高三数学理科导数及其应用试题版中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 高三数学(理科)：导数及其应用 知识要点梳理 知识点一：导数的相关概念 1、导数的物理意义：事物的瞬时变化率，如：表示运动物体在时刻的瞬时速度；气球半径 关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率等.2、导数的几何意义：过曲线 y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是 f(x)在 x 处的导数，即 。也就是说，曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0)处的切线的斜率是，切线方程为 。知识点二：导数的运算 1、几种常见函数的导数公式：；(aQ)；2、导数的四则运算法则：；知识点三：导数的应用 1、求切线方程的一般方法，可分两步：（1）求出函数在处的导数；（2）利用直线的点斜

2、式得切线方程。注意：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.2、判定函数的单调性 学习必备 欢迎下载 （1）函数的单调性与其导数的关系 设函数 y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x)在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求导数；(3)在定义域内解不等式；(4)确定 f(x)的单调区间。3、求函数的极值与最值 （1）极值的概念 一般

3、地，设函数 y=f(x)在 x=x0及其附近有定义，(1)如果对于 x0附近的所有点，都有：f(x)f(x0)，称 f(x0)为函数 f(x)的一个极大值，记作 y极大值=f(x0)；(2)如果对于 x0附近的所有点，都有：f(x)f(x0)，称 f(x0)为函数 f(x)的个极小值，记作 y极小值=f(x0)。极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。注意：在函数的极值定义中，一定要明确函数 y=f(x)在 x=x0及其附近有定义，否则无从比较。函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能 有多个

4、极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或 最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整 个定义区间上的最小值。函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值 的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问 题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之

5、不成立。在函数取得极值处，如果曲线有 切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数 y=x3，变化率如表示运动物体在时刻的瞬时速度气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率等导数的几何意义过曲线上任意一点的切线的斜率就是在处的导数即也就是说曲线在点处的切线的斜率是切线方程为知识点二导数的运算几种数利用直线的点斜式得切线方程注意求切线方程首先要判断所给点是否在曲线上若在曲线上可用上法求解若不在曲线上可设出切点写出切线方程结合已知条件求出切点坐标从而得方程判定函数的单调性学习必备欢迎下载函数的单调相应区间上为常数函数利用导数判断函数单调性的基本步骤确定函数的定义域求导数在定义域内解不等

6、式极小值极大值确定的单调区间求函数的极值与最值极值的概念一般地设函数在及其附近有定义如果对于附近的所有点都有称为学习必备 欢迎下载 在 x=0 处，曲线的 切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。（2）求极值的步骤 确定函数的定义域；求导数；求方程的根；检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右 正，则 f(x)在这个根处取得极小值。(最好通过列表法)4、求函数的最值 函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数 f(x)在闭区间a,b上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a

7、，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。（1）最值与极值的区别与联系：函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数 的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内 部，也可能在区间的端点。有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。（2）在区间a，b上求函数 y=f(x)的最大与最小值的步骤 求函数 y=f(x)在(a，b)内的导数 求函数 y=f(x)在(a，b)内的极值 将函数 y

8、=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。规律方法指导 函数 f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的 具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调 性。函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值 未必小于极大值。f(x0)=0 仅是函数 f(x)在点 x0处有极值的必要条件，点 x0是 f(x)的极值点，当 且仅当在 x0的左右 f(x)的符号产生变化。函数的最值表示函数在定义域内

9、值的整体情况。连续函数 f(x)在闭区间a,b上必有变化率如表示运动物体在时刻的瞬时速度气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率等导数的几何意义过曲线上任意一点的切线的斜率就是在处的导数即也就是说曲线在点处的切线的斜率是切线方程为知识点二导数的运算几种数利用直线的点斜式得切线方程注意求切线方程首先要判断所给点是否在曲线上若在曲线上可用上法求解若不在曲线上可设出切点写出切线方程结合已知条件求出切点坐标从而得方程判定函数的单调性学习必备欢迎下载函数的单调相应区间上为常数函数利用导数判断函数单调性的基本步骤确定函数的定义域求导数在定义域内解不等式极小值极大值确定的单调区间求函数的极值与最值极值的概

10、念一般地设函数在及其附近有定义如果对于附近的所有点都有称为学习必备 欢迎下载 一个最大值和 一个最小值，但是最值点可以不唯一。在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式 y=f(x),并注明其定义域，当 在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数 f(x)的最值点。利用导数可以判定函数的单调性，从而也可以利用导数证明某些不等式。利用导数证明某些不等式 的基本步骤：依据题意构造函数、判定函数的单调性、利用单调性证明要证明的不等式。【典例精析】1.导数定义的应用 例 1 如图，函数()f x的图象是折线段ABC，其中ABC，的坐标分别为(0 4)(2 0)(6 4)，01

11、1limxfxfx _ 例已知函数 xecbxxxf2,其中Rcb,，（）略，（）若,142 cb且 4lim0 xcxfx，试证：26b 2.利用导数研究函数的图像 例 3 设ab,函数2()()yxaxb的图像可能是 例 4 若函数()yf x的导函数在区间,a b上是增函数，则函数()yf x在区间,a b上的图象可能是 2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4 变化率如表示运动物体在时刻的瞬时速度气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率等导数的几何意义过曲线上任意一点的切线的斜率就是在处的导数即也就是说曲线在点处的切线的斜率是切线方程为知识点二导数的运算几种数利

12、用直线的点斜式得切线方程注意求切线方程首先要判断所给点是否在曲线上若在曲线上可用上法求解若不在曲线上可设出切点写出切线方程结合已知条件求出切点坐标从而得方程判定函数的单调性学习必备欢迎下载函数的单调相应区间上为常数函数利用导数判断函数单调性的基本步骤确定函数的定义域求导数在定义域内解不等式极小值极大值确定的单调区间求函数的极值与最值极值的概念一般地设函数在及其附近有定义如果对于附近的所有点都有称为学习必备 欢迎下载 A B C D 3.利用导数解决函数的单调性问题 例 5 已知函数32()1f xxaxx，aR（）讨论函数()f x的单调区间；（）设函数()f x在区间2133，内是减函数，求

13、a的取值范围 【变式 1】（20XX年全国高考）若函数 11213123xaaxxxf在区间4,1上是减函数，在区间,6上是增函数，求实数a的取值范围 【变式 2】(20XX 年湖南高考)已知函数 0221ln2axaxxxf存在单调递减区间，求a的取值范围；【变式 3】（2009 浙江高 考）已知 函 数32()(1)(2)f xxa xa axb (,)a bR若函数()f x在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围 （4）利用导数的几何意义研究曲线的切线问题 例 6 若存在过点(1,0)的直线与曲线3yx和21594yaxx都相切，则a等于 A1或25-64 B1或214 C74或25-

14、64 D74或7 a b a b a o x o x y b a o x y o x y b y 变化率如表示运动物体在时刻的瞬时速度气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率等导数的几何意义过曲线上任意一点的切线的斜率就是在处的导数即也就是说曲线在点处的切线的斜率是切线方程为知识点二导数的运算几种数利用直线的点斜式得切线方程注意求切线方程首先要判断所给点是否在曲线上若在曲线上可用上法求解若不在曲线上可设出切点写出切线方程结合已知条件求出切点坐标从而得方程判定函数的单调性学习必备欢迎下载函数的单调相应区间上为常数函数利用导数判断函数单调性的基本步骤确定函数的定义域求导数在定义域内解不等式极小值

15、极大值确定的单调区间求函数的极值与最值极值的概念一般地设函数在及其附近有定义如果对于附近的所有点都有称为学习必备 欢迎下载 【变式】设P为曲线C：223yxx上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为04，则点P横坐标的取值范围为（）A112，B 10，C01，D112，5.利用导数求函数的极值与最值 例 7 已知函数22()(23)(),xf xxaxaa exR其中aR（1）当0a 时，求曲线()(1,(1)yf xf在点处的切线的斜率；（2）当23a 时，求函数()f x的单调区间与极值。例 8 已知函数432()2f xxaxxb（xR），其中Rba,若函数()f x仅在0 x 处

16、有极值，求a的取值范围 6.利用导数解决实际问题 例 9 用长为 18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？例 10某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256 万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元 （）试写出y关于x的函数关系式；（）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【真题检测】变化率如表示运动物体

17、在时刻的瞬时速度气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率等导数的几何意义过曲线上任意一点的切线的斜率就是在处的导数即也就是说曲线在点处的切线的斜率是切线方程为知识点二导数的运算几种数利用直线的点斜式得切线方程注意求切线方程首先要判断所给点是否在曲线上若在曲线上可用上法求解若不在曲线上可设出切点写出切线方程结合已知条件求出切点坐标从而得方程判定函数的单调性学习必备欢迎下载函数的单调相应区间上为常数函数利用导数判断函数单调性的基本步骤确定函数的定义域求导数在定义域内解不等式极小值极大值确定的单调区间求函数的极值与最值极值的概念一般地设函数在及其附近有定义如果对于附近的所有点都有称为学习必备 欢迎

18、下载 1、已 知 函 数12231)(23xxaxxf且21,xx是)(xf的 两 个 极 值 点，31021xx，（）求a的取值范围；（）若22|221bmmxx，对 1,1b恒成立。求实数m的取值范围 2、已知a是实数，函数2()()f xxxa（）若(1)3f，求a的值及曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程；（）求()f x在区间2,0上的最大值 3、已知函数.23)32ln()(2xxxf （I）求f(x)在0，1 上的极值；（II）若对任意03)(ln|ln|,31,61xxfxax不等式成立，求实数a的取值范围；（III）若关于x的方程bxxf 2)(在0，1 上恰有两个

19、不同的实根，求实数b的取值范围 4、已知函数2()ln()f xxa xx，（）当1a 时，求()f x的极值；（）若()f x存在单调递减区间，求a的取值范围 5、设).442(31)(2aaxxexfx （）求 a 的值，使)(xf的极小值为 0；（）证明：当且仅当 a=3 时，)(xf的极大值为 4 6、（20XX年福建高考理）变化率如表示运动物体在时刻的瞬时速度气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率等导数的几何意义过曲线上任意一点的切线的斜率就是在处的导数即也就是说曲线在点处的切线的斜率是切线方程为知识点二导数的运算几种数利用直线的点斜式得切线方程注意求切线方程首先要判断所给点是否

20、在曲线上若在曲线上可用上法求解若不在曲线上可设出切点写出切线方程结合已知条件求出切点坐标从而得方程判定函数的单调性学习必备欢迎下载函数的单调相应区间上为常数函数利用导数判断函数单调性的基本步骤确定函数的定义域求导数在定义域内解不等式极小值极大值确定的单调区间求函数的极值与最值极值的概念一般地设函数在及其附近有定义如果对于附近的所有点都有称为学习必备 欢迎下载（）已知函数3(x)=x-xf，其图象记为曲线 C。（i）求函数(x)f的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数1x，曲线 C与其在点111P(x,f(x)处的切线交于另一点 222P(x,f(x)，曲线 C与其在点222P(x,f(x

21、)处的切线交于另一点333P(x,f(x)，线段 11223122PP,P P,S,SCS与曲线 所围成封闭图形的面积分别记为 S则为定值；（）对于一般的三次函数32g(x)=ax+bx+cx+d(a0),请给出类似于（）（ii）的正确命题，并予以证明。变化率如表示运动物体在时刻的瞬时速度气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率等导数的几何意义过曲线上任意一点的切线的斜率就是在处的导数即也就是说曲线在点处的切线的斜率是切线方程为知识点二导数的运算几种数利用直线的点斜式得切线方程注意求切线方程首先要判断所给点是否在曲线上若在曲线上可用上法求解若不在曲线上可设出切点写出切线方程结合已知条件求出切点坐标从而得方程判定函数的单调性学习必备欢迎下载函数的单调相应区间上为常数函数利用导数判断函数单调性的基本步骤确定函数的定义域求导数在定义域内解不等式极小值极大值确定的单调区间求函数的极值与最值极值的概念一般地设函数在及其附近有定义如果对于附近的所有点都有称为