则 4.无穷小量：极限为零的变量 设，是统一变化过程中的两个无穷小量。如果0lim，则称是的高阶无穷小量，记作=o()。如果0clim（c 为常数），则称与是同阶无穷小量，特别，当 c=1 时，称与是等价无穷小量，记作。如果lim，则称是的低阶无穷小量 常见等价无穷小量：当 x0 时，sinxx，tanxx，arcsinxx，x1-ex，nxx1

2、1n，1-cosx2x2，In（1+x）x 5.求极限：共轭因子法：求极限2-x3-5xlim22x 换元必须换极限过程：时当mn 无穷多个无穷小的和未必是无穷小 6.两个重要极限：1xsinxlim0 x ex11limxx）（1未定式）7.函数 y=f（x）在点0 x连续的条件：函数 y=f（x）在点0 x有定义）（xflim0 xx存在）（xflim0 xx=f（0 x）连续=左连续+右连续 8.间断点：第一类间断点：（左、右极限皆存在）可去间断点：左、右极限皆存在且相等 跳跃间断点：左、右极限皆存在但不相等 第二类间断点：（左、右极限至少一个不存在）无穷间断点：极限为者 为非负整数时有

3、和当nmba,0,000,00ba,0nm当时,lim110110mmmnnnxbxbxbaxaxanm当时字母表示总成本总收益总利润需求量供给量夹逼准则无穷小量极限为零的变量设是统一变化过程中的两个无穷小量如果则称是的高阶无穷小量记作如果为常数则称与是同阶无穷小量特别当时称与是等价无穷小量记作如果则称是的低时无穷多个无穷小的和未必是无穷小两个重要极限未定式函数在点连续的条件函数在点有定义存在连续左连续右连续间断点第一类间断点左右极限皆存在可去间断点左右极限皆存在且相等跳跃间断点左右极限皆存在但不相等第二类和之间变动无数次所以称为或的振荡间断点闭区间上连续函数的性质最值定理介值定理零点定理分为

4、和不连续一定不可导连续也不一定可导可导的奇偶函数的导数是偶奇函数微分边际成本的经济意义近似等于产量为时再生产一个单振荡间断点：函数 f(x)=cos(1/x)或 f(x)=sin(1/x)在 x=0 处无定义，且当x 趋向于0时，对应的函数值在-1和1之间变动无数次，所以 x=0称为 f(x)=cos(1/x)或 f(x)=sin(1/x)的“振荡间断点”。9.闭区间上连续函数的性质：最值定理、介值定理、零点定理 10.分为+和-11.）（xf=0 xxy=0 xxdxdy=0 xxxfdxd）（=xxxflim00 x）（=00 xxx-xxf-xflim0）（）（12.不连续一定不可导，连

5、续也不一定可导 13.可导的奇（偶）函数的导数是偶（奇）函数 14.微分 dy=df（x）=）（xfdx 15.边际成本）（xC的经济意义：近似等于产量为 x 时再生产一个单位产品所需要增加的成本 边际收益）（xR的经济意义：近似等于产量为 x 时再生产一个单位产品所增加（或减少）的收益 边际利润）（xL的经济意义：近似等于产量为 x 时再生产一个单位产品所增加（或减少）的利润 函数的弹性：yxyxyEE表示当自变量在点 x=0 x处变化 1%时，f（x）近似地变化xyEE%，记作：=-1时，称为单位弹性，此时价格与需求变动的幅度相同；字母表示总成本总收益总利润需求量供给量夹逼准则无穷小量极限

6、为零的变量设是统一变化过程中的两个无穷小量如果则称是的高阶无穷小量记作如果为常数则称与是同阶无穷小量特别当时称与是等价无穷小量记作如果则称是的低时无穷多个无穷小的和未必是无穷小两个重要极限未定式函数在点连续的条件函数在点有定义存在连续左连续右连续间断点第一类间断点左右极限皆存在可去间断点左右极限皆存在且相等跳跃间断点左右极限皆存在但不相等第二类和之间变动无数次所以称为或的振荡间断点闭区间上连续函数的性质最值定理介值定理零点定理分为和不连续一定不可导连续也不一定可导可导的奇偶函数的导数是偶奇函数微分边际成本的经济意义近似等于产量为时再生产一个单-1时，称为高弹性，此时需求的幅度大于价格变动的幅度

7、，即此时价格上涨（或下跌）1%时，需求将减少（或增加）%-10，称为低弹性，此时需求的幅度小于价格变动的幅度，即此时价格上涨（或下跌）1%时，需求将减少（或增加）%16.罗尔定理：设函数 f（x）在闭区间【a，b】上连续，在开区间（a，b）内可导，且 f（a）=f（b），则在（a，b）内至少存在一点，使得）（f=0 拉格朗日中值定理：若函数 f（x）在闭区间【a，b】上连续，在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内存在一点，使得a-baf-bff）（）（）（柯西中值定理：若函数 f（x）与 g（x）在闭区间【a，b】上连续在开区间（a，b）内可导，且）（xg在（a，b）内恒不为零，则在（a，

8、b）内至少存在一点，使得）（）（）（）（）（）（ag-bgaf-bfgf 洛必达法则：00（）型未定式，分子、分母分别求导）（或，0010-000 17.函数导数等于零的点称为函数的驻点 可导函数的极值点必为驻点，不可导点也可能是极值点 18.凹凸性判断：凸凹）（00 xf 19.渐 近 线：水 平 渐 近 线：对 于 函 数y=f（x），若）的 水 平 渐 近 线（为 曲 线则称为有限数，其中）（或）（xfyyxflimxflim-xxAAAA 对于函数 y=f（x），若字母表示总成本总收益总利润需求量供给量夹逼准则无穷小量极限为零的变量设是统一变化过程中的两个无穷小量如果则称是的高阶无穷小

9、量记作如果为常数则称与是同阶无穷小量特别当时称与是等价无穷小量记作如果则称是的低时无穷多个无穷小的和未必是无穷小两个重要极限未定式函数在点连续的条件函数在点有定义存在连续左连续右连续间断点第一类间断点左右极限皆存在可去间断点左右极限皆存在且相等跳跃间断点左右极限皆存在但不相等第二类和之间变动无数次所以称为或的振荡间断点闭区间上连续函数的性质最值定理介值定理零点定理分为和不连续一定不可导连续也不一定可导可导的奇偶函数的导数是偶奇函数微分边际成本的经济意义近似等于产量为时再生产一个单）的一条竖直渐近线（为曲线则称之一成立）（，）（，）（，）（xfyxx-xflimxflim-xflimxflim0

10、 xxxxxxxx-0-000 斜渐近线：ax-xflimb0 xxflimaxx）（）（）（AA 20.三角函数：cosxsinxtanxsinxcosxtanx1cotcosx1secxsinx1cscxcosxsinx，21.偶次降次，奇次分一个因子凑微分 22.第二换元积分法：ax-xa-x20tax2t0sectaxa-x2ttantaxax2tsintaxx-a222222，转化为，令），（，）（：令）（：令）（：令 23.含tba0babanxnx）的积分，令，（24.分部积分法：反对幂指三（三指），前面的取为，后面的凑成dv 字母表示总成本总收益总利润需求量供给量夹逼准则无穷小

11、量极限为零的变量设是统一变化过程中的两个无穷小量如果则称是的高阶无穷小量记作如果为常数则称与是同阶无穷小量特别当时称与是等价无穷小量记作如果则称是的低时无穷多个无穷小的和未必是无穷小两个重要极限未定式函数在点连续的条件函数在点有定义存在连续左连续右连续间断点第一类间断点左右极限皆存在可去间断点左右极限皆存在且相等跳跃间断点左右极限皆存在但不相等第二类和之间变动无数次所以称为或的振荡间断点闭区间上连续函数的性质最值定理介值定理零点定理分为和不连续一定不可导连续也不一定可导可导的奇偶函数的导数是偶奇函数微分边际成本的经济意义近似等于产量为时再生产一个单基本三角公式 222222sincos1,1

12、tansec1 cotcsc 2222sin22sincoscos2cossin1 2sin2cos1 22221 cos 221 cos 221 cos2sinsin21 cos2coscos2 sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22 1sincossinsin21cossinsinsin21coscoscoscos21sinsincoscos2 基本初等函数求导公式 (1)0)(C (2)1)(xx (3)xxcos)(sin (4)xxsin)(cos (5)xx2sec)(tan (6)xx2csc)(c

13、ot 字母表示总成本总收益总利润需求量供给量夹逼准则无穷小量极限为零的变量设是统一变化过程中的两个无穷小量如果则称是的高阶无穷小量记作如果为常数则称与是同阶无穷小量特别当时称与是等价无穷小量记作如果则称是的低时无穷多个无穷小的和未必是无穷小两个重要极限未定式函数在点连续的条件函数在点有定义存在连续左连续右连续间断点第一类间断点左右极限皆存在可去间断点左右极限皆存在且相等跳跃间断点左右极限皆存在但不相等第二类和之间变动无数次所以称为或的振荡间断点闭区间上连续函数的性质最值定理介值定理零点定理分为和不连续一定不可导连续也不一定可导可导的奇偶函数的导数是偶奇函数微分边际成本的经济意义近似等于产量为时

14、再生产一个单 (7)xxxtansec)(sec (8)xxxcotcsc)(csc (9)aaaxxln)(10)(e)exx (11)axxaln1)(log (12)xx1)(ln，(13)211)(arcsinxx (14)211)(arccosxx (15)21(arctan)1xx (16)21(arccot)1xx 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(xuu，)(xvv 都可导，则 （1）vuvu)(（2）uCCu)(（C是常数）（3）vuvuuv)(（4）2vvuvuvu 反函数求导法则 若函数)(yx在某区间yI内可导、单调且0)(y，则它的反函数)(xfy 在对应区间xI

15、内也可导，且)(1)(yxf 或 dydxdxdy1 复合函数求导法则 设)(ufy，而)(xu且)(uf及)(x都可导，则复合函数)(xfy的导数为 字母表示总成本总收益总利润需求量供给量夹逼准则无穷小量极限为零的变量设是统一变化过程中的两个无穷小量如果则称是的高阶无穷小量记作如果为常数则称与是同阶无穷小量特别当时称与是等价无穷小量记作如果则称是的低时无穷多个无穷小的和未必是无穷小两个重要极限未定式函数在点连续的条件函数在点有定义存在连续左连续右连续间断点第一类间断点左右极限皆存在可去间断点左右极限皆存在且相等跳跃间断点左右极限皆存在但不相等第二类和之间变动无数次所以称为或的振荡间断点闭区间

16、上连续函数的性质最值定理介值定理零点定理分为和不连续一定不可导连续也不一定可导可导的奇偶函数的导数是偶奇函数微分边际成本的经济意义近似等于产量为时再生产一个单dydy dudxdu dx或()()yfux 基本积分公式(1)d,dk xkxCxxC 1(2)d11xxxC d(3)ln|xxCx (4)dlnxxaaxCa (5)dxxexeC (6)cos dsinx xxC (7)sin dcosx xxC 22d(8)secdtancosxx xxCx 22d(9)cscdcotsinxx xxCx (10)sectan dsecxx xxC (11)csc cot dcscxx xxC

17、 2d(12)arcsin1xxCx 2d(13)arctan1xxCx 2222d1d1(14)ln,ln22xaxxxaCCaxaaxxaaxa 22d1(15)arctanxxCaxaa 22d(16)arcsinxxCaax(17)tan dln cosx xxC (18)cot dln sinx xxC(19)sec dln sectanx xxxC (20)csc dln csccotx xxxC 2222d(21)lnxxxaCxa 附：零散公式：arccosx-x-arccos）（arccotx-x-arccot）（nnnlimn21limnlimnn21limn1nnnn1n

18、nn）（）（）（）用夹逼定理（dxcotxcscx-xcscdxxsincosx-1dxcosx-1cosx1cosx-1cosx1dx22）（）（字母表示总成本总收益总利润需求量供给量夹逼准则无穷小量极限为零的变量设是统一变化过程中的两个无穷小量如果则称是的高阶无穷小量记作如果为常数则称与是同阶无穷小量特别当时称与是等价无穷小量记作如果则称是的低时无穷多个无穷小的和未必是无穷小两个重要极限未定式函数在点连续的条件函数在点有定义存在连续左连续右连续间断点第一类间断点左右极限皆存在可去间断点左右极限皆存在且相等跳跃间断点左右极限皆存在但不相等第二类和之间变动无数次所以称为或的振荡间断点闭区间上连

19、续函数的性质最值定理介值定理零点定理分为和不连续一定不可导连续也不一定可导可导的奇偶函数的导数是偶奇函数微分边际成本的经济意义近似等于产量为时再生产一个单 字母表示总成本总收益总利润需求量供给量夹逼准则无穷小量极限为零的变量设是统一变化过程中的两个无穷小量如果则称是的高阶无穷小量记作如果为常数则称与是同阶无穷小量特别当时称与是等价无穷小量记作如果则称是的低时无穷多个无穷小的和未必是无穷小两个重要极限未定式函数在点连续的条件函数在点有定义存在连续左连续右连续间断点第一类间断点左右极限皆存在可去间断点左右极限皆存在且相等跳跃间断点左右极限皆存在但不相等第二类和之间变动无数次所以称为或的振荡间断点闭区间上连续函数的性质最值定理介值定理零点定理分为和不连续一定不可导连续也不一定可导可导的奇偶函数的导数是偶奇函数微分边际成本的经济意义近似等于产量为时再生产一个单