数列易错题带答案中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、 1若数列、的通项公式分别是，且，对任意恒成立，则常数的取值范围是（）A.B.C.D.2已知等差数列an的前n项和是，则使成立的最小正整数为（）.2010 C 3在数列中，则使成立的值是（）.22 C 4已知等比数列na满足0na，1,2,n L，且25252(3)nnaan，且当1n 时，2123221logloglognaaa L（）A(21)nn B2(1)n C2n D2(1)n 5已知na为等差数列，1a+3a+5a=105，246aaa=99，以nS表示na的前n项和，则使得nS达到最大值的n是 A21 B20 C19 D18 6已知数列的通项公式是,其前 n 项和是,则对任意的（

2、其中*），的最大值是 .7设等差数列na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=。8设等比数列na的公比12q，前n项和为nS，则44Sa 9 已知数列na满足：1a m（m为正整数），1,231,nnnnnaaaaa当 为偶数时，当 为奇数时。若6a 1，则 m所有可能的取值为_。10如果能将一张厚度为的报纸对拆,再对拆.对拆 50 次后,报纸的厚度是多少你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗(已知地球与月球的距离约为84 10米)11已知的展开式中前三项的系数成等差数列（1）求n的值；（2）求展开式中系数最大的项 12已知数列 的前项和,（1）求数列的通项公式；（2）设,

3、且，求.13设数列的前 n 项和为为等比数列，且（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前 n 项和。14数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，且，求证：对任意实数（是常数，271828）和任意正整数，总有 2；（3）正数数列中，求数列中的最大项。15数列na前 n 项和ns且1111,3nnaas。（1）求234,aaa的值及数列na的通项公式。16等差数列na的首项10a，前 n 项和ns，当lm时，mlss。问 n 为何值时ns最大 17数列na中，11a，22a，数列1nnaa是公比为q（0q）的等比数列。（）求使3

4、2211nnnnnnaaaaaa成立的q的取值范围；（）求数列na的前n2项的和nS2 18求nS321121111n3211 19设无穷等差数列an的前 n 项和为 Sn.()若首项132a，公差1d，求满足2)(2kkSS的正整数 k；()求所有的无穷等差数列an，使得对于一切正整数 k 都有2)(2kkSS成立 20已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于.（）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（）证明：，且；（）证明：当时，成等比数列.在数列中则使成立的值是已知等比数列满足且且当时已知为等差数列以表示的前项和则使得达到最大值的是已知数列的通项公式是其前项和是则对任意的其

5、中的最大值是设等差数列的前项和为若则设等比数列的公比前项和为则已知报纸的厚度是多少你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗已知地球与月球的距离约为米已知的展开式中前三项的系数成等差数列求的值求展开式中系数最大的项已知数列的前项和求数列的通项公式设且求设数列的差数列求数列的通项公式设数列的前项和为且求证对任意实数是常数和任意正整数总有正数数列中求数列中的最大项数列等差数列前项和且求的值及数列的通项公式的首项前项和当时问为何值时最大数列中数列是公比为的等比数列参考答案 1A【解析】【错解分析】此题容易错在不知道讨论奇偶性，以及是偶数时，要从 2 开始。【正解】当是奇数时，由得，；当是偶数

6、时，由得，因此常数的取值范围是.2B【解析】【错解分析】此题容易错选为 A，C，D，错误原因主要是不能准确的根据等差数列求和公式的性质求出且。【正解】设数列的公差是，则，且，且，因此使成立的最小正整数n=2010，选 B.3A【解析】【错解分析】此题容易错选为 B，错误原因是没有理解该数列为等差数列。【正解】由已知得，=0，因此，选 A.4C【解析】由25252(3)nnaan得：6518532,2.aaaa 再由0na 得：33442,2.aa，解得：12,2aq，所以2nna，221log21nan，22123221(121)logloglog2nnnaaan L 5B【解析】由1a+3a

7、+5a=105 得33105,a 即335a，由246aaa=99 得4399a 即433a ，2d ，4(4)(2)412naann ，由100nnaa得20n，选 B 610【解析】【错解分析】此题容易错选认为求最大项。【正解】由得，即在数列中，前三项以及从第 9 项起后的各项均为负且，因此的最大值是.724【解析】naQ是等差数列,由972S,得599,Sa58a 2492945645()()324aaaaaaaaaa 815【解析】对于4431444134(1)1,151(1)aqsqsaa qqaqq 在数列中则使成立的值是已知等比数列满足且且当时已知为等差数列以表示的前项和则使得达

8、到最大值的是已知数列的通项公式是其前项和是则对任意的其中的最大值是设等差数列的前项和为若则设等比数列的公比前项和为则已知报纸的厚度是多少你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗已知地球与月球的距离约为米已知的展开式中前三项的系数成等差数列求的值求展开式中系数最大的项已知数列的前项和求数列的通项公式设且求设数列的差数列求数列的通项公式设数列的前项和为且求证对任意实数是常数和任意正整数总有正数数列中求数列中的最大项数列等差数列前项和且求的值及数列的通项公式的首项前项和当时问为何值时最大数列中数列是公比为的等比数列94 5 32【解析】（1）若1am为偶数，则12a为偶,故223 a224

9、amma 当4m仍为偶数时，46832mmaa 故13232mm 当4m为奇数时，4333114aam 63144ma故31414m得 m=4。（2）若1am为奇数，则213131aam 为偶数，故3312ma必为偶数 63116ma，所以3116m=1 可得 m=5 10可建一座桥【解析】【错解分析】对拆 50 次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第 n 项,易误理解为是比等比数列的前 n 项和。【正解】对拆一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列na，则数列na是以31a=0.0510米为首项，公比为 2 的等比数列。从而对拆 50 次后纸的厚度是此等比数列的第 51 项，利用等比数

10、列的通项公式易得a51=10-3250=1010,而地球和月球间的距离为41081010故可建一座桥。11（1）8 （2），【解析】【错解分析】此题容易错在：审题不清楚，误用前三项的二项式系数成等差。【正解】（1）由题设，得，即，解得n8，n1（舍去）（2）设第r1 的系数最大，则即 解得r2 或r3 所以系数最大的项为，12（1）（2）111nTn 【解析】【错解分析】（1）在求通项公式时容易漏掉对 n=1 的验证。（2）在裂项相消求数列的和时，务必细心。【正解】解:（1）Sn=n2+2n 当时，当 n=1 时，a1=S1=3，,满足上式.故 （2）,111n 13（1）42nan 124n

11、nb （2）1(65)459nnTn【解析】【错解分析】（1）求数列的通项公式时，容易遗忘对 n=1 情况的检验。在数列中则使成立的值是已知等比数列满足且且当时已知为等差数列以表示的前项和则使得达到最大值的是已知数列的通项公式是其前项和是则对任意的其中的最大值是设等差数列的前项和为若则设等比数列的公比前项和为则已知报纸的厚度是多少你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗已知地球与月球的距离约为米已知的展开式中前三项的系数成等差数列求的值求展开式中系数最大的项已知数列的前项和求数列的通项公式设且求设数列的差数列求数列的通项公式设数列的前项和为且求证对任意实数是常数和任意正整数总有正数数

12、列中求数列中的最大项数列等差数列前项和且求的值及数列的通项公式的首项前项和当时问为何值时最大数列中数列是公比为的等比数列（2）错位相减法虽然是一种常见方法，但同时也是容易出错的地方，一定要仔细。【正解】解：（1）当 故的通项公式为的等差数列.设的通项公式为 故（2）两式相减得：14（1）（）（2）见解析 （3）【解析】【错解分析】（1）对的转化，要借助于的关系。（2）放缩法是此题的难点。【正解】解：(1)由已知：对于，总有 成立 （n 2）-得 均为正数，（n 2）数列是公差为 1 的等差数列 又n=1 时，解得=1（）（2）证明：对任意实数和任意正整数n，总有 （3）解：由已知 ，易得 猜想

13、 n2 时，是递减数列令 当 在内为单调递减函数 由 n2 时，是递减数列即是递减数列 又，数列中的最大项为 152341416,3927aaa 2111 423 3nnnan 【解析】【错解分析】此题在应用ns与na的关系时误认为1nnnass对于任意 n 值都成立，忽略了对 n=1的情况的验证。易得出数列na为等比数列的错误结论。【正解】易 求得2341416,3927aaa。由1111,3nnaas得1123nnasn故在数列中则使成立的值是已知等比数列满足且且当时已知为等差数列以表示的前项和则使得达到最大值的是已知数列的通项公式是其前项和是则对任意的其中的最大值是设等差数列的前项和为若

14、则设等比数列的公比前项和为则已知报纸的厚度是多少你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗已知地球与月球的距离约为米已知的展开式中前三项的系数成等差数列求的值求展开式中系数最大的项已知数列的前项和求数列的通项公式设且求设数列的差数列求数列的通项公式设数列的前项和为且求证对任意实数是常数和任意正整数总有正数数列中求数列中的最大项数列等差数列前项和且求的值及数列的通项公式的首项前项和当时问为何值时最大数列中数列是公比为的等比数列111112333nnnnnaassan得1423nnaan又11a，213a 故该数列从第二项开始为等比数列故2111 423 3nnnan 。16故若lm为偶数

15、，当2lmn时，ns最大。当lm为奇数时，当12lmn 时ns最大【解析】【错解分析】等差数列的前 n 项和是关于 n 的二次函数，可将问题转化为求解关于 n 的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。【正解】由题意知ns=2111222n nddf nnadnan此函数是以 n 为变量的二次函数，因为10a，当lm时，mlss故0d 即此二次函数开口向下，故由 f lf m得当2lmx时 f x取得最大值，但由于nN，故若lm为偶数，当2lmn时，ns最大。当lm为奇数时，当12lmn 时ns最大。17（）2510q （）23nSn【解析】【错解分析】对于等比数列

16、的前 n 项和易忽略公比 q=1 的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从定义出发研究条件数列1nnaa是公比为q（0q）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口。使思维受阻。【正解】解：（I）数 列1nnaa是 公 比 为q的 等 比 数 列，qaaaannnn121，2132qaaaannnn，由32211nnnnnnaaaaaa得221111qqqaaqaaaannnnnn，即012 qq（0q），解 得2510q（II）由数列1nnaa是公比为q的等比数列，得qaaqaaaannnnnn2121，这表明数列na的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都

17、是q，又11a，22a，当1q时，在数列中则使成立的值是已知等比数列满足且且当时已知为等差数列以表示的前项和则使得达到最大值的是已知数列的通项公式是其前项和是则对任意的其中的最大值是设等差数列的前项和为若则设等比数列的公比前项和为则已知报纸的厚度是多少你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗已知地球与月球的距离约为米已知的展开式中前三项的系数成等差数列求的值求展开式中系数最大的项已知数列的前项和求数列的通项公式设且求设数列的差数列求数列的通项公式设数列的前项和为且求证对任意实数是常数和任意正整数总有正数数列中求数列中的最大项数列等差数列前项和且求的值及数列的通项公式的首项前项和当时问

18、为何值时最大数列中数列是公比为的等比数列nS2nnaaaaaa2124321)()(2642321nnaaaaaaaaqqqqaqqannn1)1(31)1(1)1(21，当1q时，21234212nnnSaaaaaa L)()(2642321nnaaaaaaaan3)2222()1111(1821nnSn【解析】【错解分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。【正 解】由 等 差 数 列 的 前n项 和 公 式 得2)1(321nnn，)111(2)1(23211nnnnn，n取1，2，

19、3，就分别得到3211,211,11，nS)111(2)4131(2)3121(2)211(2nn 12)111(2nnn 19()4k ()见解析【解析】【错解分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第()时极易根据条件“对于一切正整数 k 都有2)(2kkSS成立”这句话将 k 取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。【正解】解：（I）当1,231da时nnnnndnnnaSn21212)1(232)1(由22242)21(21,)(2kk

20、kkSSkk得，即 0)141(3kk 又4,0kk所以.（II）设数列an的公差为 d，则在2)(2nnSS中分别取 k=1,2,得 211211224211)2122(2344,)()(dadaaaSSSS即 在数列中则使成立的值是已知等比数列满足且且当时已知为等差数列以表示的前项和则使得达到最大值的是已知数列的通项公式是其前项和是则对任意的其中的最大值是设等差数列的前项和为若则设等比数列的公比前项和为则已知报纸的厚度是多少你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗已知地球与月球的距离约为米已知的展开式中前三项的系数成等差数列求的值求展开式中系数最大的项已知数列的前项和求数列的通项

21、公式设且求设数列的差数列求数列的通项公式设数列的前项和为且求证对任意实数是常数和任意正整数总有正数数列中求数列中的最大项数列等差数列前项和且求的值及数列的通项公式的首项前项和当时问为何值时最大数列中数列是公比为的等比数列由（1）得.1011aa或当,60)2(,01dda或得代入时 若21)(,0,0,0,0kknnSSSada从而则成立,若知由则216,324)(,18),1(6,6,02331nnSSSnada,)(239Ss 故所 数列不符合题意.当20,)2(64)2(,121dddda或解得得代入时 若;)(,1,0,1212成立从而则kknnSSnSada 若成立从而则221)(,

22、)12(31,12,2,1nnnSSnnSnada.综上，共有 3 个满足条件的无穷等差数列：an:an=0，即 0，0，0，；an:an=1，即 1，1，1，；an:an=2n1，即 1，3，5，20（1）该数集不具有性质 P （2）见解析 （3）见解析【解析】【错解分析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.【正解】（）由于与均不属于数集，该数集不具有性质 P.由于都属于数集，该数集具有性质 P.（）具有性质 P，与中至少有一个属于 A，由于，故.从而，.，故.由 A具有性质 P可知.又，从而，.（）

23、由（）知，当时，有，即，由 A具有性质 P可知.由，得，且，即是首项为 1，公比为成等比数列.在数列中则使成立的值是已知等比数列满足且且当时已知为等差数列以表示的前项和则使得达到最大值的是已知数列的通项公式是其前项和是则对任意的其中的最大值是设等差数列的前项和为若则设等比数列的公比前项和为则已知报纸的厚度是多少你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗已知地球与月球的距离约为米已知的展开式中前三项的系数成等差数列求的值求展开式中系数最大的项已知数列的前项和求数列的通项公式设且求设数列的差数列求数列的通项公式设数列的前项和为且求证对任意实数是常数和任意正整数总有正数数列中求数列中的最大项数列等差数列前项和且求的值及数列的通项公式的首项前项和当时问为何值时最大数列中数列是公比为的等比数列