2023学年高考模拟试卷河北石家庄高三（二模）-数学试题.pdf

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1、石家庄市2023届高中毕业年级教学质量检测（二）数学（时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用 2 B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区或的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记.一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集。=2,4,6,8 ,若集合M满足中

2、=2,8 ,则（）A.4 c A/B.6 c A/C.4 G A/D.6 史 A/2.已知复数z=l-i,则p+z 卜（）A.#B.VTO C.2V5 D.2V103.为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，乡政府采用按比例分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村人数之比是3：1 ,被抽到的参与环保调研的村民中，甲村的人数比乙村多8人，则参加调研的总人数是（）A.16 B.24 C.32 D.404.函数/（x）=x+矍 的 大 致 图 象 为（）5.已知非零向量茄满足口+可 斗 一 可，则 在 右 方 向 上 的 投 影 向 量 为（）A.a B.5 C.a D.石

3、6.中国古代许多著名数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.南宋数学家杨辉在 详解九章算法和 算法通变本末中，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是后项减前项之差组成的新数列是等差数列.现有一个“堆垛”，共5 0层，第一层2个小球，第二层5个小球，第三层10个小球，第四层17个小球，按此规律，则第5 0层小球的个数为（）A.2 4 00 B.2 4 01 C.2 5 00 D.2 5 017.已知圆台的上、下 底 面 圆 的 半 径 之 比 为 侧 面 积 为 9 万，在圆台的内部有一球。，该球与圆台的上、下底2

4、面及母线均相切，则球。的表面积为（）A 3 n B.5 乃 C.8 万 D.9 万8 .已知不少_ =0 在 xe（O,+e）上有两个不相等的实数根，则实数。的取值范围是（）B.0,C.l,e2e D.l,e2e I _ I ,二、多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.9 .在平面直角坐标系中，角。的顶点与坐标原点重合，始边与X 轴的非负半轴重合，终边经过点尸（如,X1 22,且 s i n t z =g x,则工的值可以是（）A.V2 B.1 C.O D.+210.先后两次掷一枚质

5、地均匀的骰子，事件A=”两次掷出的点数之和是6，事件8 =第一次掷出的点数是奇数”，事件。=两次掷出的点数相同”，则（）A.4 与 B 互斥 B.B 与 C 相互独立C.P（N）=：D.P（/C）=（11.已 知 抛 物 线=4x的 焦 点 为/，过点”（0,加）（加W0）分别向抛物线C 与圆厂;（x-l）2+/=i作切线，切点为分别为P,。（RQ不同于坐标原点），则下列判断正确的是（）A.M P/O Q B.MP1 MFC R。,尸三点共线 D.MF=O Q 12.定义：对于定义在区间/上的函数/（X）和正数若存在正数V，使得不等式|/（i）-/（x2）|4N 上 一/对任意为,七 e，恒成

6、立，则称函数/（X）在区间/上满足a阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（）A.函数/（X）=4 在 1,+8）上满足g 阶李普希兹条件.B.若函数/（x）=xnx在 l,e 上满足一阶李普希兹条件，则M的最小值为2.C.若函数f（x）在 a,b上满足M=k（O k i）的一阶李普希兹条件，且方程“X）=x在 区 间 口 上有解X。，则.是方程/（x）=x在区间 a,可 上的唯一解.D.若函数/（X）在 0,1 上满足=1的一阶李普希兹条件，且/=/（1）,则存在满足条件的函数/（x）,存在玉,七 0 ，使得|/（玉）一/（%）|=|.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.

7、某工厂生产的一批电子元件质量指标X 服从正态分布N（4,c r 2）,且尸（2 4X44）=0.4,若从这批电子原件中随机选取一件产品，则其质量指标小于2 的概率为.14 .已知 ct 0,j,s i n 力 0）的左、右焦点分别为四，鸟，过石的直线与C 交于产,。两点，若a-b-P F2 53 J.PE，且福=/，则椭圆C的离心率为.16 .长方体44GR中，A B =B C =l,AAt=2,平面“与。与直线4G的交点为M，现将口绕。4 旋转一周，在旋转过程中，动直线C M与底面44G。内任一直线所成最小角记为。，则s i n e 的最大值是.四、解答题：本题共6 小题，共 70分，解答应

8、写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 .（本小题满分10分）已知等比数列%的前项和为S”（e N*）,%q =30,S4=30.（1）求数列 a,的通项公式；（2）设数列 满足a=lo g22,1+1,求 数 列,的 前 项 和T.18 .（本小题满分12分）己知力3C内角4凤C所对的边长分别为a,b,c,2 7 2 a2c o s 5 +b2=2abcosC+a+c2.（1）求 3；（2）若口48。为锐角三角形，且 a =4,求口力台。面积的取值范围.1 9 .（本小题满分1 2 分）为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5 局 3胜制，每局都是单打模式，每队有5名

9、队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M 对3乙队的每名队员的胜率均为三，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为51.（注：比赛结果没有平42局）(1)求甲队明星队员用在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；(2)求甲乙两队比赛3 局，甲队获得最终胜利的概率；(3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员加上场的概率.2 0.(本小题满分1 2 分)如 图(1),在口4 8。中，A D =2 B D =4,A D LBD,将口4 8。沿

10、 3。折起，使得点力到达点尸处，如 图(2).(1)(2)(1)若 P C =6,求证：PD 上 BC；(2)若尸。=2 6，求平面POC与平面P8C夹角的余弦值.2 1.(本小题满分1 2 分)已知函数/(x)=a-e 2 x+i -2 e x+i+(e 2.(1)当a =l 时，求/(%)的极小值.(2)若/(X)有两个零点，求实数。的取值范围.22 2.(本小题满分1 2 分)已知双曲线：/一 2 _ =1/为 双曲线 的右焦点，过/作 直线/交双曲线 于348两点，过厂点且与直线4 垂直的直线6 交直线x 于尸点，直线OP交双曲线 于,N两点.若直线。的斜率为|,求网的值；(2)设直线

11、川,NN的斜率分别为匕的，鱼 区,且 A 内勺也大。，0+二 大。，记k+k2=u,kxk2=v,k3+kA=W,试探究V 与,卬满足的方程关系，并将V 用 W,表示出来.2023届石家庄市高中质量检测(二)数学答案一、单选题1-4 C B A A 5-8 B D C D二,多选题9.B C 1 0.B D 1 1.A B C 1 2.A B C三,填空题4亚 K 旧1 1 V 59 3 2 5四、解答题1 7.解：（1）设%的 公 比 为 由 题 知 q r l,则（/_ ）=30,3（1 -/1一430,解得 4 =2,%=2；%2（2）由（1）知 纥=lo g 2%”+i =2 +111

12、111bh+（2 +1）（2 +3）2 1 2 +1 2H+311 _ 13-5 57H-2H+1 2/7+3_2111 1 、213 2n+3jn,c 37tZ+C=471,71 4 42424=4,根 据 正 弦 定 理asiib4 sin。、“.（3万.4sin-AI 4sin47由面积公式可得S 0小=%四过=0，=4 c 3万s in-A14sinA3（2 +3）18.（1）根据余弦定理得，2血a%osB+b?=标+b?-c，+a?+&5B P 2及2cos3=2a*2.*co sB =2-r r ,B G（0,4）B=（2）方法一:71 E M C为锐角三角形=%0 A -2e 3

13、兀.兀0-A -t ai v t jr jr：A 1,.S AB C G（4,8）,故口力6 c面积的取值范围为（4,8）.方法二：7 T由 八 不。=4,画出如图所示三角形，B,Z 8 C 为锐角三角形，二 点/落 在线段44（端点40 H除外）上当时，用4 3 c =；x20 x20 =4当C4J.8C时，$/,B C=gx4x4=8.-.SG（4,8）19.（1）事件8=甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件4=甲队第J 局获胜”，其中，=1,2,3,4,4 相互独立.又甲队明星队员M 前四局不出场，故：。（4）=；，./=1，2,3,4,B=AA2A3A4+4444+44 44所以0（5

14、）=C；（2）设。为甲3局获得最终胜利，。为前3局甲队明星队员“上场比赛，则由全概率公式可知:P（C）=P（C|O）P（Z）+P（C l D）P（D）r2.J3 3因为每名队员上场顺序随机，故尸（。）=十 产=。（万）=l =g尸（。,p（a 5）=所以P（c）=3 3 1 2 x x 16 5 8 5138 03 3 P（D CP（CD）-P（C,Di）_1 6X5_9（3）尸（以人 乐 厂 一丽一一 寸 一 百8 02 0.J W：（1）平行四边形46 CQ中，AD1BD，可得8 Z）_ L 6C4D=2BD=4:.BC=4,DC=245又 PC=6P D2+D C2=P C2,.PD _

15、L D C又 PD LBD,BDcDC=D.尸 1平面8DCPD 1BC（2）方法一：如图，过点。做。尸 BC,且DF=BC,连接PE CT7,由题意可知，BD工PD,BD工DF,PD c DF=D：.BD1 平 面 PDF,;.BQLPF 所以 CF LPF：.PF=PC2-CF2=4又2 0 u平面BCFD,平面BCFD1平面PDF取。尸中点。，连接PO,由PF=PD，得 尸。.,.P O _ L 平 面 8CRD,且 尸0 =2 15过。点 作 垂直于。/，建立如图所示的空间直角坐标系，由 题 可得产（0,0,25（2,-2,0）,C（2,2,0）,Z）（0,-2,0）P C =（2,2

16、,-2 7 3）,5c=（2,4,0）,5 C =（0,4,0）设平面P8C的法向量为%=（x,y,z）,平面PDC的 法 向 量 为 =（x ,y ,z ）y gz=O 取前=(百,o j)歹二0f +y-J J z =0 r r同理 7,取x +2歹=07所以平面PD C与平面PBC夹角的余弦值为-.8方法二：由6 O1 8C,建立如图所示的空间直角坐标系4。=2 8。=45(0,0,0),C(4,0,0),(0,2,0)设尸(x,y,z)(其中z 0);P B =2后,P C =24 i,P D=4x2+y2+z2 2 0(x-4)2+/+z2=2 0 x2+(j-2)2+z2=16x=

17、2解得|y =2z=2A/3.P(2,2,2 码.-2,2,2 包=(-4,2,0),而=(2,2,2 0)麻=(4,0,0)-设平面PD C的法向量为m=(x J,z),平面PBC的法向量为 =(,_/,z )x+V+5/3 z =0-(Vs/取 加:1,2,-2x+y=0 3 J同理H +y，+8 z =0 取 3 =(0百j7所以平面PDC与平面PB C夹角的余弦值为-O方法三：过点3作B _ L P C交PC于E，过点。作D F工PC交P C于F 尸。C 中，由 PD=4,PC=DC=2#)可得 CGS/D P F =&.D F =,P F =5 5 5同理，在?3c中，BE二 座,C

18、E二 型,可 得EF=N 5 5 5而 南 +而+而=而.(BE+EF+FD)?=BD/.|S E|2+|EF|2+|FD|2+2豆 豆 育+2灰 而+2市 防 =|百方日n 64 4 6 4。8 5/5 8 5/5 /nrt rT A即一+2 x-x-x c o s (5 E,FZ)=45 5 5 5 5 /解得c o s/四五？闻 Fn”画BE-F同D 7w7所以平面PDC与平面PB C夹角的余弦值为-O2 1.解：(1)/(X)的定义域为(-8,+8),当 a=1 时，/()=2 e2 v+l-2 er+,+；e*-；(e、-1 )(4 ev+1+1),令/(x)=0,解得x =0.当X

19、变化时，/(x)J(x)的变化情况如表:X(-吗0)0(。,+8)r i)-0+/(x)单调递减-1-e2单调递增因此，当x =0时，/(X)有极小值，极小值为/(o)=；-e.(2)f(x)=2ae2x+-2ex+ex-(a eA-l)(4er+l+1),(i)若aWO,则/(x)0,所以/(x)在(-8,+e)单调递减,/(x)至多有一个零点.(i i)若a0,令/(x)=0,解得x =-l nn.当xe(-力,-l na)时，/,(x)0,所以/(x)在(一。,Ina)单调递减，在(-Ina,+8)单调递增.所以当x =Ina时，/(x)取得最小值，最小值为/(l na)=；-+g l

20、na.当。=e时，由于/(-l na)=0,故/(x)只有一个零点；当a e(e,+s)时，由于;一色+g l na 0,即/(-l na)0,故/(x)没有零点；当a e(0,e)时，-+Ina 0 ,即/(-l na)0.当0 a -2,且/(一2)=5+5+1-2 0,故/(x)在(-8,-Ina)有一个零点.八 2e 4e3-4e2 1.2e 1 2e .*/In =-i-e In,l n -I na I a J a 2 a a先证明当x0时，欣W x-l,设加(x)=h w (x-1),贝=-J 当0 x 0,当x l 时，加(x)0时，Inx W x-l.(2 e)4e3-4 e2

21、 1 2e 4 e3-4 e2 1 (2 e 八 4e3-4 e2-e 1：.f In-=-+e In -+e-1 =-+e+-0(aj a 2 a a 2 1 a J a 2因此/(x)在(-Ina,+o o)有一个零点.综上，。的取值范围为(O,e).2 2.解：(1)设/(%,%),8($,反)(13、1由题意可知，。点坐标为,则直线4的斜率为与=-5，所以直线4的斜率为4=21 2 4/2故直线4的方程为：y =2（x 2）；y-2（x-2）联立直线4和曲线 的方程：Y2=X2-16X+19=0,此方程的两根即为工,x -=1I 3由韦达定理可得：/+工=1 6,%匕=1 9所以：|T

22、4S|=J1 +炉 J（x（）+x；）-4 x0 x0=3 0（2）设力（玉）,乂）,（国,必）,N（-X”一%），则k=J,因为直线右 垂直直线/”故4/一2的直线方程为=一（x 2）,代入x =；,/C i2.可得点的坐标p 13)所以:3 3(X0-2)守 f-z-%2冗 2y01 12 x0 2 Xn3%-6 -2 y；(l-2 x0)y02因为点Z（X o，%）在双曲线上，故J。满足双曲线方程，即其一方 =ln y；=3%；3.所以23 x（）6 一 3 x（）（1 -2%）为 为所以+幺=+/=.号3X(M2)=69二6衿3与一2 为(x0-2)y0(x0-2)y0kJ?V o 3

23、x _x0-2 y0 x0-2又直线OP的斜率*,=yP =丁3,联立直线O P与双曲线C的方程:xp 心3y=x?=代 一3);=0,x2 一 匕=13此方程的两根即为k；_/X”-占，所以后42-3 12x0-1 5，一6 X|2 2-)x0y0所以=+3玛=石一 毛 一 玉一X o 七一玉)苞一看12%-15 12y(2xj 3XQ+1)12%(2x：3x()+1)4yo(2x0 l)(x0 1)K-(12x(,-15)x；-3(4xj-6x：+l)(2x0-l)(2%o-2x0-1)即：/+/=；?(；-.2XQ 2,XQ-1所以：(43 +4 4)(仆 +&)=12(=2左 左2 +6,工0 2即：v=uw-3.