高三数学理科二轮复习四第一讲等差数列等比数列中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第一讲 等差数列、等比数列 研热点（聚焦突破）类型一 等差、等比数列的基本运算 例 1(20XX 年高考山东卷)在等差数列an中，a3a4a584，a973.(1)求数列an的通项公式；(2)对任意 mN*，将数列an中落入区间(9m，92m)内的项的个数记为 bm，求数列bm的前 m项和 Sm.解析(1)因为an是一个等差数列，所以 a3a4a53a484，所以 a428.设数列an的公差为 d，则 5da9a4732845，故 d9.由 a4a13d 得 28a139，即 a11，所以 ana1(n1)d19(n1)9n8(n N*)(2)对 m N*，若 9man92

2、m，则 9m89n92m8，因此 9m11 n 92m1，学习必备 欢迎下载 故得 bm92m19m1.于是 Smb1b2b3 bm(993 92m1)(19 9m1)9（181m）181（19m）19 92m110 9m180.跟踪训练 1(20XX 年皖北四市联考)已知数列an为等比数列，且 a14，公比为 q，前 n 项和为 Sn，若数列Sn2也是等比数列，则 q()A2 B2 C3 D3 解析：因为数列 Sn2是等比数列，所以(S12)(S32)(S22)2，即6(64q4q2)(64q)2，即 q(q3)0，q 0，q3.答案：C 2(20XX 年高考广东卷)已知递增的等差数列an满

3、足 a11，a3a4，则 an_ 解析：利用等差数列的通项公式求解 设等差数列的公差为 d，则由 a3a4，得 12d(1d)24，d24，d 2.由于该数列为递增数列，d2.差数列中求数列的通项公式对任意将数列中落入区间内的项的个数记为求数列的前项和解析因为是一个等差数列所以所以设数列的公差为则故由得即所以对若则因此学习必备欢迎下载故得于是跟踪训练年皖北四市联考已知数列为等等差数列满足则解析利用等差数列的通项公式求解设等差数列的公差为则由得由于该数列为递增数列学习必备欢迎下载答案类型二等差等比数列的判定与证明数列是等差或等比数列的证明方法证明数列是等差数列的两种基本方法利数例年高考陕西卷设是

4、公比不为的等比数列其前项和为且成等差数列求数列的公比证明对任意成等差数列解析设数列的公比为由成等差数列得即由得解得舍去所以证明证法一对任意所以对任意学习必备欢迎下载成等差数列证法二对学习必备 欢迎下载 an1(n1)22n1.答案：2n1 类型二 等差、等比数列的判定与证明 数列an是等差或等比数列的证明方法(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法：利用定义证明 an1an(nN*)为常数；利用中项性质，即证明 2anan1an1(n2)(2)证明an是等比数列的两种基本方法：利用定义证明an1an(nN*)为一常数；利用等比中项，即证明 a2nan1an1(n2)例 2(20XX 年高考陕

5、西卷)设an是公比不为 1 的等比数列，其前 n 项和为 Sn，且 a5，a3，a4成等差数列(1)求数列an的公比；(2)证明：对任意 kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列 解析(1)设数列an的公比为 q(q 0，q 1)，由 a5，a3，a4成等差数列，得 2a3a5a4，即 2a1q2a1q4a1q3.由 a1 0，q 0 得 q2q20，解得 q12，q21(舍去)，所以 q2.(2)证明：证法一 对任意 k N，Sk2Sk12Sk(Sk2Sk)(Sk1Sk)ak1ak2ak1 差数列中求数列的通项公式对任意将数列中落入区间内的项的个数记为求数列的前项和解析因为是一个等差数列所以所以

6、设数列的公差为则故由得即所以对若则因此学习必备欢迎下载故得于是跟踪训练年皖北四市联考已知数列为等等差数列满足则解析利用等差数列的通项公式求解设等差数列的公差为则由得由于该数列为递增数列学习必备欢迎下载答案类型二等差等比数列的判定与证明数列是等差或等比数列的证明方法证明数列是等差数列的两种基本方法利数例年高考陕西卷设是公比不为的等比数列其前项和为且成等差数列求数列的公比证明对任意成等差数列解析设数列的公比为由成等差数列得即由得解得舍去所以证明证法一对任意所以对任意学习必备欢迎下载成等差数列证法二对学习必备 欢迎下载 2ak1ak1(2)0，所以对任意 k N，Sk2，Sk，Sk1成等差数列 证法

7、二 对任意 kN，2Sk2a1（1qk）1q，Sk2Sk1a1（1qk2）1qa1（1qk1）1q a1（2qk2qk1）1q，2Sk(Sk2Sk1)2a1（1qk）1qa1（2qk2qk1）1q a11q2(1qk)(2qk2qk1)a1qk1q(q2q2)0，因此，对任意 kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列 跟踪训练 已知数列an和bn满足 a1m，an1ann，bnan2n349.差数列中求数列的通项公式对任意将数列中落入区间内的项的个数记为求数列的前项和解析因为是一个等差数列所以所以设数列的公差为则故由得即所以对若则因此学习必备欢迎下载故得于是跟踪训练年皖北四市联考已知数列为等等差数

8、列满足则解析利用等差数列的通项公式求解设等差数列的公差为则由得由于该数列为递增数列学习必备欢迎下载答案类型二等差等比数列的判定与证明数列是等差或等比数列的证明方法证明数列是等差数列的两种基本方法利数例年高考陕西卷设是公比不为的等比数列其前项和为且成等差数列求数列的公比证明对任意成等差数列解析设数列的公比为由成等差数列得即由得解得舍去所以证明证法一对任意所以对任意学习必备欢迎下载成等差数列证法二对学习必备 欢迎下载(1)当 m1 时，求证：对于任意的实数 ，数列an一定不是等差数列；(2)当 12时，试判断数列bn是否为等比数列 解析：(1)证明：当 m1 时，a11，a21，a3(1)222.

9、假设数列an是等差数列，由 a1a32a2，得232(1)，即210，30，方程无实根 故对于任意的实数，数列an一定不是等差数列(2)当 12时，an112ann，bnan2n349.bn1an12（n1）349(12ann)2（n1）349 12ann32912(an2n349)12bn，b1a12349m29.当 m29时，数列bn是以 m29为首项，12为公比的等比数列；当 m29时，数列bn不是等比数列 类型三 等差等比数列的性质 差数列中求数列的通项公式对任意将数列中落入区间内的项的个数记为求数列的前项和解析因为是一个等差数列所以所以设数列的公差为则故由得即所以对若则因此学习必备欢

10、迎下载故得于是跟踪训练年皖北四市联考已知数列为等等差数列满足则解析利用等差数列的通项公式求解设等差数列的公差为则由得由于该数列为递增数列学习必备欢迎下载答案类型二等差等比数列的判定与证明数列是等差或等比数列的证明方法证明数列是等差数列的两种基本方法利数例年高考陕西卷设是公比不为的等比数列其前项和为且成等差数列求数列的公比证明对任意成等差数列解析设数列的公比为由成等差数列得即由得解得舍去所以证明证法一对任意所以对任意学习必备欢迎下载成等差数列证法二对学习必备 欢迎下载 例 3(1)(20XX年高考福建卷)等差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差为()A1 B2 C3 D4(2)(2

11、0XX 年高考广东卷)若等比数列an满足 a2a412，则 a1a23a5_ 解析(1)解法一 利用基本量法求解 设等差数列an的公差为 d，由题意得 2a14d10，a13d7.解得a11，d2.d2.解法二 利用等差数列的性质求解 在等差数列an中，a1a52a310，a35.又 a47，公差 d752.(2)利用等比数列的性质求解 数列an为等比数列，a2 a4a2312，a1 a5a23.a1a23a5a4314.答案(1)B(2)14 跟踪训练(20XX 年高考安徽卷)公比为 2 的等比数列an的各项都是正数，且 a3a1116，则 log2a10()A4 B5 C6 D7 差数列中

12、求数列的通项公式对任意将数列中落入区间内的项的个数记为求数列的前项和解析因为是一个等差数列所以所以设数列的公差为则故由得即所以对若则因此学习必备欢迎下载故得于是跟踪训练年皖北四市联考已知数列为等等差数列满足则解析利用等差数列的通项公式求解设等差数列的公差为则由得由于该数列为递增数列学习必备欢迎下载答案类型二等差等比数列的判定与证明数列是等差或等比数列的证明方法证明数列是等差数列的两种基本方法利数例年高考陕西卷设是公比不为的等比数列其前项和为且成等差数列求数列的公比证明对任意成等差数列解析设数列的公比为由成等差数列得即由得解得舍去所以证明证法一对任意所以对任意学习必备欢迎下载成等差数列证法二对学

13、习必备 欢迎下载 解析：利用等比数列的性质和通项公式求解 a3 a1116，a16.又等比数列 an的各项都是正数，a74.又 a10a7q342325，log2a105.故选 B.答案：B 析典题（预测高考）高考真题【真题】(20XX 年高考天津卷)已知an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，bn是等比数列，且 a1b12，a4b427，S4b410.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记 Tna1b1a2b2anbn，nN*，证明：Tn8an1bn1(nN*，n2)【解析】(1)设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q，由 a1b12，得 a423d，b42q3，S486d

14、.由条件，得方程组23d2q327，86d2q310，解得d3，q2.所以 an3n1，bn2n，nN*.(2)证明：由(1)得 Tn2 25 228 23(3n1)2n，2Tn2 225 23(3n4)2n(3n1)2n1.由，得Tn2 23 223 233 2n(3n1)2n1 6（12n）12(3n1)2n12(3n4)2n18，即 Tn8(3n4)2n1.而当 n2时，an1bn1(3n4)2n1，所以 Tn8an1bn1，nN*，n2.【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列的概念、通项公式、前 n 项和公式、数列求和差数列中求数列的通项公式对任意将数列中落入区间内的项的个数记为求数列

15、的前项和解析因为是一个等差数列所以所以设数列的公差为则故由得即所以对若则因此学习必备欢迎下载故得于是跟踪训练年皖北四市联考已知数列为等等差数列满足则解析利用等差数列的通项公式求解设等差数列的公差为则由得由于该数列为递增数列学习必备欢迎下载答案类型二等差等比数列的判定与证明数列是等差或等比数列的证明方法证明数列是等差数列的两种基本方法利数例年高考陕西卷设是公比不为的等比数列其前项和为且成等差数列求数列的公比证明对任意成等差数列解析设数列的公比为由成等差数列得即由得解得舍去所以证明证法一对任意所以对任意学习必备欢迎下载成等差数列证法二对学习必备 欢迎下载 等知识，本题(2)中，解题的关键是利用错位

16、相减求和法准确求出 Tn，否则不会得出结论 考情展望 高考对等差、等比数列基本运算的考查一是在选择、填空中考查，二是在解答题中求通项时进行考查，难度较低，注意方程思想与整体思想的运用 名师押题【押题】已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a35，S15225.(1)求数列an的通项 an；(2)设 bn2an2n，求数列bn的前 n 项和 Tn.【解析】(1)设等差数列an首项为 a1，公差为 d，由题意，得a12d5，15a115 142d225，解得a11，d2，an2n1.(2)bn2an2n12 4n2n，Tnb1b2bn 12(4424n)2(12n)4n146n2n 23 4

17、nn2n23.差数列中求数列的通项公式对任意将数列中落入区间内的项的个数记为求数列的前项和解析因为是一个等差数列所以所以设数列的公差为则故由得即所以对若则因此学习必备欢迎下载故得于是跟踪训练年皖北四市联考已知数列为等等差数列满足则解析利用等差数列的通项公式求解设等差数列的公差为则由得由于该数列为递增数列学习必备欢迎下载答案类型二等差等比数列的判定与证明数列是等差或等比数列的证明方法证明数列是等差数列的两种基本方法利数例年高考陕西卷设是公比不为的等比数列其前项和为且成等差数列求数列的公比证明对任意成等差数列解析设数列的公比为由成等差数列得即由得解得舍去所以证明证法一对任意所以对任意学习必备欢迎下载成等差数列证法二对