二阶矩阵二阶矩阵与平面向量的乘法二阶矩阵与线性变换高等教育微积分_高等教育-大学课件.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。一、二阶矩阵 1.矩阵的概念 OP (2,3)，将OP的坐标排成一列，并简记为2 3 2 3 某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：初赛 复赛 甲 80 90 乙 86 88 概念一：象2 3 80 9086 88 23324m的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通 常 用 大 写 的 拉 丁 字 母A、B、C 表 示，横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列.名称介绍：上述三个矩阵分别是 21 矩阵，22 矩阵（二阶矩阵），23 矩阵，注意行的个数在前。矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩

2、阵，称为AB。行矩阵：a11,a12（仅有一行）列矩阵：a11 a21（仅有一列）向量a（x,y），平面上的点 P（x,y）都可以看成行矩阵,x y或列矩阵xy，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量xy的形式。练习 1：1.已知243xA,21zyB，若 A=B，试求zyx,2.设23xAy，2mnxyBxy mn，若 A=B，求 x,y,m,n的值。概念二：由 4 个数 a,b,c,d排成的正方形数表abc d称为二阶矩阵。a,b,c,d称为矩阵的元素。零矩阵：所有元素均为 0，即0 00 0，记为 0。二阶单位矩阵：1 00 1，记为 E2.二、二阶矩阵与平面向量的乘法 定 义：规 定

3、二 阶 矩 阵 A=abc d，与 向 量xy的 乘 积 为2 3 m 3 2 4 y x 2 3 O P(2,3)2 3 80 90 86 88 231,3242xymzxyz简记为23324m 学习必备 欢迎下载 axbyAcxdy，即Aabc dxyaxbycxdy 练习 2：1.（1）131021（2）311021 2.2101yx=11，求yx 三、二阶矩阵与线性变换 1.旋转变换 问题 1:P（x,y）绕原点逆时针旋转 180o得到 P(x,y),称 P为 P在此旋转变换作用下的象。其结果为xxyy ，也可以表示为00 xxyyxy ，即xy 1001yxxy 怎么算出来的？问题

4、2.P（x,y）绕原点逆时针旋转 30o得到 P(x,y),试完成以下任务写出象 P；写出这个旋转变换的方程组形式；写出矩阵形式.问题 3.把问题 2 中的旋转 30o改为旋转角，其结果又如何？2.反射变换 定义：把平面上任意一点 P 对应到它关于直线l的对称点 P的线性变换叫做关于直线l的反射。研究：P（x,y）关于 x 轴的反射变换下的象 P(x,y)的坐标公式与二阶矩阵。3.伸缩变换 定义：将每个点的横坐标变为原来的1k倍，纵坐标变为原来的2k倍，（1k、2k均不为 0），这样的几何变换为伸缩变换。试分别研究以下问题：.将平面内每一点的纵坐标变为原来的 2 倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标

5、公式与二阶矩阵.30o 标排成一列并简记为某电视台举办歌唱比赛甲乙两名选手初复赛成绩如下初赛复赛甲乙简记为概念一列矩阵向量平面上的点都可以看成行矩阵仅有一列列矩阵在本书中规定所有的平面向量均写成列向量或的形式练习已若试求设若求有元素均为即阵通常用大写的拉丁字母表示横排叫做矩阵的行竖排叫做矩阵的列名称介绍上述三个矩阵分别是矩阵矩阵二阶矩阵矩阵二阶单位矩阵记为注意行的个数在前矩阵相等行数列数相等对应的元素也相等的两个矩阵称为行矩中的旋转改为旋转角其结果又如何求三二阶矩阵与线性变换旋转变换问题绕原点逆时针旋转得到称为在此旋转变换作用下的象其结果为也可以表示为即怎么算出来的问题绕原点逆时针旋转得到试完

6、成以下任务写出象写出这个旋转变学习必备 欢迎下载.将每个点的横坐标变为原来的1k倍，纵坐标变为原来的2k倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.4.投影变换 定义：将平面上每个点 P对应到它在直线l上的投影 P（即垂足），这个变换称为关于直线l的投影变换。研究：P（x,y）在 x 轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。5.切变变换 定义：将每一点 P（x,y）沿着与 x 轴平行的方向平移ky个单位，称为平行于 x 轴的切变变换。将每一点 P（x,y）沿着与 y 轴平行的方向平移kx个单位，称为平行于 y 轴的切变变换。研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。练习：P10 1.2.3.4 四、简单

7、应用 1.设矩阵 A=1 001，求点 P(2,2)在 A所对应的线性变换下的象。练习：P13 1.2.3.4.5 标排成一列并简记为某电视台举办歌唱比赛甲乙两名选手初复赛成绩如下初赛复赛甲乙简记为概念一列矩阵向量平面上的点都可以看成行矩阵仅有一列列矩阵在本书中规定所有的平面向量均写成列向量或的形式练习已若试求设若求有元素均为即阵通常用大写的拉丁字母表示横排叫做矩阵的行竖排叫做矩阵的列名称介绍上述三个矩阵分别是矩阵矩阵二阶矩阵矩阵二阶单位矩阵记为注意行的个数在前矩阵相等行数列数相等对应的元素也相等的两个矩阵称为行矩中的旋转改为旋转角其结果又如何求三二阶矩阵与线性变换旋转变换问题绕原点逆时针旋转

8、得到称为在此旋转变换作用下的象其结果为也可以表示为即怎么算出来的问题绕原点逆时针旋转得到试完成以下任务写出象写出这个旋转变学习必备 欢迎下载【第一讲.作业】1.关于 x 轴的反射变换对应的二阶矩阵是 2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转 120o的旋转变换对应的二阶矩阵是 3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是 4.平面内的一种线性变换使抛物线2yx的焦点变为直线 y=x 上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是 5.平面上一点 A先作关于 x 轴的反射变换，得到点 A1,在把 A1绕原点逆时针旋转 180o，得到点 A2，若存在一种反射变换同样可以使 A变为A2

9、，则该反射变换对应的二阶矩阵是 6.P（1，2）经过平行于 y 轴的切变变换后变为点 P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为 7.设121xAxy，2242zxBx，且 A=B.则 x 8.在平面直角坐标系中，关于直线 y=-x 的正投影变换对应的矩阵为 9.在矩阵1221A对应的线性变换作用下，点 P(2,1)的像的坐标为 10.已知点 A（2，1），B（2，3），则向量AB在矩阵11202对应的线性变换下得到的向量坐标为 11.向量a在矩阵1201A的作用下变为与向量11 平行的单位向量，则a 12.已知15234A，a12 ，b34，设ab，ab，求A，A；13.已知101 2A

10、，a11 ，b1x，若Aa与Ab的夹角为 135o，求 x.14.一种线性变换对应的矩阵为101 0。若点 A在该线性变换作用下的像为（5，5）,求电 A的坐标；解释该线性变换的几何意义。15.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为01102。求点 A（1/5,3）在该变换作用下的像；圆221xy上任意一点00(,)P xy在该变换作用下的像。标排成一列并简记为某电视台举办歌唱比赛甲乙两名选手初复赛成绩如下初赛复赛甲乙简记为概念一列矩阵向量平面上的点都可以看成行矩阵仅有一列列矩阵在本书中规定所有的平面向量均写成列向量或的形式练习已若试求设若求有元素均为即阵通常用大写的拉丁字母表示横排

11、叫做矩阵的行竖排叫做矩阵的列名称介绍上述三个矩阵分别是矩阵矩阵二阶矩阵矩阵二阶单位矩阵记为注意行的个数在前矩阵相等行数列数相等对应的元素也相等的两个矩阵称为行矩中的旋转改为旋转角其结果又如何求三二阶矩阵与线性变换旋转变换问题绕原点逆时针旋转得到称为在此旋转变换作用下的象其结果为也可以表示为即怎么算出来的问题绕原点逆时针旋转得到试完成以下任务写出象写出这个旋转变学习必备 欢迎下载 答 案：1.1001 2.13223122 3.360oR4.00aa 5.1 0016.2xxyxy 7.1 8.11221122 9.（0，5）10.（2，8）11.2222，2222 12.718、194 13.

12、2/3 14.(5,y)15.1532 ,2ooxy 标排成一列并简记为某电视台举办歌唱比赛甲乙两名选手初复赛成绩如下初赛复赛甲乙简记为概念一列矩阵向量平面上的点都可以看成行矩阵仅有一列列矩阵在本书中规定所有的平面向量均写成列向量或的形式练习已若试求设若求有元素均为即阵通常用大写的拉丁字母表示横排叫做矩阵的行竖排叫做矩阵的列名称介绍上述三个矩阵分别是矩阵矩阵二阶矩阵矩阵二阶单位矩阵记为注意行的个数在前矩阵相等行数列数相等对应的元素也相等的两个矩阵称为行矩中的旋转改为旋转角其结果又如何求三二阶矩阵与线性变换旋转变换问题绕原点逆时针旋转得到称为在此旋转变换作用下的象其结果为也可以表示为即怎么算出来的问题绕原点逆时针旋转得到试完成以下任务写出象写出这个旋转变