2011年四川高考文科数学真题及答案.docx

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1、2011年四川高考文科数学真题及答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）若全集M=1，2，3，4，5，N=2，4，则MN=（）AB1，3，5C2，4D1，2，3，4，5【解答】解：全集M=1，2，3，4，5，N=2，4，CUN=1，3，5故选B2（5分）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：11.5，15.5）215.5，19.5）419.5，23.5）923.5，27.5）18 27.5，31.5）1131.5，35.5）1235.5，39.5）739.5，43.5）3 根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占（）ABCD【解答】解：根据所给的

2、数据的分组和各组的频数知道，大于或等于31.5的数据有31.5，35.5）12；35.5，39.5）7；39.5，43.5）3，可以得到共有12+7+3=22，本组数据共有66个，大于或等于31.5的数据约占，故选B3（5分）圆x2+y24x+6y=0的圆心坐标是（）A（2，3）B（2，3）C（2，3）D（2，3）【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x2）2+（y+3）2=13，所以此圆的圆心坐标为（2，3）故选D4（5分）函数y=（）x+1的图象关于直线y=x对称的图象大致是（）ABCD【解答】解：函数y=（）x+1反函数为其图象过（2，0）点，且在定义域（1，+）为减函数分析四个答案发

3、现只能A满足要求故选A5（5分）“x=3”是“x2=9”的（）A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件【解答】解：x2=9x=3x=3x2=9反之，推不出；故“x=3”是“x2=9”的充分不必要条件故选A6（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，l1l2，l1，l2所成的角是90，又l2l3l1，l3所成的角是90

4、l1l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错故选B7（5分）如图，正六边形ABCDEF中，=（）ABCD【解答】解：根据正六边形的性质，我们易得=故选D8（5分）在ABC中，sin2Asin2B+sin2CsinBsinC，则A的取值范围是（）A（0，B，）C（0，D，）【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，sin2Asin2B+sin2CsinBsinC，a2b2+c2bc，bcb2+c2a2cosA=AA0A的取值范围是（0，故选C9（5分）数列an的前n项和为Sn，若a1=1

5、，an+1=3Sn（n1），则a6=（）A344B344+1C44D44+1【解答】解：由an+1=3Sn，得到an=3Sn1（n2），两式相减得：an+1an=3（SnSn1）=3an，则an+1=4an（n2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以an=a2qn2=34n2（n2）则a6=344故选A10（5分）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；

6、派用的每辆乙型卡需配1名工人；每送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z=（）A4650元B4700元C4900元D5000元【解答】解：设派x辆甲卡车，y辆乙卡车，利润为z，由题意得：z=450x+350y由题意得x，y满足下列条件：上述条件作出可行域，如图所示：由图可知，当x=7，y=5时，450x+350y有最大值4900故选C11（5分）在抛物线y=x2+ax5（a0）上取横坐标为x1=4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为（）A（2，9）B（0，5）C（2，9

7、）D（1，6）【解答】解：两点坐标为（4，114a）；（2，2a1），两点连线的斜率k=，对于y=x2+ax5，y=2x+a，2x+a=a2解得x=1，在抛物线上的切点为（1，a4），切线方程为（a2）xy6=0，该切线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，解得a=4或0（0舍去），抛物线方程为y=x2+4x5顶点坐标为（2，9）故选A12（5分）在集合1，2，3，4，5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量=（a，b）从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成平行四边形的个数为n，其中面积等于2的平行四边形的个数为m，则=（）ABCD【解答

8、】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是取出数字，构成向量，a的取法有2种，b的取法有3种，故向量有6个，从中任取两个向量共C62=15种取法，即n=15；由满足条件的事件列举法求出面积等于4的平行四边形的个数有2个，根据古典概型概率公式得到P=，故选A二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）（x+1）n的展开式中x3的系数是Cn3 （用数字作答）【解答】解：展开式的通项为Tr+1=Cnrxr令r=3得到展开式中x3的系数是Cn3故答案为：Cn314（4分）双曲线=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是16【解答】解：由双曲线的方程知a=8

9、，b=6所以c=10准线方程为x=； 离心率e=设点P到右准线的距离为d则由双曲线定义得即d=设P（x，y）则d=|=所以x=所以点P到左准线的距离是故答案为1615（4分）如图，半径为4的球O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是32【解答】解：设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为，则r=4cos，圆柱的高为8sin，圆柱的侧面积为：32sin2，当且仅当=时，sin2=1，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积为：32，球的表面积为：64，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是：32故答案为：3216（4分）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2A，且f（x1）=

10、f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数例如f（x）=2x+1（xR）是单函数，下列命题：函数f（x）=x2（xR）是单函数；函数f（x）=2x（xR）是单函数，若f（x）为单函数，x1，x2A且x1x2，则f（x1）f（x2）；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中的真命题是（写出所有真命题的编号）【解答】解：若x1，x2A，且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数函数f（x）=x2不是单函数，f（1）=f（1），显然11，函数f（x）=x2（xR）不是单函数；函数f（x）=2x（xR）是增函数，f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，即正确；f（x）为单函

11、数，且x1x2，若f（x1）=f（x2），则x1=x2，与x1x2矛盾正确；同；故答案为：三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元每小时（不足1小时的部分按1小时计算）有人独立来该租车点租车骑游各租一车一次设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时（）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；（）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率【考点】几何概型【专题】计算题【分析】（）

12、根据题意，由全部基本事件的概率之和为1求解即可（）先列出甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的所有情况，可按照甲的付费分类，因为各类为互斥事件，分别求概率再取和即可【解答】解：（）甲在三小时以上且不超过四小时还车的概率为1乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率为（）甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的情况有：甲不超过两小时、甲两小时以上且不超过三小时乙不超过三小时、甲在三小时以上且不超过四小时乙不超过两小时三种故概率为：+=【点评】本题考查独立事件和互斥事件的概率，考查利用所学知识解决问题的能力18（12分）已知函数f（x）=sin（x+）+cos（x），xR（）求f（x）的最小正周期和最小

13、值；（）已知cos（）=，cos（+）=.0，求证：f（）22=0【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值；三角函数的周期性及其求法【专题】计算题；综合题【分析】（）利用诱导公式对函数解析式化简整理，进而根据三角函数的周期性和值域求解（）利用两角和公式把已知条件展开后相加，求得的值，代入函数解析式中求得答案【解答】解：（）f（x）=sin（x+）+cos（x）=sin（x）+sin（x）=2sin（x）T=2，最小值为2（）cos（）=coscos+sinsin=，cos（+）=coscossinsin=，两式相加得2coscos=0，0，=f（）22=4sin22=0【点评】本题主

14、要考查了两角和公式和诱导公式的化简求值考查了考生基础知识的综合运用19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P=A1C1，连接AP交棱CC1于点D（）求证：PB1平面BDA1； （）求二面角AA1DB的平面角的余弦值【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质【专题】计算题；证明题【分析】以A1为原点，A1B，A1C，A1A分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立坐标系，则我们易求出各个点的坐标，进而求出各线的方向向量及各面的法向量（I）要证明PB1平面BDA1，我们可以先求出直线PB1的向量，及平面BDA1的法向量，然

15、后判断证明这两个向量互相垂直（II）由图象可得二面角AA1DB是一个锐二面角，我们求出平面AA1D与平面A1DB的法向量，然后求出两个法向量夹角的余弦值，得到结论【解答】解：以A1为原点，A1B，A1C，A1A分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立坐标系，则A1（0，0，0），B1（1，0，0），C1（0，1，0），B（1，0，1），P（0，2，0）（1）在PAA1中，C1D=AA1，则D（0，1，）=（1，0，1），=（0，1，），=（1，2，0）设平面BDA1的一个法向量为=（a，b，c）则令c=1，则=（1，1）=1（1）+2+（1）0=0PB1平面BDA1（II）由（I）知平面BDA1的一

16、个法向量=（1，1）又=（1，0，0）为平面AA1D的一个法向量cos，=故二面角AA1DB的平面角的余弦值为【点评】利用向量法求空间夹角问题，包括以下几种情况：空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；20（12分）已知an是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和（）当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；（）当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am+k ，an+k，al+k也成等差数列【考点】等差关系的确

17、定；等差数列的性质【专题】计算题；证明题【分析】（）根据题意，写出等比数列an的前n项和是解决本题的关键，利用S1，S3，S4成等差数列寻找关于q的方程，通过解方程求出字母q的值；（）根据Sm，Sn，S1成等差数列，利用等比数列的求和公式得出关于q的方程式是解决本题的关键，注意分类讨论思想和整体思想的运用【解答】解：（）由已知得出an=a1q n1，S3=a1+a2+a3=a1（1+q+q2），S4=a1+a2+a3+a4=a1（1+q+q2+q3），根据S1，S3，S4成等差数列得出2S3=S1+S4，代入整理并化简，约去q和a1，得q2q1=0，解得q=；（）当q=1时，该数列为常数列，若

18、Sm，Sn，Sl成等差数列，则也有am+k，an+k，a1+k成等差数列；若q1，由Sm，Sn，S1成等差数列，则有2Sn=S1+Sm，即有，整理化简得2qn1=qm1+ql1，两边同乘以a1，得2a1qn1=a1qm1+a1ql1，即2an=am+al，两边同乘以qk即可得到2an+k=am+k+al+k，即am+k ，an+k，al+k成等差数列【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查学生判断等差数列的方法，考查学生的方程思想和分类讨论思想，转化与化归思想，考查学生的运算能力21（12分）过点C（0，1）的椭圆+=1（ab0）的离心率为，椭圆与x轴交于两点A（a，0）、B（

19、a，0），过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；（）当点P异于点B时，求证：为定值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用【专题】计算题；证明题；综合题；压轴题；数形结合【分析】（I）当直线l过椭圆右焦点时，写出直线l的方程，并和椭圆联立方程，求得点D的坐标，根据两点间距离公式即可求得线段CD的长；（）设出直线l的方程，并和椭圆联立方程，求得点D的坐标，并求出点P的坐标，写出直线AC与直线BD的方程，并解此方程组，求得Q点的坐标，代入即可证明结论【解答】解：（I）由已知得b=1，解得a=2，所以椭圆的方程

20、为椭圆的右焦点为（，0），此时直线l的方程为y=x+1，代入椭圆方程化简得7x28x=0解得x1=0，x2=，代入直线l的方程得y1=1，y2=，所以D点坐标为（，）故|CD|=；（）当直线l与x轴垂直时与题意不符，设直线l的方程为y=kx+1（k0，k）代入椭圆方程化简得（4k2+1）x2+8kx=0，解得x1=0，x2=，代入直线l的方程得y1=1，y2=，所以D点坐标为（，），又直线AC的方程为，直线BD的方程为y=，联立解得，因此Q点坐标为（4k，2k+1），又P点坐标为（，0），=（，0）（4k，2k+1）=4，故为定值【点评】此题是个难题本题考查了、直线与椭圆的位置关系及弦长公式，

21、和有关定值定点问题，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力其中问题（II）考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，22（14分）已知函数f（x）=x+，h（x）=（）设函数F（x）=18f（x）x2h（x）2，求F（x）的单调区间与极值；（）设aR，解关于x的方程lgf（x1）=2lgh（ax）2lgh（4x）；（）设nNn，证明：f（n）h（n）h（1）+h（2）+h（n）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法【专题】计算题；证明题；压轴题；分类讨论【分析】（）首先求出F（x）的解析式，求导，令导数大于0和小于0，分别

22、求出单调增区间和减区间，从而可求极值（）将方程转化为lg（x1）+2lg=2lg，利用对数的运算法则，注意到真数大于0，转化为等价的不等式，分离参数a，求解即可（）由已知得h（1）+h（2）+h（n）=故原不等式转化为f（n）h（n）=注意到等式右侧为数列bn：bn=和的形式，将等式的左侧也看作一个数列的前n项和的形式，求出通项问题转化为证明项项的问题可用做差法直接求解【解答】解：（）F（x）=18f（x）x2h（x）2=x3+12x+9（x0）所以F（x）=3x2+12=0，x=2且x（0，2）时，F（x）0，当x（2，+）时，F（x）0所以F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+）上单调递减故x=2时，F（x）有极大值，且F（2）=8+24+9=25（）原方程变形为lg（x1）+2lg=2lg，当1a4时，原方程有一解x=3，当4a5时，原方程有两解x=3，当a=5时，原方程有一解x=3，当a1或a5时，原方程无解（）由已知得h（1）+h（2）+h（n）=，f（n）h（n）=，从而a1=s1=1，当k2时，an=snsn1=，又=0即对任意的k2，有，又因为a1=1=，所以a1+a2+an，则snh（1）+h（2）+h（n），故原不等式成立【点评】本题考查求函数的单调区间、极值、方程解的个数问题、不等式证明问题，综合性强，难度较大