同济大学高数上册知识点研究生考试专业课_研究生考试-专业课.pdf

《同济大学高数上册知识点研究生考试专业课_研究生考试-专业课.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学高数上册知识点研究生考试专业课_研究生考试-专业课.pdf（12页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、高等数学上册知识点 一、函数与极限（一）函数 1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数)(xf在0 x连续 )()(lim00 xfxfxx 第一类：左右极限均存在.间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在.无穷间断点、振荡间断点 5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.（二）极限 1、定义 1）数列极限 axNnNaxnnn ,0lim 2）函数极限 Axfxxx

2、Axfxx)(0 ,0 ,0)(lim00时，当 左极限：)(lim)(00 xfxfxx 右极限：)(lim)(00 xfxfxx)()()(lim000 xfxfAxfxx存在 2、极限存在准则 1）夹逼准则：1）)(0nnzxynnn 2）azynnnnlimlim axnnlim 2）单调有界准则：单调有界数列必有极限.3、无穷小（大）量 1）定义：若0lim则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量.2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小 Th1 )(o;Th2 limlim lim,存在，则（无穷小代换）4、求极限的方法 1）单调有界准则；2）夹逼准则；3）极限

3、运算准则及函数连续性；4）两个重要极限：a)1sinlim0 xxx b)exxxxxx)11(lim)1(lim10 5）无穷小代换：（0 x）a)xxxxxarctanarcsintansin b)221cos1xx c)xex1 （axaxln1）初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数双曲函数反双曲函数函数的连续性与间断点连续函数在第一类左右极限均存在间断点可去间断点跳跃间断点第二类左右极限至少有一个不存在无穷间断点振荡间断点闭区间上连极限存在极限存在准则夹逼准则单调有界准则单调有界数列必有极限无穷小大量则称为无穷小量若定义若则称为无穷大量无穷小的阶高阶无穷小同阶无穷小等价无穷

4、小阶无穷小存在则无穷小代换求极限的方法单调有界准则夹逼准则在点几何意义处的切线的斜率可导与连续的关系求导的方法导数定义基本公式四则运算复合函数求导链式法则隐函数求导数参数方程求导对数求导法高阶导数定义公式二微分定义可微与可导的关系可微可导且其中与无关三微分中值d)xx)1ln(（axxaln)1(log）e)xx1)1(二、导数与微分（一）导数 1、定义：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 左导数：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 右导数：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 函数)(xf在0 x点可导)()(00 xfxf 2、几何意义：)(0 xf

5、 为曲线)(xfy 在点)(,00 xfx处的切线的斜率.3、可导与连续的关系：4、求导的方法 1）导数定义；2）基本公式；3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）；5）隐函数求导数；6）参数方程求导；7）对数求导法.5、高阶导数 1）定义：dxdydxddxyd22 初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数双曲函数反双曲函数函数的连续性与间断点连续函数在第一类左右极限均存在间断点可去间断点跳跃间断点第二类左右极限至少有一个不存在无穷间断点振荡间断点闭区间上连极限存在极限存在准则夹逼准则单调有界准则单调有界数列必有极限无穷小大量则称为无穷小量若定义若则称为无穷大量无穷小的阶高阶无穷小

6、同阶无穷小等价无穷小阶无穷小存在则无穷小代换求极限的方法单调有界准则夹逼准则在点几何意义处的切线的斜率可导与连续的关系求导的方法导数定义基本公式四则运算复合函数求导链式法则隐函数求导数参数方程求导对数求导法高阶导数定义公式二微分定义可微与可导的关系可微可导且其中与无关三微分中值2）Leibniz 公式：nkknkknnvuCuv0)()()(（二）微分 1）定义：)()()(00 xoxAxfxxfy，其中A与x无关.2）可微与可导的关系：可微可导，且dxxfxxfdy)()(00 三、微分中值定理与导数的应用（一）中值定理 1、Rolle 罗尔定理：若函数)(xf满足：1）,)(baCxf；

7、2）),()(baDxf；3）)()(bfaf；则0)(),(fba使.2、Lagrange拉格朗日中值定理：若函数)(xf满足：1）,)(baCxf；2）),()(baDxf；则)()()(),(abfafbfba使.3、Cauchy柯西 中值定理：若函数)(),(xFxf满足：1）,)(),(baCxFxf；2）),()(),(baDxFxf；3）),(,0)(baxxF 则)()()()()()(),(FfaFbFafbfba使 （二）洛必达法则（三）Taylor 公式（四）单调性及极值 1、单调性判别法：,)(baCxf，),()(baDxf，则若0)(xf，则)(xf单调增加；则若0

8、)(xf，则)(xf单调减少.初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数双曲函数反双曲函数函数的连续性与间断点连续函数在第一类左右极限均存在间断点可去间断点跳跃间断点第二类左右极限至少有一个不存在无穷间断点振荡间断点闭区间上连极限存在极限存在准则夹逼准则单调有界准则单调有界数列必有极限无穷小大量则称为无穷小量若定义若则称为无穷大量无穷小的阶高阶无穷小同阶无穷小等价无穷小阶无穷小存在则无穷小代换求极限的方法单调有界准则夹逼准则在点几何意义处的切线的斜率可导与连续的关系求导的方法导数定义基本公式四则运算复合函数求导链式法则隐函数求导数参数方程求导对数求导法高阶导数定义公式二微分定义可微与可导

9、的关系可微可导且其中与无关三微分中值2、极值及其判定定理：a)必要条件：)(xf在0 x可导，若0 x为)(xf的极值点，则0)(0 xf.b)第一充分条件：)(xf在0 x的邻域内可导，且0)(0 xf，则若当0 xx 时，0)(xf，当0 xx 时，0)(xf，则0 x为极大值点；若当0 xx 时，0)(xf，当0 xx 时，0)(xf，则0 x为极小值点；若在0 x的两侧)(xf 不变号，则0 x不是极值点.c)第二充分条件：)(xf在0 x处二阶可导，且0)(0 xf，0)(0 xf，则 若0)(0 xf，则0 x为极大值点；若0)(0 xf，则0 x为极小值点.3、凹凸性及其判断，拐

10、点 1）)(xf在区间I上连续，若2)()()2(,212121xfxfxxfIxx，则称)(xf在区间I 上的图形是凹的；若2)()()2(,212121xfxfxxfIxx，则称)(xf在区间I 上的图形是凸的.2）判定定理：)(xf在,ba上连续，在),(ba上有一阶、二阶导数，则 a)若0)(),(xfbax,则)(xf在,ba上的图形是凹的；b)若0)(),(xfbax,则)(xf在,ba上的图形是凸的.3）拐点：设)(xfy 在区间I上连续，0 x是)(xf的内点，如果曲线)(xfy 经过点)(,(00 xfx时，曲线的凹凸性改变了，则称点)(,(00 xfx为曲线的拐点.（五）不

11、等式证明 1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值）.（六）方程根的讨论 初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数双曲函数反双曲函数函数的连续性与间断点连续函数在第一类左右极限均存在间断点可去间断点跳跃间断点第二类左右极限至少有一个不存在无穷间断点振荡间断点闭区间上连极限存在极限存在准则夹逼准则单调有界准则单调有界数列必有极限无穷小大量则称为无穷小量若定义若则称为无穷大量无穷小的阶高阶无穷小同阶无穷小等价无穷小阶无穷小存在则无穷小代换求极限的方法单调有界准则夹逼准则在点几何意义处的切线的斜率可导与连续的关系求导的方法导数定义基本公式四则运算复合函数求导链式法则隐函数

12、求导数参数方程求导对数求导法高阶导数定义公式二微分定义可微与可导的关系可微可导且其中与无关三微分中值1、连续函数的介值定理；2、Rolle 定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性.（七）渐近线 1、铅直渐近线：)(limxfax，则ax 为一条铅直渐近线；2、水平渐近线：bxfx)(lim，则by 为一条水平渐近线；3、斜渐近线：kxxfx)(limbkxxfx)(lim存在，则bkxy为一条斜 渐近线.（八）图形描绘 四、不定积分（一）概念和性质 1、原函数：在区间I上，若函数)(xF可导，且)()(xfxF，则)(xF称为)(xf的一个原函数.2、不定积分：在区间I上，函数)(

13、xf的带有任意常数的原函数称为)(xf在区间I上的不定积分.3、基本积分表（P188，13个公式）；4、性质（线性性）.（二）换元积分法 1、第一类换元法（凑微分）：)()(d)()(xuduufxxxf 初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数双曲函数反双曲函数函数的连续性与间断点连续函数在第一类左右极限均存在间断点可去间断点跳跃间断点第二类左右极限至少有一个不存在无穷间断点振荡间断点闭区间上连极限存在极限存在准则夹逼准则单调有界准则单调有界数列必有极限无穷小大量则称为无穷小量若定义若则称为无穷大量无穷小的阶高阶无穷小同阶无穷小等价无穷小阶无穷小存在则无穷小代换求极限的方法单调有界准

14、则夹逼准则在点几何意义处的切线的斜率可导与连续的关系求导的方法导数定义基本公式四则运算复合函数求导链式法则隐函数求导数参数方程求导对数求导法高阶导数定义公式二微分定义可微与可导的关系可微可导且其中与无关三微分中值 2、第二类换元法（变量代换）：)(1d)()()(xttttfdxxf（三）分部积分法：vduuvudv（四）有理函数积分 1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、定积分（一）概念与性质：1、定义：niiibaxfdxxf10)(lim)(2、性质：（7条）性质 7（积分中值定理）函数)(xf在区间,ba上连续，则,ba，使)()(abfdxxfba （平均值：

15、abdxxffba)()(）（二）微积分基本公式（N L公式）1、变上限积分：设xadttfx)()(，则)()(xfx 推广：)()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxx 2、N L公式：若)(xF为)(xf的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba（三）换元法和分部积分 初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数双曲函数反双曲函数函数的连续性与间断点连续函数在第一类左右极限均存在间断点可去间断点跳跃间断点第二类左右极限至少有一个不存在无穷间断点振荡间断点闭区间上连极限存在极限存在准则夹逼准则单调有界准则单调有界数列必有极限无穷小大量则称为无穷小量若定义若则称为无穷

16、大量无穷小的阶高阶无穷小同阶无穷小等价无穷小阶无穷小存在则无穷小代换求极限的方法单调有界准则夹逼准则在点几何意义处的切线的斜率可导与连续的关系求导的方法导数定义基本公式四则运算复合函数求导链式法则隐函数求导数参数方程求导对数求导法高阶导数定义公式二微分定义可微与可导的关系可微可导且其中与无关三微分中值1、换元法：tttfdxxfbad)()()(2、分部积分法：bababavduuvudv（四）反常积分 1、无穷积分：tatadxxfdxxf)(lim)(bttbdxxfdxxf)(lim)(00)()()(dxxfdxxfdxxf 2、瑕积分：btatbadxxfdxxf)(lim)(（a为

17、瑕点）tabtbadxxfdxxf)(lim)(（b为瑕点）两个重要的反常积分：1)1 ,11 ,d1ppapxxpap 2)1 ,1 ,1)()(d)(d1qqqabxbxaxxqbaqbaq 六、定积分的应用（一）平面图形的面积 初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数双曲函数反双曲函数函数的连续性与间断点连续函数在第一类左右极限均存在间断点可去间断点跳跃间断点第二类左右极限至少有一个不存在无穷间断点振荡间断点闭区间上连极限存在极限存在准则夹逼准则单调有界准则单调有界数列必有极限无穷小大量则称为无穷小量若定义若则称为无穷大量无穷小的阶高阶无穷小同阶无穷小等价无穷小阶无穷小存在则无穷

18、小代换求极限的方法单调有界准则夹逼准则在点几何意义处的切线的斜率可导与连续的关系求导的方法导数定义基本公式四则运算复合函数求导链式法则隐函数求导数参数方程求导对数求导法高阶导数定义公式二微分定义可微与可导的关系可微可导且其中与无关三微分中值1、直角坐标：badxxfxfA)()(12 2、极坐标：dA)()(212122 （二）体积 1、旋转体体积：a)曲边梯形xbxaxxfy,),(轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积：baxdxxfV)(2 b)曲边梯形xbxaxxfy,),(轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体积：baydxxxfV)(2 （柱壳法）2、平行截面面积已知的立体：badxxAV)(（

19、三）弧长 初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数双曲函数反双曲函数函数的连续性与间断点连续函数在第一类左右极限均存在间断点可去间断点跳跃间断点第二类左右极限至少有一个不存在无穷间断点振荡间断点闭区间上连极限存在极限存在准则夹逼准则单调有界准则单调有界数列必有极限无穷小大量则称为无穷小量若定义若则称为无穷大量无穷小的阶高阶无穷小同阶无穷小等价无穷小阶无穷小存在则无穷小代换求极限的方法单调有界准则夹逼准则在点几何意义处的切线的斜率可导与连续的关系求导的方法导数定义基本公式四则运算复合函数求导链式法则隐函数求导数参数方程求导对数求导法高阶导数定义公式二微分定义可微与可导的关系可微可导且其中

20、与无关三微分中值1、直角坐标：badxxfs2)(1 2、参数方程：dttts22)()(3、极坐标：ds22)()(七、微分方程（一）概念 1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二）变量可分离的方程 dxxfdyyg)()(，两边积分dxxfdyyg)()(（三）齐次型方程)(xydxdy，设xyu，则dxduxudxdy；或)(yxdydx，设yxv，则dydvyvdyd

21、x（四）一阶线性微分方程)()(xQyxPdxdy 初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数双曲函数反双曲函数函数的连续性与间断点连续函数在第一类左右极限均存在间断点可去间断点跳跃间断点第二类左右极限至少有一个不存在无穷间断点振荡间断点闭区间上连极限存在极限存在准则夹逼准则单调有界准则单调有界数列必有极限无穷小大量则称为无穷小量若定义若则称为无穷大量无穷小的阶高阶无穷小同阶无穷小等价无穷小阶无穷小存在则无穷小代换求极限的方法单调有界准则夹逼准则在点几何意义处的切线的斜率可导与连续的关系求导的方法导数定义基本公式四则运算复合函数求导链式法则隐函数求导数参数方程求导对数求导法高阶导数定义公

22、式二微分定义可微与可导的关系可微可导且其中与无关三微分中值用常数变易法或用公式：CdxexQeydxxPdxxP)()()(（五）可降阶的高阶微分方程 1、)()(xfyn，两边积分n次；2、),(yxfy（不显含有y），令py，则py；3、),(yyfy（不显含有x），令py，则dydppy （六）线性微分方程解的结构 1、21,yy是齐次线性方程的解，则2211yCyC也是；2、21,yy是齐次线性方程的线性无关的特解，则2211yCyC是方程的通解；3、*2211yyCyCy为非齐次方程的通解，其中21,yy为对应齐次方程的线性无关的解，*y非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程

23、 二阶常系数齐次线性方程：0qyypy 特征方程：02qprr，特征根：21,rr 特征根 通 解 实根 21rr xrxreCeCy2121 221prr xrexCCy1)(21 ir,21)sincos(21xCxCeyx （八）常系数非齐次线性微分方程 )(xfqyypy 1、)()(xPexfmx 初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数双曲函数反双曲函数函数的连续性与间断点连续函数在第一类左右极限均存在间断点可去间断点跳跃间断点第二类左右极限至少有一个不存在无穷间断点振荡间断点闭区间上连极限存在极限存在准则夹逼准则单调有界准则单调有界数列必有极限无穷小大量则称为无穷小量若定

24、义若则称为无穷大量无穷小的阶高阶无穷小同阶无穷小等价无穷小阶无穷小存在则无穷小代换求极限的方法单调有界准则夹逼准则在点几何意义处的切线的斜率可导与连续的关系求导的方法导数定义基本公式四则运算复合函数求导链式法则隐函数求导数参数方程求导对数求导法高阶导数定义公式二微分定义可微与可导的关系可微可导且其中与无关三微分中值设特解)(*xQexymxk，其中 是重根是一个单根不是特征根,k210 2、xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(设特解xxRxxRexymmxksin)(cos)()2()1(*，其中 ,maxnlm，是特征根不是特征根iik ,1 ,0 初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数双曲函数反双曲函数函数的连续性与间断点连续函数在第一类左右极限均存在间断点可去间断点跳跃间断点第二类左右极限至少有一个不存在无穷间断点振荡间断点闭区间上连极限存在极限存在准则夹逼准则单调有界准则单调有界数列必有极限无穷小大量则称为无穷小量若定义若则称为无穷大量无穷小的阶高阶无穷小同阶无穷小等价无穷小阶无穷小存在则无穷小代换求极限的方法单调有界准则夹逼准则在点几何意义处的切线的斜率可导与连续的关系求导的方法导数定义基本公式四则运算复合函数求导链式法则隐函数求导数参数方程求导对数求导法高阶导数定义公式二微分定义可微与可导的关系可微可导且其中与无关三微分中值