正方形综合练习2023年九年级数学中考复习.pdf

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1、正方形综合2023九年级数学中考复习1.（2021春香坊区校级期中）己知应）为正方形4 3 8 的对角线，点 E 为正方形ABCD外一点，连接隹,BE,C E,若 AEJLCE,BE与AD交 于 点、F,CE与AO、8。分别交于点G、H.(1)如 图 1,求证：ZAEB=45;(2)如图2,求证：AE+CE=B E；(3)如图3,连接 D E,若 DG=2FG,SMBE=30,求 C”的长.图12.(2022秋乐东县期末)如图1,在正方形4 3 8 中，45=4,点 P 是射线BC上一点，连接R4,P D.(1)当点P 是边3 c 的中点时，求证：&A B P三XDCP;(2)如图2,点 E,

2、F,G ,”分别是4),DC,CP,总 的 中点，依次连接EF,FG.G H ,HE.请 判 断 四 边 形 的 形 状，并说明理由;若点Q 是 叨 的 中 点，连接EQ,F Q,当AEQk 的面积为g 时，求 3P 的长.图1图2釜用图3.（2 0 2 2 秋卫辉市期末）【观察猜想】（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角.如图1,在正方形A B C D 中，点 ,F分别在边3C,C D 上,连接A E,A F ,EF,并 延 长 到 点 G ,使=连接AG.若 N E 4 F =4 5。，则 B E ,EF,。江之 间 的 数 量 关 系 为；【类比探究】（2）如 图2,当点E

3、在线段8c的延长线上，且 N E 4 尸=4 5。时，试探究B E ,EF,之间的数量关系，并说明理由；【拓展应用】（3）如 图 3,在 RtA A B C中，AB =AC,D,在 8c上，ZDAE=45,若 A A B C 的面积为1 2,B D C E =4,请直接写出AM坦的面积.4.(2022秋大东区期末)如图1,已知正方形CEFG的边CG在正方形钻 8的边CD上，连接3G,DE.(1)求证：ABCG三ADCE；(2)将正方形CEFG绕点C 按逆时针方向旋转，使边FG经过点。，如图2,连 接 和 8 G,写出BG与DE的位置关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接B E,若正方形

4、ABCD的边长为5,正方形CEFG的边长为4,直接写出。G?+BE?的值.图25.(2022秋海门市期末)如图，矩形ABC。中，AB=4,BC=a(4 4),点 E 在边BC上，在 AB同侧以AE为边作正方形AEFG,直线FG交直线A。于点H.(1)如图，若点尸是CO的中点，求 a 的值；(2)如图，若点尸在矩形ABCO内，且 G”：FH=3：1,求 8E 的长;6.(2021春兴宁区校级期中)点E 为正方形A B 8 边 上 的 一 点，点G 为 BC延长线一点，连接AE,过点E 作 A f jL E b,且 A E=F,连接CF.(1)如图，求证：ZFCG=45:(2)如图，过点D 作 D

5、 H/E F 交 A B 于点、H ,连接H E,求证：A H2+B H2=H E2；(3)如图，连接A T、D F,若 所 交 CZT于点M,D M =2,B H =3,求。尸的长.A DAD f 3 1 A D7.(2021春平山县期中)如图，正方形43C O 的边0 4、0 C 在坐标轴上，点 3 坐标为(6,6),将正方形OC54绕点C 逆时针旋转角度一个锐角度数a,得到正方形D C F E,功 交 线段相与点G,ED的延长线交线段OA于点”，连 C H、CG.(1)求证：ACBG=ACDG；(2)认真探究，求出4 C G 的度数；猜想H G、O H、8G 之间的数量关系，并写出理由.

6、(3)连接比、DA,AE,得 到 四 边 形 向 3,在旋转过程中四边形码。能否为矩形？如果能，请求出点H 的坐标；如果不能，请说明理由.8.(2023昆明一模)已知四边形ABC是正方形.(1)如图 1所示，点O 是正方形对角线的交点，连接0 3,O C,若 AB=4,求 OB的长.(2)如图2 所示，当点O是 3 C 上一点，O C L B C,连接8C,C,点 M 是 C。的中点，连接,C M ,求证：C M=O M .图29.(2 0 2 2秋南川区期末)如图1,在正方形A B C。中，对角线A C、8。相交于点。，点E为线段8 0上一点，连接C E,将C E绕点C顺时针旋转9 0 得至

7、IC F,连接E F 交 C D于点G.(1)若4 B=8,B E=2 近,求(?下的面积.(2)如图2,线段F E的延长线交A B于点”，过点尸作于点求证：B H+M G=BE；2(3)如图3,点E为射线。上一点，线段F E的延长线交直线C Q于点G,交直线A 8于点”，过点产10.(2022杭州模拟)如图所示，在平面直角坐标系中，正方形04BC的点A、C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点 8(6,6)在第一象限，AP平 分 由 交 0 3 于 P.(1)求 NOPA的度数和OP的长；(2)点尸不动，将正方形。4BC绕点O逆时针旋转至图2 的 位 置.ZC(?P=60,AP交0 8 于点尸

8、，连接C F.求证：O F +C F =PFi(3)如 图 3,在(2)的条件下，正方形的边回 交x 轴于点 、O E平分NBOD,M ,N是O B、OE上的动点，请直接写出8N+M/V的最小值.答案版:1.【解答】(1)证明：如 图1,作 研，CE于点P,交 4的延长线于点/.ZA/=ZBPC=90,AEA.CE,ABPE=ZM=ZAEP=90，/.四边形MBPE是矩形，:.ZMBP=90。,四边形ABCD是正方形，:.AB=CB,ZABC=ZADC=90,.ZMBA=ZPBC=90-ZABP，在AAB和ACBP中，NM=NBPC NMBA=APBC,AB=CBACBP(AAS)f:.MB=

9、PB,四边形MBPS是正方形，.ZAEB=ZMBE=45.(2)证明：如图 1,NBM=CBP,AM=CP,四边形MRPE是正方形，:.ME=PE=BP,;.AE+CE=ME-AM+PE+CP=PE-CP+PE+CP=2PE,PE?+BP2=BE?,2PE2=BE2,:.4PE2=2BE2,:.2PE=y/2BEf:.AE+CE=6BE.(3)解：如图2,连接A C,作G/工BE于点I,G J上D E于点、J,AD=CD,ZADC=90,.Z m C =ZDC4=45,.ZAEG=/C D G,ZAGE=NCGD,:2 G E sk C G D,EG AG-=-,DG CGEG DG.-=-,

10、AG CGZEGD=ZAGC,/.AEGEAAGC,.ZDEG=ZC4G=45，.NDEG=NFEG=45。,:.GI=GJ,DG=2FG,SADEG=2 SAFEG，/.-E D GJ=2 x-E F G I，2 2:.ED=2EF,ZBAF=ZDEF=90。,ZAFB=ZEFD,/SAFBAEFD，,AB _A FE DE FAB ED c二.=2,AF EF:.AB=2AF,作 AQ_L3 于点 Q,则 NAQE=90。，ZQAE=ZQEA=45,：.QE=QAfABQA=ABAF=9GP,ZQBA=ZABF,/.NBQABAF,.QB_QA AB AF2=空=2,QA AF QB=2Q

11、A，:.BE=3QA,g x 3QA-QA=SMBf：=30，QA=245,QB=46，/.BC=DC=AD=AB=QA。+QB?=J(2 6，+(4 右 1=10,：.DF=AF=-AB=5,2:.DG=-D F=-x 5 =,3 3 3:.CG=VOC2+DG2=102+(y)2=,DG/BC,.XJG H sgC H ,10.GH DG 3 1C77-BC-To _3 Ju 3”3 10 而 57104 4 3 2.c的 长 是 亚.A1 7、DwB图12.【解答】(1)证明：如 图1,四边形/WCD是正方形，:.AB=DC,ZB=ZC=90,，点 户是边8 c的中点，:.BP=CP,在

12、AABP和ADCP中，AB=DC为正方形，.ZBAD=90,ZE4F=45，.Za4E+ZZMF=45,ZBAG+ZBAE=45=/LEAF,.ZGAE=AEAF=45,在AAGE和AA/芯中，AG=AFADF=AABG(SAS)fAF=AG,ZDAF=ZBAG,四边形ABC。为正方形，:.ZBAD=90,ZE4F=45,ND4E+NZM/=45,/.ZBAG+Z+ZZMF=45,.-.ZG4E=ZE4F=45,在 AAGE 和 AAFE1中，AG=AF:.MDEAGE(SAS),*SgDE=SgGE 在 RtAABC 中，AB=AC,/.ZB=ZACB=45,由 旋 转 得 ZB=ZACG=

13、45,/.NECG=ZACB+ZACG=90,.AECG是直角三角形，S.CG=3 8口，CE，BDCE=4,S*CG=2 AABC的面积为12,AAD E=AAG E=X(12 2)=5.图24.【解答】(1)证明：如 图 1,四边形CEFG和四 边 形 是 正 方 形，BC=CD,CG=CE,ZBCD=NGCE=90。,:.BCG=ADCE(SAS)；(2)解：B G V D E,理由如下：如图，延长8G,ED交于点、H,四边形CEFG和四边形ABC。是正方形,:.BC=CD,CG=CE,ZBCD=ZGCE=90,:.ZBCG=ADCE,:.ABCG=ADCE(SAS),:.NBGC=ND

14、EC,ZBGC+ZHGC=180,.ZHGC+ZDEC=180,ZGHE+ZGCE=180,.-.ZGHE=90,:.B G D E；(3)解：连 接 加，GE,正方形A8C）的边长为5,正方形CE/，G 的边长为4,:.BD=542,GE=4夜,BH2+DH2=BD2,GH2+HE2=GE2,GH2+HD2=DG2,BH2+HE2=BE2,DG2+BE2=BD2+GE2=50+32=82.图2图25.【解答】解:（1）如图,二 四边形ABCD是矩形，AB=4,.ZB=ZC=90,CD=AB=4,:点 尸 是 C。的中点，：.CF=CD=2,2 四边形AEFG是正方形，/.ZAEF=90,AE

15、=EF,：.ZAEB+ZCEF=NAEB+NA4E=90,:NBAE=/CEF,.ABE/ECF(A4S),：.AB=EC=4,BE=CF=2,：.BC=BE+EC=6,即。的值为6；(2)如图，过点尸作bM_LA。于M,交BC于K,过点G作GMLAD于N,NEKF=/ANG=NB=90,四边形A8CD是矩形，A8=4,：,ZB=ZBAD=90,四边形A8KM是矩形，：.KM=AB=4,四边形AEFG是正方形，A ZEAG=ZAEF=ZAGF=90,AG=AE=EF,：.ZGAN+ZDAE=ZBAE+ZDAE=90,ZAEB+Z CEF=ZAEB+Z BAE=90 ,NBAE=NCEF=/GA

16、N,:NANG=NB=/EKF=90,：4ABEQXEKF4ANG(44S),工AB=EK=AN=4,BE=KF=NG,VFM1AD,GNA.AD,:GNFM,:AGNHsFM H,：.GN：FM=GH：FH=3：1,:.GN=FK=3FM,：.KM=KF+FM=4FM=4f：.FM=1,:.BE=KF=3；(3)当点尸在矩形ABC。内时，过点尸作于M,交8C于K,过点G作GNLAO于N,：.NEKF=NANG=NB=90,；四边形ABC。是矩形，AB=4,：.ZB=ZBAD=ZC=ZA)C=90,四边形A8KM是矩形，：.KM=AB=4,.四边形4EFG是正方形，A ZEAG=ZAEF=ZA

17、GF=90,AG=AE=EF,：.ZGAN+ZDAE ZBAE+ZDAE=90,ZAEB+Z CEF=AEB+ZBAE=90,二 ZBAE=NCEF=NGAN,:NANG=NB=NEKF=94,/ABEAEKF/ANG(AAS),：.AB=EK=AN=4,BE=KF=NG,设 F M=x,则 BE=KF=NG=4-x,：BC=a=S,:.CK=8-BE-EK=8-(4-x)-4=x,JFM1.AD,.NOMK=NC=NAOC=90,二四边形CCMK是矩形，:.DM=CK=x,：.DM=FM,：DF=2,:.DM=FM=版,：.BE=KF=NG=4-&,：FMLAD,GNLAD,：.GN/FM,

18、.GN，s bMH,：.GH：FH=GN：FM4-V2 22-1:V2当点尸在矩形ABC。外时，过 点 尸 作 产 于M,交于K,过点G作GN_LAD于MA/XABEAEKF/ANG(A4S),:.AB=EK=AN=4,BE=KF=NG,设尸M=x,则 8E=Kb=NG=4+x,VBC=a=8,：.CK=BE+EK-BC=4+x+4-8=x,/DMC=/CCK=NMOC=90,四边形CDMK是矩形，：.DM=CK=xf:DM=FM,VDF=2,:.DM=FM=,：.BE=KF=NG=4+版,VFM1AD,GNLAD,:GN FM,:.AGNHs4FMH,：.GH：FH=GN：FM=史 亚=2&

19、+l.V2综上，GH-.FH的值为2&-1或2&+1.G.图6.【解答】(1)证明：如 图1,过点/作FK_LCG于点K,；4=ZAEF=/FKE=90。,：.ZBAE+ZAEB=ZAEB+LFEK=90，:.ZBAE=ZFEK,AE=EF,:.MBE=AEKF(AAS),:.BE=FK,AB=EK=BC,:.BE=CK 91.CK=FK,.ZFC7C=45;(2)证明：DH/EF,AEVEF,:.D H AEfZHAE+ZDAE=ADAE+ZADH,:.ZBAE=ZADH,/DAH=NB=90。,AD=AB,:.ABE=ADAH(ASA),：.AH=BE,BH2+BE2=EH2,AH?+BH

20、?=HE?；(3)解：如图3,作AO_LAM交BC延长线于点O,连接EM,ZOAM=ZBAD=90,:.ZOAB=ZDAM，ZABO=ZADM=9AB=AD,:.M BO =ADM(ASA)f：.AO=A M，NA 所=90。，AE=EF,.A位是等腰直角三角形，.ZE4M=45,:.ZDAM+ZBAE=45f.ZOAB-ZBAE=45,/.ZOAE=ZM AEtAO=A M，AE=A E，:.O AE=MAESAS),:.OE=EM,由(2)知 AABE二拉却7,:.AH=BE,DH=AE,AE=EF,:.DH=EF,D H/E F，平行四边形E F D，：.DF=HE,设 A=8E=x,O

21、E=EM=2+x,C M=x+,在 RtACME 中，EM2=CE2+CM2,.-.(2+X)2=32+U+1)2,解得x=3,:.AH=BE=3,HE=yjBH2+BE2=3五,:.DF=HE=3y/2.图1图37.【解答】(1)证明：四边形OCHA是正方形，.-.ZCBG=90,CB=OC,旋转正方形OCBA到正方形CDEF,/.ZCDG=90,CD=OC,;.CD=BC,NCDG=/CBG=9Q。,NCD4=90。,在 RtACBG 和 RtACDG 中，jCG=CGCB=CD/.RtACBG=RtACDG(HL)；(2)解：N CG=45。时，HG=BG+OH,理由是：ZCOH=ZCD

22、H=90,在 RtACOH 和 RtACDH 中，jCH=CHCO=CD.RtACOH=RtACDH(HL)；:.OH=HD,/OCH=ZDOH,RtACBG 3 RtACDG,:.BG=DG,ZBCG=ZDCG,:.HG=HD+DG=BG+OH,AHCG=-ZOCB=1 x 90=45;2 2(3)解：在旋转过程中四边形岫。能为矩形,四边形OCB4是正方形，3(6,6),:.ZBAO=90,AB=OA=6,四边形隹或 是矩形，.-.DE=AB=6,BG=AG=3,:.X)=GE=AG=3,设贝=在用GA中，由勾股定理得：AG2+AH=HG2,即(6-X)2+32=(3+X)2,解得：x=2,

23、的坐标是(2,0).8.【解答】(1)解 点O是正方形4JCQ对角线的交点,二.AO3C是以BC为斜边的等腰直角三角形，:.OB2+OC2=BC2.AB=4,;.BC=4,OB=OC,B P 2OB2=16解得：OB=2 72.(2)证明：如图，延长OM交C于点N,M是(7)的中点，DM=CM.四 边 形 是 正 方 形，:.CDBC.OC BC,:.OCI/CD,：.4OCM=NNDM,ZOMC=ZNMD,在 OMC和 AMWD 中，40cM =4NDMCM=CMNOMC=NNMD:.OMC 二 NMD(ASA),:.OM=MN,.CM=OM.DCJLBC,【解答】(1)解：在正方形A8c。

24、中，A8=8,:A0=C0=0B=4近,5 E=2&,：.0E=2点,VAC1BD,/.ZCOE=90,C=VOC2-H3E2=V(4V2)2+(2V2)2=，由旋转得：CE=CF,ZECF=90,.CEF 的面积=*CE2=*X(2V 10)2=10；(2)证明：如图2,过 E 作 ENJ_4B于 N,作 EP_LBC于 P,；EPLBC,FMLCD,：.ZEPC=ZFMC=90,V ZBCD=ZECF=90,/PCE=/MCF,:CE=CF,:.ACPEQACMF(A4S),:.EP=FM,VEP1BC,ENLAB,BE 平分/ABC,：.EP=EN,:EN=FM,:FM1CD,:NFMG

25、=NENH=9U,.A3CD,/N H E=/M G F,:A N H E必MGF(44S),：NH=MG,：.BH+MG=BH+NH=BN,ABE N 是等腰直角三角形，:BN=yBE,2 _2 _(3)解：BH-MG=叵B E,理由是：2如图3,过七作EN_LA3于 M交 CG于尸,EP-LBC,FMLCD,AB/CD,J.EPLCD,：.ZEPC=ZFM C=90,V ZM=ZECF=90,/.ZECP+ZFCM=ZFCM+ZCFA/=90,；NECP=NCFM,:CE=CF,:.CPEQXFMC(A4S),:.PC=FM,DPE是等腰直角三角形，:PE=PD,：.EN=BN=PN+PE

26、=BC+PE=CD+PD=PC=FM,9：AB/CD,：.NH=/FGM,*：/ENH=NM=90,:AHNE0 4GMF(A4S),:.NH=MG,：.BH-MG=BH-NH=BN,BEN是等腰直角三角形,:.BN=BE,2：.BH-M G=B E.2H图2图310.【解答】(1)解：AC,0 8是正方形。ABC的对角线,.OA=AB,ZAOB=ZCAO=ABAC=45.AP是NBA。的角平分线，/.APAC=-ABAC=22.5,2/.ZOAP=ZCAO+APAC=67.5.在中，ZOPA=180-ZAOP-ZOAP=67.5,/.ZOAP=ZOPA=67.5,:.OA=OP.8(6,6)

27、,.OA=AB=6，:.OP=6;(2)证明：如图2,设 A P与 y 轴交于点G.四边形。4 3 c 是正方形，:.OA=OC,Z4OC=90.NCOP=60,/.ZAOP=150.由(1)知，OP=OA,NPOG=45。,0 8 是正方形的对角线，.ZP=15,ZAGO=ZP+ZPOG=60,ZPOG=ZBOC.NBOG=NCOP=60,.AFOG是等边三角形，:.OF=FG=OG.在 APOG和 ACO尸中，PO=CO ZPOG=NCOF,OG=OFPOG=COF(SAS),:.PG=C F,OF+CF=FG+PG=PF(3)解：如图3,过点5 作 8 Q L 0 E 于。，延长BQ交x 轴于8,OE是NDO8的平分线，点 8 与点B 关于OE对称，连接H M 交 OE于 V ,BN+MN=氏V+M N =BM.过点8 作？用于 M,交 OE于 N,则此时8V+M V最小.0 8 是边长为6 的正方形的对角线,OB=6 /2 ,由作图知，OB1=OB=6日由（2）易知，/B O B =3 0。，在曲中，BM=-OB=3y/2,即8 V +MV的最小值为3夜.2图2