垂径定理教学案例中学教育中学中学教育中学课件.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载 BADC-垂径定理（第一课时）教学设计 【教学目标】1知识目标：通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；掌握辅助线的作法过圆心作一条与弦垂直的线段。2能力目标：通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。3情感目标：结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。【教学重点】垂径定理及其应用。【教学难点】垂径定理的证明。【教学方法】探究发现法。【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板

2、、圆规。【教学设计】一、实例导入，激疑引趣 1实例：同学们都学过中国石拱桥这篇课文（初二语文第三册第一课茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有 1400 多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。2导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB 的距离，也叫弓高）为 7.2 米。请问：桥拱的 半径（即 AB 所在圆的半径）是多少？通过本节课的学习，我们将能

3、很容易解决这一问题。（图 1）二、尝试诱导，发现定理 学习好资料 欢迎下载 1复习过渡：如图 2(a)，弦 AB 将O 分成几部分？各部分的名称是什么？如图 2(b)，将弦 AB 变成直径，O 被分成的两部分各叫什么？在图 2(b)中，若将O 沿直径 AB 对折，两部分是否重合？(a)(b)(a)(b)(c)（图 2）（图 3）2实验验证：让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。3运动变换：如图 3(a)，AB、CD 是O 的两条直径，图中有哪些相

4、等的线段和相等的弧？如图 3(b)，当 ABCD 时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？如图 3(c)，当 AB 向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？4提出猜想：根据以上的研究和图3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想 （板书）BDADBCACBDAECDEAB,CDO垂足为弦的直径是圆 5验证猜想：教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径 CD 对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为垂直于弦的直径。三、引导探究，证明定理 1引导证明：猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。证明“AE=BE”，可

5、通过连结 OA、OB 来实现，利用等腰三角形性质证明。证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。2归纳定理：OABOABOABCDOABCDOABCDE 径定理理解其证明并会用它解决有关的证明与计算问题掌握辅助线的作法过圆心作一条与弦垂直的线段能力目标通过定理探究培养学生观察分析逻辑思维和归纳概括能力向学生渗透由特殊到一般再由一般到特殊的基本思想方法情感理及其应用教学难点垂径定理的证明教学方法探究发现法教具准备自制的教具自制课件实物投影仪电脑三角板圆规教学设计一实例导入激疑引趣实例同学们都学过中国石拱桥这篇课文初二语文第三册第一课茅以升其中介绍了我国隋习好资料欢迎下

6、载复习过渡如图弦将分成几部分各部分的名称是什么如图将弦变成直径被分成的两部分各叫什么在图中若将沿直径对折两部分是否重合图图实验验证让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折观察两部分是否重学习好资料 欢迎下载 根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。3巩固定理：在下列图形（如图 4(a)(d)）中，AB 是O 的弦，CD 是O 的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。(a)AB CD 于 E (b)E 是 AB 中点 (c)OC AB 于 E (d)OEAB 于 E（图

7、 4）向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。四、例题示范，变式练习 1运用定理进行计算。例 1如图 5，在O 中，若弦 AB 的长为 8cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3cm，求O 的半径。分析：因为已知“圆心 O 到 AB 的距离为 3cm”，所以要作 辅助线 OEAB；因为要求半径，所以还要连结 OA。解：（略）学生口述，教师板书。（图 5）变式一在图 5 中，若O 的半径为 10cm，OE=6cm，则 AB=。思考一：若圆的半径为 R，一条弦长为 a，圆心到弦的距离为 d，则 R、a、d 三者之间的关系式是 。变式二如图 6，在O 中，半径 OCAB，垂足

8、为 E，若 CE=2cm，AB=8cm，则O 的半径=。（图 6）思考二：你能解决本课一开始提出的问题吗？（由学生口述方法）2运用定理进行证明 例 2已知：如图 7，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 两点。求证：ACBD。（图 7）分析：证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样证明？（证明OACOBD 或证明OADOBC）此外，还有更简捷的证明方法吗？若有，又怎样证明？（垂径定理）证法一：连结 OA、OB、OC、OD，用“三角形全等”证明。ODCBAEODCBAEOBAEOBACEOBAEOBACEOBCDA径定理理解其证明并会用它解决有关的证明与计

9、算问题掌握辅助线的作法过圆心作一条与弦垂直的线段能力目标通过定理探究培养学生观察分析逻辑思维和归纳概括能力向学生渗透由特殊到一般再由一般到特殊的基本思想方法情感理及其应用教学难点垂径定理的证明教学方法探究发现法教具准备自制的教具自制课件实物投影仪电脑三角板圆规教学设计一实例导入激疑引趣实例同学们都学过中国石拱桥这篇课文初二语文第三册第一课茅以升其中介绍了我国隋习好资料欢迎下载复习过渡如图弦将分成几部分各部分的名称是什么如图将弦变成直径被分成的两部分各叫什么在图中若将沿直径对折两部分是否重合图图实验验证让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折观察两部分是否重学习好资料 欢迎下载 证法二：过点

10、O 作 OEAB 于 E，用“垂径定理”证明。（详见课本 P77例 2）注 1：通过两种证明方法的比较，选择最优证法。注 2：辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键，也是常用辅助线。思考：在图 7 中，若 AC=2，AB=10，则圆环的面积是 。变式一若将图 7 中的大圆隐去，还需什么条件，才能保证 AC=BD？变式二若将图 7 中的小圆隐去，还需什么条件，才能保证 AC=BD？变式三将图 7 变成图 8（三个同心圆），你可以 证明哪些线段相等？（图 8）例 3（选讲）如图 9，RtABC 中，ACB90，AC3，BC26，以 C 为圆心、CA 长为半径画弧，交 斜边 AB 于 D，求

11、 AD 的长。（答案：2）略解：过点 C 作 CEAB 于 E，先用勾股定理求得 （图 9）AB=9，再用面积法求得 CE=22，最后用勾股定理求得 AE=1，由垂径定理得 AD=2。五、师生小结，纳入系统 1定理的三种基本图形如图 10、11、12。2计算中三个量的关系如图 13，222)2(adR。3证明中常用的辅助线过圆心作弦的垂线段。（图 10）（图 11）（图 12）（图 13）六、达标检测，反馈效果 1 如图 14，在O 的半径为 50mm，弦 AB=50mm，则点 O 到 AB 的距离为 ，AOB 度。2作图题：经过已知O 内的已知点 A 作弦，使它以点 A 为中点（如图 15）

12、。3课本 P16练习第 1，2 题。（图 14）（图 15）OBCDAEFABCDOABCDEOABDEOABEadROABOBAOA径定理理解其证明并会用它解决有关的证明与计算问题掌握辅助线的作法过圆心作一条与弦垂直的线段能力目标通过定理探究培养学生观察分析逻辑思维和归纳概括能力向学生渗透由特殊到一般再由一般到特殊的基本思想方法情感理及其应用教学难点垂径定理的证明教学方法探究发现法教具准备自制的教具自制课件实物投影仪电脑三角板圆规教学设计一实例导入激疑引趣实例同学们都学过中国石拱桥这篇课文初二语文第三册第一课茅以升其中介绍了我国隋习好资料欢迎下载复习过渡如图弦将分成几部分各部分的名称是什么如

13、图将弦变成直径被分成的两部分各叫什么在图中若将沿直径对折两部分是否重合图图实验验证让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折观察两部分是否重学习好资料 欢迎下载 课 堂 作业 姓名 得分 1如图，O 的半径为 50mm，弦 AB=50mm，则点 O 到 AB 的距离为 ，AOB 度。（第 1 题）（第 2 题）2作图题：经过已知O 内的已知点 A 作弦，使它以点 A 为中点（如图）。要求：保留作图痕迹，但不必写作法。3已知：如图，在O 中，AB、AC 是两条互相垂直且相等的弦，ODAB，OEAC，垂足分别为 D、E。求证：四边形 ADOE 是正方形。（第 3 题）OBCAEDOBAOA径定理理解其证明并会用它解决有关的证明与计算问题掌握辅助线的作法过圆心作一条与弦垂直的线段能力目标通过定理探究培养学生观察分析逻辑思维和归纳概括能力向学生渗透由特殊到一般再由一般到特殊的基本思想方法情感理及其应用教学难点垂径定理的证明教学方法探究发现法教具准备自制的教具自制课件实物投影仪电脑三角板圆规教学设计一实例导入激疑引趣实例同学们都学过中国石拱桥这篇课文初二语文第三册第一课茅以升其中介绍了我国隋习好资料欢迎下载复习过渡如图弦将分成几部分各部分的名称是什么如图将弦变成直径被分成的两部分各叫什么在图中若将沿直径对折两部分是否重合图图实验验证让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折观察两部分是否重